하이네-보렐 정리

틀:위키데이터 속성 추적 일반위상수학에서 하이네-보렐 정리(틀:Llang)는 균등 공간이 콤팩트 공간일 필요충분조건을 제시하는 정리이다.

정의

하이네-보렐 정리에 따르면, 임의의 균등 공간 $X$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[1]

콤팩트 공간이다.
완비 균등 공간이며, 완전 유계 공간이다.

틀:증명 콤팩트 균등 공간 $(X, ℰ)$ 위의 코시 필터는 집적점을 가지며, 따라서 이 집적점으로 수렴한다. 즉, 모든 콤팩트 균등 공간은 완비 균등 공간이다. 이제, $X$ 가 완전 유계 공간임을 보이자. 임의의 측근 $E \in ℰ$ 에 대하여, $E$ -작은 집합들로 구성된 $X$ 의 유한 덮개를 찾으면 족하다. 다음 조건들을 만족시키는 측근 $F \in ℰ$ 가 존재한다.

$F \circ F \subseteq E$
$F$ 는 대칭 관계이다.
$F \subseteq X \times X$ 는 열린집합이다.

이제

F [x, -] = {y : (x, y) \in F}

라고 하자. 그렇다면, ${F [x, -] : x \in X}$ 는 유한 부분 덮개 ${F [x_{1}, -], \dots, F [x_{n}, -]}$ 를 갖는다. 또한, 모든 $F [x_{i}, -]$ 는 $E$ -작은 집합이다.

반대로, 균등 공간 $(X, ℰ)$ 가 완비 균등 공간이자 완전 유계 공간이라면, 콤팩트 공간임을 보이자. 임의의 $X$ 위의 극대 필터 $ℱ$ 가 수렴함을 보이면 족하다. $X$ 가 완비 균등 공간이므로, $ℱ$ 가 코시 필터임을 보이면 족하다. 임의의 측근 $E \in ℰ$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 완전 유계성에 따라 $E$ -작은 집합들로 구성된 $X$ 의 유한 덮개 ${A_{1}, \dots, A_{n}}$ 이 존재한다. $ℱ$ 는 극대 필터이므로, $A_{i} \in ℱ$ 인 $i \in {1, \dots, n}$ 이 존재한다. 틀:증명 끝