초월수

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원주율(틀:Pi)은 잘 알려진 초월수이다.

초월수(超越數, 틀:Llang)는 수학에서 대수학적이지 않은 수, 즉 유리수 계수를 가지는 0이 아닌 유한 차수 다항 방정식의 해가 될 수 없는 수를 의미한다. 가장 잘 알려진 초월수는 틀:Pi(원주율)과 틀:수학 변수(자연로그의 밑)이다.[1][2]

현재까지는 적은 양의 초월수들만 알려져 있다. 이는 어떤 주어진 수가 초월수인지 보여주는 것은 극히 어려울 수 있기 때문이다. 그러나 초월수들은 드물지 않다. 실제로 대수적 수들이 가산 집합을 구성하는 반면 실수의 집합, 복소수의 집합은 모두 비가산 집합이므로 거의 모든 실수들과 복소수들은 초월적이다. 또한 모든 유리수가 대수학적이기 때문에 모든 초월실수("실제 초월수" 또는 "초월무리수"라고도 함)는 무리수이다.[3][4][5][6] 그러나 모든 무리수가 초월적인 것은 아니다. 따라서 실수의 집합은 겹치지 않는 유리수, 대수적인 무리수, 초월적인 실수로 구성된다.[3] 예를 들어 제곱근 2는 무리수이지만 다항식 틀:수학의 근인 만큼 초월수는 아니다. 황금비(φ 또는 ϕ로 표시됨)은 다항식 틀:수학의 근으로서 초월적이지 않은 또다른 무리수이다.

역사

"초월적"이라는 이름은 라틴어로 "넘어오거나 넘어서거나"를 뜻하는 '트란스켄데레'(transcendĕre)에서 유래되었다.[7] 고트프리트 빌헬름 라이프니츠는 1682년에 발표한 자신의 논문에서 수학적 개념을 처음 사용했는데 틀:수학가 틀:수학 변수의 대수함수가 아니라는 것을 증명했다.[8][9] 레온하르트 오일러는 18세기에 "초월수"를 현대적 의미로 정의한 최초의 수학자로 여겨지고 있다.[10]

요한 람베르트는 1768년에 발표한 자신의 논문에서 틀:수학 변수(자연로그의 밑)와 틀:Pi(원주율) 둘 다 초월수라고 추측했고 무리수인 틀:Pi의 초월수 증명에 대한 대략적인 구성을 제안했다.[11]

조제프 리우빌은 1844년에 초월수의 존재를 처음으로 증명했고[12] 1851년에 리우빌 수와 같은 초월수의 사례를 제시했다.

Lb=∑n=1∞10−n!=10−1+10−2+10−6+10−24+10−120+10−720+10−5040+10−40320+…=0.11000100000000000000000100000000000000000000000000000000000000000000000000000…

틀:수학 변수이 틀:수학 (틀:수학 변수 계승)인 경우에는 소수점 뒤의 틀:수학 변수번째 자리가 틀:수학이고 그렇지 않은 경우에는 틀:수학이다.[13] 즉 틀:수학 변수이 숫자 틀:수학등일 경우에만 이 숫자의 틀:수학 변수번째 자릿수가 틀:수학이다. 조제프 리우빌은 이 숫자가 특정한 무리수인 대수적 수보다 유리수에 의해 보다 가깝게 근사할 수 있는 초월수의 종류에 속한다는 것을 보여주었고 이 종류의 숫자는 그의 이름을 따서 리우빌 수라고 불린다. 리우빌은 모든 리우빌 수가 초월수라는 것을 증명했다.[14]

위의 예인 리우빌 수는 초월수의 존재를 증명하기 위한 목적으로 특별히 구성되었는데, 그렇게 구성되지 않고 자연스럽게 등장하는 수학 상수 중 가장 먼저 초월성이 증명된 것은 1873년의 샤를 에르미트가 증명한 틀:수학 변수이다.

1874년에는 게오르크 칸토어가 대수적 수들은 셀 수 있고 실수는 셀 수 없다는 사실을 증명했다. 그는 또한 초월수를 구성하는 새로운 방법을 제시했다.[15][16] 비록 이것이 대수적 수의 계산 가능성에 대한 그의 증명에 의해 이미 암시되었지만 칸토어는 실수들만큼 초월수들이 있다는 것을 증명하는 구성을 발표했다.[17] 칸토어의 연구는 초월수의 보편성을 확립했다.

1882년에는 페르디난트 폰 린데만이 틀:수학 변수의 초월성에 대한 최초의 증명을 담은 책을 출판했다. 그는 먼저 틀:수학 변수가 0이 아닌 대수적 수일 경우 틀:수학가 초월수라는 것을 증명했다. 그렇다면 틀:수학은 대수적이므로(오일러의 항등식 참조), 틀:수학는 초월수이어야 한다. 그러나 틀:수학가 대수적 수이기 때문에 틀:수학 변수는 초월수이어야 한다. 이러한 접근 방식은 카를 바이어슈트라스에 의해 일반화되었는데 오늘날에는 린데만-바이어슈트라스 정리로 알려져 있다. 틀:수학 변수의 초월은 원적 문제와 같이 가장 유명한 것을 포함하여 컴퍼스와 자 작도를 포함한 여러 고대 기하학 구조들이 갖고 있던 불가능성의 증거를 가능하게 했다.

1900년에는 다비트 힐베르트가 힐베르트 문제 중 7번 문제를 통해 초월수에 대해 영향력 있는 질문을 던졌다.

"틀:수학 변수가 0이나 1이 아닌 대수적 수이고 틀:수학 변수가 무리수인 대수적 수라면 반드시 틀:수학은 초월수인가?"

이에 대한 해답은 1934년에 겔폰트-슈나이더 정리를 통해 제공되었다. 이 연구는 1960년대에 앨런 베이커가 진행한 (대수적 수를 밑으로 하는) 로그에서 선형 형식의 하한에 대한 연구를 통해 다변수의 형태로 확장되었다.[18]

특성

초월수의 집합은 셀 수 없이 무한하다. 유리 계수를 갖는 다항식은 셀 수 있고 각각의 다항식은 유한한 근을 가지기 때문에 대수적 수도 셀 수 있어야 한다. 그러나 칸토어는 대각선 논법을 통해 실수가 (그리고 복소수 또한) 셀 수 없다는 것을 증명했다. 그리고 실수 집합은 대수적 수 집합과 초월수 집합의 합집합이기 때문에, 초월수 집합은 셀 수 없다.

어떠한 유리수도 초월적이지 않고 모든 초월실수는 무리수이다. 무리수는 2차 무리수 및 그 외의 형태를 가진 대수적 무리수를 포함하여 모든 실초월수와 대수적 수의 부분집합을 포함한다.

상수가 아닌 일변수 대수적 함수에 초월수를 대입하면 초월수를 얻는다. 예를 들어 틀:Pi가 초월적이라는 것부터 틀:수학, 틀:수학과 같은 숫자들이 초월수임을 알 수 있다.

그러나 다변수 대수적 함수는 초월수를 대입했을 때 대수적 수를 값으로 가질 수도 있다. 예를 들어 틀:Pi와 틀:수학는 둘 다 초월적이지만 틀:수학은 그렇지 않다. 예를 들어 틀:수학가 초월적인지는 알 수 없지만, 틀:수학와 틀:수학 변수 가운데 적어도 하나는 초월수인 것이 알려져 있다. 더 일반적으로 어떤 두 초월수 틀:수학 변수와 틀:수학 변수에 대해, 적어도 틀:수학와 틀:수학 변수 가운데 하나는 초월수여야 한다. 그 이유는 다항식 틀:수학을 고려해보면 알 수 있다. 만약 틀:수학와 틀:수학 변수가 둘 다 대수적이라면 이것은 대수적 계수를 갖는 다항식이 될 것이다. 대수적 수는 대수적으로 닫힌 체를 형성하기 때문에 다항식의 근인 틀:수학 변수와 틀:수학 변수가 대수적이어야 한다는 것을 의미한다. 하지만 이것은 가정과 모순이다. 따라서 적어도 하나의 계수가 초월수라는 것을 알 수 있다.

계산 불가능한 수는 초월수의 진부분집합이다. 모든 리우빌 수는 초월적이지만 그 반대는 아니다. 모든 리우빌 수는 무한 연분수 전개에서 부분적인 몫의 상계가 없어야 한다. 대각선 논법을 사용하면 무한 연분수 전개시 부분적인 몫의 상계가 있는 (따라서 리우빌 수도 아니다.) 초월수가 존재한다는 것을 증명할 수 있다.

틀:수학 변수의 명시적인 무한 연분수 전개를 사용하여 틀:수학 변수가 리우빌 수가 아니라는 것을 보일 수 있다. (비록 연분수 전개의 부분적인 몫은 상계가 없지만). 쿠르트 말러는 1953년에 틀:Pi 또한 리우빌 수가 아니라는 것을 증명했다. 상계를 갖는 "간단"한 구조의 모든 비주기 무한 연분수는 초월적이라고 추측된다.[19](주기적인 연분수와 2차 무리수는 동치이다.)

초월수로 입증된 수

초월수로 입증된 수:

또한 10을 대수적 수 틀:수학로 대체해도 유지된다.[29]
∑k=0∞10−⌊βk⌋;
여기서 β↦⌊β⌋는 바닥 함수이다.

초월수일 가능성이 있는 수

초월수 또는 대수적 수로 아직 입증되지 않은 수:

같이 보기

각주

틀:각주

참고 문헌

외부 링크

틀:무리수 틀:수 체계 틀:정수론 틀:전거 통제

  1. ↑ 틀:웹 인용
  2. ↑ 틀:서적 인용
  3. ↑ 3.0 3.1 틀:서적 인용
  4. ↑ 틀:저널 인용
  5. ↑ 틀:ArXiv 인용
  6. ↑ 틀:웹 인용
  7. ↑ Oxford English Dictionary, s.v.
  8. ↑ 틀:괄호 없는 하버드 인용
  9. ↑ 틀:괄호 없는 하버드 인용
  10. ↑ 틀:괄호 없는 하버드 인용
  11. ↑ 틀:괄호 없는 하버드 인용
  12. ↑ 12.0 12.1 틀:괄호 없는 하버드 인용
  13. ↑ Weisstein, Eric W. "Liouville's Constant", MathWorld
  14. ↑ 틀:괄호 없는 하버드 인용
  15. ↑ 틀:괄호 없는 하버드 인용
  16. ↑ 틀:괄호 없는 하버드 인용
  17. ↑ 틀:괄호 없는 하버드 인용. 칸토어의 구조는 초월수 집합과 실수 집합 사이의 일대일 대응 관계를 구축한다. 이 글에서 칸토어는 무리수 집합에만 그의 구조를 적용한다.
  18. ↑ J J O'Connor and E F Robertson: Alan Baker. The MacTutor History of Mathematics archive 1998.
  19. ↑ 틀:괄호 없는 하버드 인용
  20. ↑ 틀:웹 인용
  21. ↑ 틀:괄호 없는 하버드 인용 via Wolfram Mathworld, Transcendental Number
  22. ↑ 22.0 22.1 틀:괄호 없는 하버드 인용 via Wolfram Mathworld, Transcendental Number
  23. ↑ 틀:괄호 없는 하버드 인용
  24. ↑ 틀:괄호 없는 하버드 인용
  25. ↑ 틀:괄호 없는 하버드 인용
  26. ↑ 틀:괄호 없는 하버드 인용
  27. ↑ 틀:괄호 없는 하버드 인용. 켐프너는 이 수가 초월적이라는 것을 처음 증명했고 403쪽에 기록된 내용에 따르면 프레드홀름은 이 수를 연구하지 않았다고 한다.
  28. ↑ 틀:괄호 없는 하버드 인용
  29. ↑ 틀:괄호 없는 하버드 인용
  30. ↑ 틀:괄호 없는 하버드 인용
  31. ↑ 틀:괄호 없는 하버드 인용
  32. ↑ 틀:괄호 없는 하버드 인용
  33. ↑ 틀:괄호 없는 하버드 인용
  34. ↑ 틀:저널 인용
  35. ↑ 틀:저널 인용
  36. ↑ 틀:매스월드
  37. ↑ 틀:저널 인용
  38. ↑ 틀:저널 인용
  39. ↑ 틀:저널 인용
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