오일러-마스케로니 상수

틀:위키데이터 속성 추적 정수론에서 오일러-마스케로니 상수(-常數, 틀:Llang)는 조화급수를 자연 로그로 근사한 경우의 오차를 나타내는 수학 상수이다. 줄여서 오일러 상수라고도 불리나, 자연로그의 밑에 해당하는 오일러 수 e=2.718…과는 다르다.

정의

오일러-마스케로니 상수 $\gamma$는 다음과 같은 극한으로 정의된다.

$\gamma =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln n)=\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\frac{1}{\lfloor x\rfloor }-\frac{1}{x})dx$

그 값은 다음과 같다. 틀:OEIS

0.57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 …

역사

스위스의 수학자 레온하르트 오일러가 1734년에 〈조화급수에 대한 고찰〉(틀:Llang)이라는 논문에서 오늘날 오일러-마스케로니 상수로 불리는 수를 최초로 정의하였다. 오일러는 이 상수를 C 또는 O로 표시했다. 이탈리아의 수학자 로렌초 마스케로니(틀:Llang)도 1790년 이 수를 언급하였고, A 또는 a라는 기호를 사용하였다.

오일러-마스케로니 상수는 보통 소문자 감마 γ로 표기된다. 이 기호는 오일러나 마스케로니의 저서에는 등장하지 않으나, 이후 이 수가 대문자 감마로 표기되는 감마 함수 Γ와 깊은 관계를 가진다는 사실이 발견되면서 소문자 감마가 사용되게 되었다. 소문자 감마 기호가 사용된 최초의 논문은 1835년에 작성되었고, 1837년 출판되었다.

성질

오일러-마스케로니 상수가 유리수인지 여부는 아직 알려져 있지 않다. 연분수 분석에 의해 만약 오일러-마스케로니 상수가 유리수라면 그 분모의 값은 적어도 10²⁴²⁰⁸⁰ 이상이라는 것이 알려져 있다.

감마 함수와의 관계

감마 함수와는 다음과 같은 관계가 있다.

$\gamma =-\underset{z\to 0}{\lim }\{\mathrm{\Gamma }(z)-\frac{1}{z}\}=-\underset{z\to 0}{\lim }\{\mathrm{\Psi }(z)+\frac{1}{z}\}.$

리만 제타 함수와의 관계

리만 제타 함수와는 다음과 같은 관계가 있다.

$\begin{array}{cc}\gamma & =\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^m\frac{\zeta (m)}{m}\\ & =\ln \left(\frac{4}{\pi }\right)+\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^m\frac{\zeta (m)}{2^{m-1}m}\\ & =\underset{s\to 1^{+}}{\lim }\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{n^s}-\frac{1}{s^n})=\underset{s\to 1}{\lim }(\zeta (s)-\frac{1}{s-1})\end{array}$

적분식

다음 적분 식으로도 오일러-마스케로니 상수를 얻을 수 있다.

$\begin{array}{cc}\gamma & =-\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x}\ln xdx\\ & =-\underset{0}{\overset{1}{\int }}\ln \ln \left(\frac{1}{x}\right)dx\\ & =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\frac{1}{e^x-1}-\frac{1}{x{e}^x})dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(\frac{1}{\ln x}+\frac{1}{1-x})dx\\ & =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\frac{1}{1+x^k}-e^{-x})\frac{dx}{x},k>0.\end{array}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}\ln xdx=-\frac{(\gamma +2\ln 2)\sqrt{\pi }}{4}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x}{\ln }^{2}xdx={\gamma }^2+\frac{{\pi }^2}{6}.$

알려진 자릿수

레온하르트 오일러는 최초로 이 상수의 값을 소수점 아래 여섯자리까지 연산하였다. 1781년에 그는 소수점 아래 16자리까지 연산하였다. 이탈리아 수학자 로렌초 마스케로니는 소수점 아래 32자리까지의 연산을 시도하였지만 20-22자리와 31-32자리에 오류를 만들었다. 20번째 자릿수부터 시작하여 그는 ...1811209008239을 연산했으나 올바른 자릿수는 ...0651209008240이었다.

오일러-마스케로니 상수 틀:Mvar의 알려진 십진 자릿수

일자	십진 자릿수	발견자	비고
1734년	5	레온하르트 오일러
1735년	15	레온하르트 오일러
1781년	16	레온하르트 오일러
1790년	32	로렌초 마스케로니, 소수점 아래 20-22와 31-32 자릿수 오계산
1809년	22	요한 게오르크 폰 졸트너
1811년	22	카를 프리드리히 가우스
1812년	40	프리드리히 베른하르트 고트프리드 니콜라이
1857년	34	크리스티안 프레드릭 린드만
1861년	41	루드윅 오팅거
1867년	49	윌리엄 샹크스
1871년	99	제임스 위트브레드 리 글레이셔
1871년	101	윌리엄 샹크스
1877년	262	존 쿠치 애덤스
1952년	328	존 렌치
1961년	틀:Val	헬무트 피셔와 칼 롱인 젤러
1962년	틀:Val	도널드 커누스
1962년	틀:Val	듀라 W. 스위니
1973년	틀:Val	윌리엄 A. 베이어와 마이클 워터먼
1977년	틀:Val	리차드 P. 브렌트
1980년	틀:Val	리차드 P. 브렌트와 에드윈 맥밀런
1993년	틀:Val	조나단 보웨인
1999년	틀:Val	페르릭 데미첼과 하비에르 구르동
2009년 3월 13일	틀:Val	알랙산더 J. 리와 래이먼드 찬	틀:Harvnb, 틀:Harvnb
2013년 12월 22일	틀:Val	알랙산더 J. 리	틀:Harvnb, 틀:Harvnb
2016년 3월 15일	틀:Val	페터 트뤼프	틀:Harvnb
2016년 5월 18일	틀:Val	론 왓킨스	틀:Harvnb
2017년 8월 23일	틀:Val	론 왓킨스	틀:Harvnb
2020년 5월 26일	틀:Val	김승민과 이언 커트리스

같이 보기

• 폴리감마 함수

각주

• 틀:웹 인용
• 틀:웹 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드