킨친 상수

틀:위키데이터 속성 추적 아래는 킨친 상수(Khinchin constant)에 대한 설명이다.

수 이론에서 알렉산드르 야코블레비치 킨친(Aleksandr Yakovlevich Khinchin) 은 거의 모든 실수 $x$에 대해 $x$ 의 연속적인 분수(연분수) 확장의 계수 $a_n$ 의 $a_i$(부분적인 몫)이 $x$ 의 값과 무관하게 킨친(Khinchin)의 상수로 알려진 기하 평균을 가지고 있음을 증명했다. 즉,

$x=a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+\frac{1}{\ddots }}}}$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(a_1,a_2,...,a_n)}^{\frac{1}{n}}=K_0$

킨친 상수(Khinchin constant)

$K=K_0=\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{(1+\frac{1}{k(k+2)})}^{{\log }_{2}k}\approx 2.6854520010\dots (OEISA002210)$

거의 모든 숫자가 이러한 특성을 만족하지만, 목적을 위해 구체적으로 구성 되지 않은 실수에 대해서는 입증되지 않은 경우도 있다.

연속적인 분수 확장이 이 속성을 갖지 않는 것으로 알려진 $x$는 유리수 , 2차방정식의 근 (정수의 제곱근 과 황금비 $\varphi$포함) 및 자연 로그 $e$의 밑수인 상수 $e$이다.

"Khinchin"은 때때로 오래된 수학 문헌에서 "Khintchine" (러시아어 Хинчин의 프랑스어 음역)으로 표기된다.

킨친 상수의 관련 표현

$K=\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{(1+\frac{1}{k^2+2k})}^{{\log }_{2}k}=\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{k}^{{\log }_2^{}(1+\frac{1}{k^2+2k})}$

$K=\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{(1+\frac{1}{k(k+2)})}^{{\log }_{2}k}=\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{(1+\frac{1}{k(k+2)})}^{\frac{lnk}{ln2}}$

$K=\frac{1}{\log (2)}\sum _{s=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\zeta (2s)-1}{s}\sum _{k=1}^{2s-1}\frac{-1^{(k+1)}}{k}$

$K=exp\left(\frac{1}{ln2}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{H_{2k-1}^{\text{'}}(\zeta (2k)-1)}{k}\right)$

$H$는 조화수, $\zeta$ 리만 제타 함수

리만 제타 함수와의 관계

$\log (K_0)=\frac{1}{\log (2)}\sum _{s=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\zeta (2s)-1}{s}\sum _{k=1}^{2s-1}\frac{-1^{(k+1)}}{k}$

$\log (K_0)\log (2)=\sum _{s=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\zeta (2s)-1}{s}\sum _{k=1}^{2s-1}\frac{-1^{(k+1)}}{k}$

$\log (K_0)\log (2)=\sum _{s=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\zeta (2s)-1}{s}(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\cdots +\frac{1}{(2s-1)})$

양이 아닌 정수의 값

$K_p={[\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}-k^p{\log }_2(1-\frac{1}{(k+1{)}^2})]}^{\frac{1}{p}}$

$={\left[\frac{1}{ln2}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{k}^{p}ln(1+\frac{1}{k(k+2)})\right]}^{\frac{1}{p}}$

$K_{-1}=1.74540566240\dots (OEISA087491)$

$K_{-2}=1.45034032849563\dots (OEISA087492)$

$K_{-3}=1.3135070786879\dots (OEISA087493)$

같이 보기

• 수학 상수
• 레비 상수
• 뤼로스 상수

참고

• 매스월드
• 110,000 digits of Khinchin's constant
• 10,000 digits of Khinchin's constant