쌍곡선 함수

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 쌍곡선 함수(雙曲線函數, 틀:Llang)는 일반적인 삼각함수와 유사한 성질을 갖는 함수로 삼각함수가 단위원 그래프를 매개변수로 표시할 때 나오는 것처럼, 표준쌍곡선을 매개변수로 표시할 때 나온다.

종류

sinh, cosh, tanh

csch, sech, coth

삼각함수(원함수)의 사인, 코사인, 탄젠트 등에서 추론되어 각각에 대응되는 다음과 같은 함수가 있다.

• 쌍곡사인(틀:Lang)

$\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=-i\sin ix$

• 쌍곡코사인(틀:Lang)

$\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\cos ix$

• 쌍곡탄젠트(틀:Lang)

$\tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}$

$=\frac{\frac{e^x-e^{-x}}{2}}{\frac{e^x+e^{-x}}{2}}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}=-i\tan ix$

• 쌍곡코시컨트(틀:Lang)

$\mathrm{csch}x=\frac{1}{\sinh x}=\frac{2}{e^x-e^{-x}}=i\csc ix$

• 쌍곡시컨트(틀:Lang)

$\mathrm{sech}x=\frac{1}{\cosh x}=\frac{2}{e^x+e^{-x}}=\sec ix$

• 쌍곡코탄젠트(틀:Lang)

$\coth x=\frac{\cosh x}{\sinh x}$

$=\frac{\frac{e^x+e^{-x}}{2}}{\frac{e^x-e^{-x}}{2}}=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}=\frac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1}=i\cot ix$

삼각함수와의 관계

2차원 평면상에서 매개변수 $t$를 사용한 자취 $(\cos t,\sin t)$가 단위원 $x^2+y^2=1$을 그리는 것처럼, $(\cosh t,\sinh t)$은 쌍곡선 $x^2-y^2=1$ 을 그린다. 이는 다음과 같은 간단한 관계를 통해 쉽게 알 수 있다.

${\cosh }^{2}t-{\sinh }^{2}t=1$

그러나 쌍곡선 함수는 삼각함수와 달리 주기함수가 아니라는 차이가 있다.

매개변수 $t$가 단위원을 그리는 삼각함수의 경우에 각을 뜻하는 양인 것과는 달리 쌍곡선 함수의 경우에는 평면상의 면적에 대응하는 쌍곡각(雙曲角, hyperbolic angle)에 대응한다. 쌍곡각은 $x$축과 쌍곡선, 그리고 $(\cosh t,\sinh t)$위의 점과 원점을 지나는 직선이 이루어지는 면적을 두배한 양으로 정의된다.

$\cosh x$는 짝함수 즉 $y$축에 대해 대칭이며, $\cosh 0=1$이다.

$\sinh y$는 홀함수 즉 원점에 대해 대칭이며, $\sinh 0=0$이다.

쌍곡선 함수는 삼각함수 공식과 매우 유사한 항등식을 만족한다. 실제로 오스본 법칙에 따라 어떤 삼각함수 항등식이라도 쌍곡선 항등식으로 변환될 수 있다. 예를 들어 삼각함수의 덧셈정리와 반각공식은 다음과 같은 쌍곡선 함수의 덧셈 정리와 반각 공식으로 바뀐다.

• 덧셈 정리

  $\sinh (x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y$

  $\cosh (x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y$

  $\tanh (x+y)=\frac{\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}$

• 반각 공식

  ${\cosh }^2\frac{x}{2}=\frac{\cosh x+1}{2}$

  ${\sinh }^2\frac{x}{2}=\frac{\cosh x-1}{2}$

역함수

쌍곡선 함수의 역함수는 다음과 같다.

$\begin{array}{cc}\mathrm{arcsinh}(x)& =\ln (x+\sqrt{x^2+1})\\ \mathrm{arccosh}(x)& =\ln (x+\sqrt{x^2-1});x\ge 1\\ \mathrm{arctanh}(x)& =\frac{1}{2}\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right);\left|x\right|<1\\ \mathrm{arccsch}(x)& =\ln (\frac{1}{x}+\frac{\sqrt{1+x^2}}{\left|x\right|});x\ne 0\\ \mathrm{arcsech}(x)& =\ln (\frac{1}{x}+\frac{\sqrt{1-x^2}}{x});0<x\le 1\\ \mathrm{arccoth}(x)& =\frac{1}{2}\ln \left(\frac{x+1}{x-1}\right);\left|x\right|>1\\ \end{array}$

역쌍곡함수의 미분

$\frac{d}{dx}\mathrm{arcsinh}x=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$

$\frac{d}{dx}\mathrm{arccosh}x=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$

$\frac{d}{dx}\mathrm{arctanh}x=\frac{1}{1-x^2}$

$\frac{d}{dx}\mathrm{arccsch}x=-\frac{1}{\left|x\right|\sqrt{1+x^2}}$

$\frac{d}{dx}\mathrm{arcsech}x=-\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}$

$\frac{d}{dx}\mathrm{arccoth}x=\frac{1}{1-x^2}$

역쌍곡함수의 부정적분

$\begin{array}{cc}\int \frac{du}{\sqrt{a^2+u^2}}& =a^{-1}\mathrm{arcsinh}\left(\frac{u}{a}\right)+C\\ \int \frac{du}{\sqrt{u^2-a^2}}& =a^{-1}\mathrm{arccosh}\left(\frac{u}{a}\right)+C\\ \int \frac{du}{a^2-u^2}& =a^{-1}\mathrm{arctanh}\left(\frac{u}{a}\right)+C;u^2<a^2\\ \int \frac{du}{u\sqrt{a^2+u^2}}& =-a^{-1}\mathrm{arccsch}\left|\frac{u}{a}\right|+C\\ \int \frac{du}{u\sqrt{a^2-u^2}}& =-a^{-1}\mathrm{arcsech}\left(\frac{u}{a}\right)+C\\ \end{array}$

C는 적분상수이다.

복소수와 쌍곡선 함수

지수함수가 모든 복소수를 인자로 받을 수 있기 때문에, 지수함수의 사칙연산으로 정의된 쌍곡선 함수 또한 복소수까지 확장시킬 수 있다. 이때, sinh z와 cosh z는 복소평면 위 어떤 점에서도 해석적인 전해석 함수(entire function)이다.

삼각함수와의 관계는 복소수에 대한 오일러 공식으로 다음과 같이 주어진다.

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

$\cosh (ix)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}=\cos (x)$

$\sinh (ix)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2}=i\sin (x)$

$\tanh (ix)=i\tan (x)$

$\sinh (x)=-i\sin (ix)$

$\cosh (x)=\cos (ix)$

$\tanh (x)=-i\tan (ix)$

$\mathrm{arsinh}(x)=i\arcsin (-ix)$

$\mathrm{arcosh}(x)=i\arccos (x)$

$\mathrm{artanh}(x)=i\arctan (-ix)$

테일러 급수

$\sinh x=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

$\cosh x=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n}}{(2n)!}$

이 테일러 급수는 sinh와 cosh의 미분을 이용해서 얻을 수도 있고, $e^x$와 $e^{-x}$의 테일러 전개를 sinh와 cosh의 정의식에 대입해서 얻을 수도 있다.

같이 보기

• 현수선(懸垂線, catenary): $\cosh x$는 일정한 중력장에서 양끝이 고정되어 있고 밀도가 일정한 줄이 아래로 늘어질 때 그리는 곡선이다.
• 삼각함수
• 쌍곡선