파이겐바움 상수

틀:위키데이터 속성 추적 파이겐바움 상수(Feigenbaum constant)는 로지스틱 맵에서와 같은 분기 다이어그램에서 나오는 두개의 수학 상수를 말한다.

첫 번째 상수틀:OEIS,

$\delta =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\overset{}{\lim }}\frac{a_{n-1}-a_{n-2}}{a_n-a_{n-1}}=4.66920160910299067185320382...$

$a$는 분기 매개변수

$\delta$는 분기가 일어나는 간격의 비의 수렴값으로 정의된다. 본래는 로지스틱 맵에서 주기가 두배로 늘어나는 분기(주기배가 분기)의 간격의 비로서 발견되었지만, 일반적인 혼돈계가 같은 비로 주기배가 분기가 일어난다는 것이 증명되었다.

두 번째 상수틀:OEIS 인 추가상수 $\alpha$ 는

$\alpha =2.502907875095892822283902873218...$

는 뽀족한 살과 작은 살의 비로서 정의된다.

파이겐바움 함수 $g(x)=\frac{1}{-\alpha }g(g(\alpha x))$에서,

$x=0$에 가까운 해의 2 차 의존성을 갖는 특정 형태의 해에 대해,

$\frac{1}{\alpha }$ 의 역원 $\alpha =2.502907875095892822283902873218...$는 추가상수 $\alpha$이다.

파이겐바움 상수들은 카오스 이론의 선구자 중 한사람으로 수리물리학자 미첼 파이겐바움이 발견하였다.

분기 다이어그램의 구간

$\delta =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\overset{}{\lim }}\frac{L_{n+1}-L_n}{L_{n+2}-L_{n+1}}=4.66920160910299067185320382...$

$L$은 분기 구간

한편, Feigenbaum 상수 $\delta$는 $\frac{L_n}{L_{n+1}}$에 대한 연속적인 분기 다이어그램 사이의 거리 비의 한계를 나타낸다.

아래는 위 분기다이어그램으로부터 얻어지는 파이겐바움 상수의 대략적인 과정이다. (첫 번째 분기점을 수렴값이 처음으로 0에서 벗어나는 $a=1$으로 하면 $L_0=2$이다.)

틀:Math	Period	$L_n$	$\frac{L_n}{L_{n+1}}$
0	1	2	—
1	2	0.45	4.444444...
2	4	0.09	5
3	8	0.02	4.5
$⋮$			$⋮$
$\mathrm{\infty }$			4.669201....

비 선형 맵의 예

파이겐바움 상수를 보여주는 비선형맵(Non-linear map)들의 예 ,

$f(x)=a-x^2$ 또는 $f(x)=ax(1-x)$ 그리고 프랙탈$f(x)=x^2+b$ 등 중에서

다음은 이들 중 하나에 대한 표현이다.

processing.js를 사용한 $f(x)=a-x^2$의 로지스틱 맵

같이 보기

• 파이겐바움 함수
• 텐트 맵
• 로지스틱 맵

참고

• 매스월드