위너 공간

틀:위키데이터 속성 추적 확률론에서 위너 공간(Wiener空間, 틀:Llang) 또는 추상 위너 공간(抽象Wiener空間, 틀:Llang)은 일종의 “정규 분포”에 해당하는 확률 측도를 갖춘, 무한 차원일 수 있는 바나흐 공간이다.틀:Rp 일반적으로, 르베그 측도의 일반화는 무한 차원에서 존재하지 않으며, 또한 힐베르트 공간 위의 가우스 분포 역시 무한 차원에서는 존재하지 않는다. (이러한 “측도”는 유한 가법 측도로 구성할 수 있으나, 가산 무한 가법성이 일반적으로 성립하지 않는다.) 그러나 힐베르트 공간을 내적과 다른 어떤 특별한 노름으로 완비화하면, 이렇게 하여 얻는 바나흐 공간 위에 가우스 분포의 확률 측도를 정의할 수 있으며, 위너 공간은 이러한 구성이 가능한 바나흐 공간을 일컫는다.

정의

위너 공간의 개념은 두 가지로 정의될 수 있다.

• 위너 공간은 그 측도의 푸리에 변환이 가우스 함수를 이룬다는 조건으로 추상적으로 정의할 수 있다.
• 위너 공간은 힐베르트 공간으로부터 구체적으로 정의할 수 있다.

이 두 정의는 서로 동치이다.

푸리에 변환을 통한 정의

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 분해 가능 실수 바나흐 공간 $E$
• $E$의 보렐 시그마 대수 위의 확률 측도 $\mu$
• 분해 가능 실수 힐베르트 공간 $(H,⟨|⟩)$
• 단사 연속 실수 선형 변환 $\iota :H\hookrightarrow E$. (이는 등거리 변환일 필요가 없다.) 또한, 그 상이 조밀 집합이라고 하자.

그렇다면, $H\subseteq E$이므로

$E^{\ast }\subseteq H^{\ast }=H$

이며, $E^{\ast }$는 $H$의 조밀 집합을 이룬다. (여기서 $(-{)}^{\ast }$는 연속 쌍대 공간을 뜻한다.)

만약

${\int }_E\exp (\mathrm{i}⟨\lambda |x⟩)\mathrm{d}\mu (x)=\exp (-\frac{⟨\lambda |\lambda {⟩}_H}{2})\mathrm{\forall }\lambda \in E^{\ast }\subseteq H$

라면, $(E,\mu ,H)$가 위너 공간이라고 한다.

구체적 정의

위너 공간의 개념은 힐베르트 공간으로부터 보다 구체적으로 정의될 수 있다.

분해 가능 실수 힐베르트 공간 $H$ 위의 기둥 집합의 족 $\mathrm{Cyl}(H)$ 위에, 다음과 같은 유한 가법 측도를 정의할 수 있다.

$\nu :\mathrm{Cyl}(H)\to [0,1]$

$\nu :P^{-1}(S)\mapsto (2\pi {)}^{n/2}{\int }_S\exp (-x^2/2){\mathrm{d}}^{n}x(P:H\to {ℝ}^n,S\in \mathrm{Borel}({ℝ}^n))$

특히,

$\nu (H)=1$

$\nu (\varnothing )=0$

이다. 그러나 이는 가산 무한 가법성을 충족시키지 못해, 측도를 이루지 못한다. 즉, 이는 $\sigma (\mathrm{Cyl}(H))=\mathrm{Borel}(H)$ 위의 (가산 가법) 측도의 제한이 아니다. 이를 $H$ 위의 기둥 집합 측도(틀:Llang)라고 한다.

$H$ 위의 (내적 노름과 다를 수 있는) 노름 $\Vert -\Vert$이 주어졌다고 하자. 만약 다음 조건을 만족시키는 유한 차원 부분 공간들의 열

$V_1\le V_2\le \cdots \le H$

이 존재한다면, 이를 가측 노름(틀:Llang)이라고 한다.

임의의 유한 차원 부분 공간 $W\subseteq H$에 대하여, 만약 $W\perp V_n$이라면, $\nu (\{x\in H:\Vert {\mathrm{proj}}_{W}x\Vert >2^{-n}\})<2^{-n}$이다.

$H$의, 어떤 가측 노름 $\Vert -\Vert$에 대한 완비화인 바나흐 공간

$H\subseteq E$

가 주어졌다고 하자. $B^{\ast }\subseteq H^{\ast }\cong H$이므로,

$\{H\cap C:C\in \mathrm{Cyl}(E)\}\subseteq \mathrm{Cyl}(H)$

이다.

그렇다면, $E$의 기둥 집합의 족 $\mathrm{Cyl}(E)$ 위에 다음과 같은 측도를 정의할 수 있다.

$\nu :\mathrm{Cyl}(E)\to [0,1]$

$\nu :{\varphi }^{-1}(S)\mapsto \nu (H\cap {\varphi }^{-1}(S))\mathrm{\forall }\varphi :B\to {ℝ}^n$

이는 $\mathrm{Cyl}(E)$로 생성되는 시그마 대수

$\sigma (\mathrm{Cyl}(E))=\mathrm{Borel}(E)$

위에 가산 가법으로 유일하게 확장될 수 있다. 즉, 이는 가측 공간 $(E,\mathrm{Borel}(E))$ 위의 확률 측도를 이룬다. 그렇다면, $(E,H,\mu )$를 위너 공간이라고 한다.

성질

위너 공간 $(E,\mu ,H)$가 주어졌다고 하자. 임의의 유계 범함수 $\varphi \in E^{\ast }$에 대하여, $ℝ$ 위의 측도 ${\varphi }_{\ast }\mu$의 분포 함수는 평균이 0인 $ℝ$ 위의 정규 분포에 비례한다. 즉, 다음과 같은 꼴이다.

$\mu ({\varphi }^{-1}(S))={\int }_{S}C\exp (-x^2/2{\sigma }^2),\mathrm{d}x(C\ge 0,{\sigma }^2>0)$

또한, 만약 $\varphi \ne 0$라면, $C>0$이다.

존재

임의의 분해 가능 바나흐 공간 $E$에 대하여, 그 위의 위너 공간 구조 $(\mu ,H)$가 적어도 하나 이상 존재한다.틀:Rp

페일리-위너 적분

위너 공간 $(E,\mu ,H)$이 주어졌다고 하자. 그렇다면,

$E^{\ast }\subseteq H\subseteq E$

가 성립한다. 또한,

$E^{\ast }\subseteq {\mathrm{L}}^2(E,\mu ;ℝ)$

임을 보일 수 있으며, 다음이 성립한다.

$\Vert \varphi {\Vert }_{{\mathrm{L}}^2(E,\mu ;ℝ)}=\sqrt{⟨\varphi |\varphi {⟩}_H}$

다시 말해, 등거리 변환인 선형 변환

$E^{\ast }\to {\mathrm{L}}^2(E,\mu ;ℝ)$

이 존재한다. $E^{\ast }$는 $H$의 조밀 집합이므로, 이를 $H$ 전체로 확장할 수 있다. 즉, 등거리 변환인 단사 선형 변환

$I:H\to {\mathrm{L}}^2(E,\mu ;ℝ)$

이 존재한다. 이를 페일리-위너 사상(틀:Llang)이라고 한다. 이에 따라서, 임의의 $h\in H$ 및 $x\in E$에 대하여

$I_h(x)\in ℝ$

를 정의할 수 있다. 이를 페일리-위너 적분(틀:Llang)이라고 한다.

캐머런-마틴 정리

위너 공간 $(E,\mu ,H)$ 및 $h\in H$에 대하여, 다음을 정의하자.

$(+h):E\to E$

$(+h):x\mapsto x+h$

그렇다면, $E$ 위의 보렐 확률 측도

${\mu }_h=(+h{)}_{\ast }\mu :\mathrm{Borel}(E)\to [0,1]$

를 정의할 수 있다. 이 경우, 라돈-니코딤 도함수

$\frac{\mathrm{d}{\mu }_h}{\mathrm{d}\mu }$

는 다음과 같다.

$\frac{\mathrm{d}{\mu }_h}{\mathrm{d}\mu }=\exp (I_h(x))-\frac{1}{2}⟨h|h⟩)$

여기서 $I_h(x)$는 페일리-위너 적분이다. 이를 캐머런-마틴 정리(틀:Llang)라고 한다.

연산

두 위너 공간 $(E,\mu ,H)$, $(E^{\prime },{\mu }^{\prime },H^{\prime })$가 주어졌을 때, $(E\oplus E^{\prime },H\oplus H^{\prime })$ 위에 다음 조건으로 결정되는 위너 공간 구조가 존재한다.

$\mu (S\times S^{\prime })={\mu }_E(S){\mu }_{E^{\prime }}(S^{\prime })\mathrm{\forall }S\in \mathrm{Borel}(E),S^{\prime }\in \mathrm{Borel}(E^{\prime })$

예

만약 $H$가 유클리드 공간(즉, 유한 차원 힐베르트 공간)이며, $H=E$라고 하자. 이 경우, $H$ 위의 위너 공간 구조의 개념은 $H$ 위의, 평균이 0인 정규 분포와 같다.

고전 위너 공간

다음과 같은 바나흐 공간을 생각하자.

${𝒞}_0^0([0,T],{ℝ}^n)=\{f\in {𝒞}^0([0,T],{ℝ}^n):f(0)=0\}$

$\Vert f{\Vert }_{{𝒞}_0^0([0,T],{ℝ}^n)}=\underset{[0,T]}{\max }\Vert f{\Vert }_{{ℝ}^n}$

그렇다면, 그 속에 다음과 같은 부분 공간을 정의할 수 있다.

${\mathrm{W}}_0^{1,2}([0,T],{ℝ}^n)={\mathrm{W}}^{1,2}([0,T],{ℝ}^n)\cap {𝒞}_0^0([0,T],{ℝ}^n)=\{f\in {𝒞}_0^0([0,T],{ℝ}^n),\mathrm{d}f/\mathrm{d}t\in {\mathrm{L}}^2([0,T],{ℝ}^n)\}$

여기서 ${\mathrm{W}}^{1,2}(-)$는 소볼레프 공간이다. 즉, 이 부분 공간의 원소는 거의 어디서나 1차 도함수를 가지며, 그 1차 도함수는 르베그 공간 ${\mathrm{W}}_0^{1,2}([0,T],{ℝ}^2)$의 원소이다. (도함수의 L² 노름의 제곱은 에너지라고 하며, 따라서 ${\mathrm{L}}_0^{2,1}$의 원소는 유한 에너지 경로(틀:Llang)라고 한다.) 이는 조밀 집합이며, 그 위에 다음과 같은 힐베르트 공간 구조를 줄 수 있다.

$⟨f,g{⟩}_{{\mathrm{L}}_0^{2,1}([0,1],{ℝ}^n)}={\int }_0^T⟨\dot{f}(t),\dot{g}(t){⟩}_{{ℝ}^n}\mathrm{d}t$

이제, 임의의 확률 공간 $\Omega$ 및 위너 과정

$(W_t:\Omega \to {ℝ}^n{)}_{t\in [0,T]}$

을 생각하자. $W$의 궤적은 거의 확실하게 연속 함수이므로, 그 궤적들의 확률 분포는 ${𝒞}_0([0,T],{ℝ}^n)$ 위의 측도를 정의한다. 즉, 임의의 보렐 집합 $S\subseteq {𝒞}_0^0([0,T],{ℝ}^n)$에 대하여,

$\mu (S)=\mathrm{Pr}(W\in S)$

로 놓는다.

그렇다면, $({𝒞}_0^0([0,T],{ℝ}^n),\mu ,{\mathrm{L}}_0^{2,1}([0,1],{ℝ}^n))$는 위너 공간을 이룬다. 이를 고전 위너 공간(古典Wiener空間, 틀:Llang)이라고 한다.

브라운 다리

원을

${𝕊}^1=[0,1]/(0\sim 1)$

로 정의하자.

L^∞ 노름을 가진, 초가 값이 주어진 주기 함수들의 바나흐 공간

$E={𝒞}_0^0({𝕊}^1,{ℝ}^n)=\{f\in {𝒞}^0({𝕊}^1,{ℝ}^n):f(0)=f(1)=0\}$

을 생각하자. 이 위에, 부분 공간

$H={\mathrm{W}}_0^{1,2}({𝕊}^1,{ℝ}^n)={\mathrm{W}}^{1,2}({𝕊}^1,{ℝ}^n)\cap E$

을 생각하자. 이는 내적

$⟨f,g⟩=\oint \dot{f}\dot{g}$

에 의하여 힐베르트 공간을 이룬다.

$E$ 위에, 확률 과정

$X_t=W_t-t{W}_1$

의 법칙으로 주어지는 확률 측도를 부여하자. 여기서 $W_t$는 위너 과정이다. 그렇다면, $(E,H)$는 위너 공간을 이룬다.틀:Rp

힐베르트 공간 위의 위너 공간 구조

분해 가능 힐베르트 공간 $H$ 및 에르미트 양의 정부호 힐베르트-슈미트 작용소 $A:H\to H$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 노름

$\Vert x{\Vert }_A=⟨Ax|Ax{⟩}_H$

을 정의할 수 있다. 이는 가측 노름임을 보일 수 있으며, 이렇게 하여 정의된 위너 공간 $(E,\mu ,H)$에서 $E$ 역시 힐베르트 공간을 이룬다.틀:Rp 반대로, 임의의 위너 공간 $(E,\mu ,H)$에서 $E$가 힐베르트 공간이라면, 이는 항상 위와 같은 꼴로 표현된다.틀:Rp

역사

고전 위너 공간은 노버트 위너가 최초로 구성하였다. 이후 레너드 그로스(틀:Llang)가 (추상적) 위너 공간의 개념을 도입하였다.

페일리-위너 적분은 레이먼드 에드워드 앨런 크리스토퍼 페일리(틀:Llang, 1907〜1933)와 노버트 위너의 이름을 땄다.

캐머런-마틴 정리는 로버트 호턴 캐머런(틀:Llang, 1908〜1989)과 윌리엄 테드 마틴(틀:Llang, 1911〜2004)이 증명하였다.

외부 링크

• 틀:웹 인용
• 틀:웹 인용