기둥 집합

틀:위키데이터 속성 추적 함수해석학과 측도론에서, 기둥 집합은 유한 개의 연속 범함수만으로 정의될 수 있는, 위상 벡터 공간의 부분 집합이다.

정의

위상 벡터 공간 $V$의 기둥 집합 $C\subseteq V$은 다음과 같은 꼴로 표현되는 부분 집합 $C\subseteq V$이다.

$C={\varphi }^{-1}(S)$

여기서

• $\varphi :V\to {ℝ}^n$은 어떤 전사 연속 선형 변환이다.
• $S\subseteq {ℝ}^n$는 보렐 집합이다.

즉, 어떤 ${\varphi }_1,\dots ,{\varphi }_n\in V^{*}$에 대하여

$C=\{x\in V:({\varphi }_1(x),\dots ,{\varphi }_n(x))\in S\}$

가 된다. (여기서 $(-{)}^{*}$는 연속 쌍대 공간을 뜻한다.)

$V$의 기둥 집합들의 족을 $\mathrm{Cyl}(V)$라고 표기하자.

성질

기둥 집합은 이는 유한 합집합 · 유한 교집합 · 여집합에 대하여 닫혀 있다. 특히, 공집합(0개의 집합들의 합집합)과 $V$ 전체(0개의 집합들의 교집합)는 $V$의 기둥 집합이다.

정의에 따라, 모든 기둥 집합은 보렐 집합이다.

기둥 집합은 일반적으로 가산 무한 합집합 또는 교집합에 대하여 닫혀 있지 않으며, 따라서 시그마 대수를 이루지 못한다. 그러나 $\mathrm{Cyl}(V)$로 생성되는 시그마 대수 $\sigma (\mathrm{Cyl}(V))$를 생각할 수 있다. 만약 $V$가 분해 가능 바나흐 공간이라면, 기둥 집합의 족으로 생성되는 시그마 대수는 $V$의 보렐 시그마 대수와 일치한다.틀:Rp 그러나 이는 분해 불가능 바나흐 공간에 대하여 성립하지 않는다.틀:Rp

예

임의의 집합 $S$에 대하여, 이를 정규 직교 기저로 갖는 힐베르트 공간

$H={\ell }^2(S)$

을 생각하자. 이 공간이 분해 가능 공간일 필요 충분 조건은 $S$가 가산 집합인 것이다.

이제, 어떤 기수 $\kappa$에 대하여, 다음과 같은 집합족을 생각하자.

$𝒮(\kappa )\subseteq \mathrm{Pow}(H)$

$𝒮(\kappa )=\{{\pi }_A^{-1}(T):A\subseteq S,|A|<\kappa ,T\in \mathrm{Borel}({\ell }^2(A))\}$

여기서

• ${\pi }_A:{\ell }^2(S)\to {\ell }^2(A)$는 자연스러운 사영 사상이다.
• $\mathrm{Borel}(-)$은 보렐 시그마 대수이다.

그렇다면,

• 정의에 따라 $𝒮({\mathrm{\aleph }}_0)=\mathrm{Cyl}(H)$이다.
• $𝒮({\mathrm{\aleph }}_1)=\sigma (\mathrm{Cyl}(H))$이다.틀:Rp
• 자명하게 $𝒮(|S{|}^{+})=\mathrm{Borel}(H)$이다. 여기서 $|S{|}^{+}$는 $S$ 바로 다음의 기수이다.

특히, 유한 차원 힐베르트 공간(=유클리드 공간, $|S|<{\mathrm{\aleph }}_0$)의 경우

$\mathrm{Cyl}({ℝ}^n)=\sigma (\mathrm{Cyl}({ℝ}^n))=\mathrm{Borel}({ℝ}^n)$

이며, 분해 가능 무한 차원 힐베르트 공간($|S|={\mathrm{\aleph }}_0$)의 경우

$\mathrm{Cyl}(H)⊊\sigma (\mathrm{Cyl}(H))=\mathrm{Borel}(H)$

이지만, 분해 불가능 힐베르트 공간의 경우

$\mathrm{Cyl}(H)⊊\sigma (\mathrm{Cyl}(H))⊊\mathrm{Borel}(H)$

이다.