리 대응

틀:위키데이터 속성 추적 리 군론에서 리 대응(Lie對應, 틀:Llang)은 리 군의 범주에서 실수 리 대수의 범주로 가는 표준적인 함자이다. 즉, 각 리 군에 표준적 실수 리 대수가 대응되며, 리 군의 매끄러운 군 준동형에 실수 리 대수의 준동형이 대응된다.

정의

리 군 $G$ 위에는 각 $g\in G$에 대하여 다음과 같은 자기 함수를 정의할 수 있다.

${𝖫}_g:G\to G(g\in G)$

${𝖫}_g:h\mapsto gh$

$G$ 위의 매끄러운 벡터장 $X\in {\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(X)$가 다음 조건을 만족시키면, 왼쪽 불변 벡터장이라고 한다.

${𝖫}_{g*}(X^{\mu }(h))=X^{\mu }(gh)\mathrm{\forall }g,h\in G$

여기서

• ${𝖫}_{g*}:{\mathrm{T}}_{h}G\to {\mathrm{T}}_{gh}G$는 ${𝖫}_g$에 대한 벡터장의 밂이다.

그렇다면, 다음 두 실수 벡터 공간 사이에 표준적인 동형이 존재하며, 이 실수 벡터 공간을 $\mathrm{Lie}(G)$라고 한다.

• $G$ 위의 왼쪽 불변 벡터장들의 벡터 공간
• $G$의 항등원 $1\in G$에서의 접공간 $T_{1}G$

또한, $\mathrm{Lie}(G)$는 (왼쪽 불변 벡터장의) 리 미분

$[X,Y]={ℒ}_{X}Y$

에 대하여 닫혀 있음을 보일 수 있다. 따라서, 이를 부여하면 $\mathrm{Lie}(G)$는 리 대수를 이룬다. 이를 리 대응이라고 한다. 만약 $G$가 복소수 리 군이라면, $\mathrm{Lie}(G)$는 자연스럽게 복소수 벡터 공간을 이루며, 따라서 복소수 리 대수가 된다.

마찬가지로, 두 리 군 사이의 매끄러운 군 준동형

$f:G\to H$

및 $G$ 위의 왼쪽 불변 매끄러운 벡터장 $X\in \mathrm{Lie}(G)$에 대하여, 밂 $f_{*}X\in {\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(G)$는 $H$의 왼쪽 불변 매끄러운 벡터장을 정의한다. 이는 리 대수의 준동형

$\mathrm{Lie}(f)=\mathrm{d}f\upharpoonright \mathrm{Lie}(G):\mathrm{Lie}(G)\to \mathrm{Lie}(H)$

를 정의한다.

통상적으로, 주어진 리 군의 리 대수는 리 군의 이름의 흑자체 소문자로 쓴다. 예를 들어 SO(5)의 리 대수는 $\mathrm{Lie}(\mathrm{SO}(5))=𝔰𝔬(5)$이다.

성질

함자성

$\mathrm{Lie}$는 리 군의 범주에서 실수 리 대수의 범주로 가는 충실한 함자를 정의한다.

$\mathrm{Lie}:\mathrm{LieGrp}\to {\mathrm{LieAlg}}_{ℝ}$

연산과의 호환

리 대응은 차원을 보존한다. 즉, $n$차원 리 군에 대응되는 실수 리 대수는 $n$차원 실수 리 대수이다.

$\dim \mathrm{Lie}(G)=\dim G$

리 대응 아래, 반대군은 리 괄호에 −1을 곱하는 것에 대응한다.

$\mathrm{Lie}(G^{\mathrm{op}})=(\mathrm{Lie}(G){)}^{\mathrm{op}}$

$(V,[-,-{]}_V{)}^{\mathrm{op}}=(V,-[-,-{]}_V{)}^{\mathrm{op}}$

리 대응은 리 군의 직접곱을 리 대수의 직합으로 대응시킨다.

$\mathrm{Lie}(G\times H)=\mathrm{Lie}(G)\oplus \mathrm{Lie}(H)$

리 대응은 리 군의 (닫힌 부분군에 대한) 짧은 완전열을 실수 리 대수의 짧은 완전열로 대응시킨다.

$1\to K\to G\to G/H\to 1$

$0\to \mathrm{Lie}(K)\to \mathrm{Lie}(G)\to \frac{\mathrm{Lie}(G)}{\mathrm{Lie}(K)}\to 0$

마찬가지로, 리 대응은 리 군의 닫힌 부분군을 실수 리 대수의 부분 리 대수로 대응시킨다. (그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.)

전사성 · 단사성

함자 $\mathrm{Lie}:\mathrm{LieGrp}\to {\mathrm{LieAlg}}_{ℝ}$는 대상의 동형류에 대하여 단사 함수도, 전사 함수도 아니다.

• 단사성은 리 대수가 국소적인 정보만을 담기 때문이다. 예를 들어 SO(3)과 SU(2)는 국소적으로 같으므로 (SU(2)는 SO(3)의 범피복군) 같은 리 대수 $𝔰𝔬(3)\cong 𝔰𝔲(2)$를 지닌다.
• 전사성의 실패는 무한 차원에서 일어난다. 모든 유한 리 대수에 대하여 대응되는 리 군이 존재하지만, 이는 무한 차원 리 대수에 대해서는 성립하지 않는다. (정의에 따라 모든 매끄러운 다양체는 유한 차원이지만, 무한 차원 다양체의 개념을 도입하여도 이 문제는 쉽게 해결할 수 없다.)

그러나 리 제3 정리(Lie第三定理, 틀:Llang)에 따르면, 이 함자를 유한 차원 리 대수 및 (유한 차원) 연결 단일 연결 리 군에 국한한다면, 이 함자는 (동형을 무시하면) 범주의 동치를 이룬다. 즉, 다음 두 집합 사이에 표준적인 전단사 함수가 존재한다.

• 연결 단일 연결 리 군의 동형류
• 실수 유한 차원 리 대수의 동형류

이 함수는 구체적으로 $G\mapsto \mathrm{Lie}(G)$이다. 또한, 임의의 두 연결 단일 연결 리 군 $G$, $H$에 대하여, 다음과 같은 표준적인 전단사 함수가 존재한다.

$\mathrm{hom}(G,H)\to \mathrm{hom}(\mathrm{Lie}(G),\mathrm{Lie}(H))$

여기서 좌변은 두 리 군 사이의 매끄러운 군 준동형의 집합이며, 우변은 두 실수 리 대수 사이의 리 대수 준동형의 집합이다.

부분 리 대수에 대응하는 부분군

리 군 $G$의 부분군 $H\le G$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 군을 해석적 부분군(틀:Llang) 또는 몰입 부분군(틀:Llang)이라고 한다.틀:Rp틀:Rp

• $H$에 적절한 위상을 주면 연결 리 군 $\tilde{H}$으로 만들 수 있으며, 이 경우 포함 함수 $\tilde{H}\to G$는 매끄러운 다양체의 매끄러운 몰입을 이룬다.
• $H$에 부분 공간 위상을 주면, $H$는 경로 연결 공간이다.

그러나 후자를 경로 연결성에서 연결성으로 약화시킬 수 없다. $H$가 리 군 (즉, 매끄러운 다양체)이 되게 하는 위상과 $G$로부터의 부분 공간 위상은 일반적으로 다르다.

모든 닫힌 부분군은 해석적 부분군이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

만약 $G$가 연결 단일 연결 리 군일 경우, 리 제2 정리(Lie第二定理, 틀:Llang)에 따르면, 다음 두 집합 사이에 표준적인 전단사 함수가 존재한다.틀:Rp틀:Rp

• $G$의 해석적 부분군들의 집합
• $G$의 리 대수 $𝔤$의 부분 리 대수들의 집합

구체적으로, $G$의 해석적 부분군 $H\le G$에 대응하는 부분 리 대수는 $H$ 위에 다른 위상을 주어 리 군 $\tilde{H}$로 만들었을 때, $\tilde{H}$의 리 대수 $𝔥$이다.

리 군 표현에 대응하는 리 대수 표현

리 군에 대응하는 리 대수의 특별한 경우로, 리 군 $G$의 유한 차원 표현

$\rho :G\to \mathrm{GL}(n;K)$

를 생각하자. 여기서 $K$는 유한 차원 실수 결합 대수를 이루는 나눗셈환이다 (즉, $K\in \{ℝ,ℂ,ℍ\}$이다).

이 경우, 이에 대응하는 실수 리 대수 준동형

$\mathrm{Lie}(\rho ):\mathrm{Lie}(G)\to 𝔤𝔩(n;K)$

를 정의할 수 있다. 이는 $\rho$에 대응하는 리 대수의 표현이다.

예

$n$차원 아벨 리 군 $G$에 대하여 대응하는 리 대수는 아벨 리 대수 ${ℝ}^n$이다.

(0차원 리 군으로 간주한) 이산군에 대응하는 리 대수는 0차원 실수 리 대수 $0$이다.

$K\in \{ℝ,ℂ,ℍ\}$일 때, $n\times n$ 직교 행렬의 리 군 $\mathrm{O}(n;K)$의 리 대수는 $n\times n$ 반대칭 행렬의 리 대수 $𝔬(n;𝕂)$이다.

닫힌집합이 아닌 해석적 부분군

원환면 리 군 $\mathrm{U}(1)\times \mathrm{U}(1)=\{(\exp (i\alpha ),\exp (i\beta )):\alpha ,\beta \in ℝ\}$에서, 임의의 실수 $c$에 대하여 부분군 $\{(\exp (i\alpha ),\exp (ic\alpha )):\alpha \in ℝ\}$를 정의하자. 그렇다면, $c$가 유리수일 경우 이는 닫힌집합인 부분군이지만, 아닐 경우 이는 닫힌집합이 아닌 해석적 부분군이다.

역사

리 대응 및 리의 제2·제3 정리는 소푸스 리가 도입하였다.

외부 링크

• 틀:Eom