합성 대수

틀:위키데이터 속성 추적 추상대수학에서 합성 대수(合成代數, 틀:Llang)는 대략 “절댓값의 제곱이 잘 정의되는” 대수 구조이다. 구체적으로, 이는 (결합 법칙이나 교환 법칙을 따르지 않을 수 있는) 쌍선형 이항 연산이 주어져 있으며, 이와 호환되는 (양의 정부호가 아닐 수 있는) 비퇴화 쌍선형 형식 또는 비퇴화 이차 형식이 주어진 벡터 공간으로 구성된다.

정의

가환환 $K$ 위의 합성 대수는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• $K$-가군 $A$
• $K$-선형 변환 $A{\otimes }_{K}A\to A$, $a{\otimes }_{K}b\mapsto a\star b$. (이는 결합 법칙이나 교환 법칙을 따를 필요가 없다.)
• $\star$에 대한 양쪽 항등원 $1_A\in A$
• $A$ 위의 비퇴화 이차 형식 $Q:A\to K$. (즉, $\mathrm{rad}Q=\{a\in A:Q(a,A)=0\}=\{0\}$이다.) 또한, 이는 $Q(1_A)=1_K$ 및 $Q(a\star b)=Q(a)Q(b)\mathrm{\forall }a,b\in A$를 만족시킨다. (그러나 이 이차 형식이 양의 정부호일 필요는 없다.)

(일부 문헌에서는 합성 대수의 정의에서 항등원의 존재를 요구하지 않는다.)

연산

합성 대수는 다음과 같은 자연스러운 추가 구조들을 갖는다.

내적

합성 대수 $A$ 위에 다음과 같은 대칭 쌍선형 형식을 정의할 수 있다.

$⟨-,-⟩:A\otimes A\to K$

$⟨a,b⟩=Q(a+b)-Q(a)-Q(b)$

만약 가환환 $K$에서 2가 가역원이라면, 비퇴화 이차 형식의 개념은 비퇴화 대칭 쌍선형 형식의 개념과 동치이며, 이 경우 $Q$를 쌍선형 형식으로부터 다음과 같이 재구성할 수 있다.

$Q(a)=\frac{1}{2}⟨a,a⟩$

즉, 대신 비퇴화 대칭 쌍선형 형식을 사용하여 위와 동치인 정의를 적을 수 있다.

대각합과 켤레

$K$-합성 대수 $A$ 위에는 다음과 같은 대각합이 존재한다.

$\mathrm{tr}a=Q(a+1)-Q(a)-1\mathrm{\forall }a\in A$

이는 $K$-선형 변환

$\mathrm{tr}:A\to K$

을 정의하며, 또한 정의에 따라

$\mathrm{tr}{1}_A=2$

이다.

대각합으로부터, 다음과 같은 대합을 정의할 수 있다.

$a^{*}=\mathrm{tr}(a)1_A-a$

이는 물론 $K$-선형 변환

$(-{)}^{*}:A\to A$

를 정의한다.

리 대수

틀:본문 틀:본문 틀:본문 합성 대수 $A$로부터, 미분 리 대수 $𝔡𝔢𝔯(A)$ 및 이를 포함하는 삼중성 리 대수 $𝔱𝔯𝔦(A)$를 구성할 수 있다. 또한, 합성 대수와 요르단 대수로부터 프로이덴탈 마방진이라는 구성을 통해 예외적 단순 리 대수를 포함한 여러 리 대수들을 구성할 수 있다.

성질

$K$-합성 대수 $A$는 다음과 같은 항등식들을 따른다.틀:Rp

$\mathrm{tr}(a^{*})=\mathrm{tr}a$

$1_A^{*}=1_A$

$Q(a^{*})=Q(a)$

$a^{**}=a$

$a^{*}\star (a\star b)=a\star (a^{*}\star b)=(b\star a)\star a^{*}=(b\star a^{*})\star a=Q(a)b$

$a\star a-\mathrm{tr}(a)a+Q(a)=0$

$⟨ab,c⟩=⟨b,a^{*}c⟩=⟨a,c{b}^{*}⟩$

분류

일반적으로, 표수가 2가 아닌 임의의 체 $K$ 위에서, 합성 대수의 차원은 1, 2, 4, 또는 8 가운데 하나이며, 이들은 모두 $K$ 위에 케일리-딕슨 구성을 가하여 얻어진다.

실수체 위의 합성 대수

실수체 $ℝ$ 위의 합성 대수는 정확히 7개가 있으며, 이들은 다음과 같다.

• 실수체 $ℝ$
• 복소수체 $ℂ$
• 사원수 대수 $ℍ$
• 팔원수 대수 $𝕆$
• 분할복소수 대수 $\widetilde{ℂ}=ℝ[x]/(x^2-1)\cong ℝ\oplus ℝ$
• 분할 사원수(틀:Llang) 대수 $\widetilde{ℍ}$. 이는 $\mathrm{Mat}(2;ℝ)$와 동형이며, 그 제곱 노름은 2×2 행렬의 행렬식과 같다.
• 분할 팔원수(틀:Llang) 대수 $\widetilde{𝕆}=\mathrm{Zorn}(ℝ)$

이차 폐체 위의 합성 대수

체 $K$ 위의 케일리-딕슨 구성은 제곱 유군에 의하여 분류된다. 따라서, 만약 $K$가 이차 폐체일 경우, 각 단계에서 케일리-딕슨 구성은 유일하다.

따라서, 만약 $K$가 표수가 2가 아닌 이차 폐체일 경우, 그 위의 합성 대수는 정확하게 네 개가 있다.

• $K$
• $K\oplus K$. 만약 $K=ℂ$일 경우, 이는 $ℂ{\otimes }_{ℝ}ℂ$로 여겨질 수 있다.
• $\mathrm{Mat}(K;2)$ 만약 $K=ℂ$일 경우, 이는 $ℍ{\otimes }_{ℝ}ℂ$로 여겨질 수 있다.
• $\mathrm{Zorn}(K)$. 만약 $K=ℂ$일 경우, 이는 $𝕆{\otimes }_{ℝ}ℂ$로 여겨질 수 있다.

예

임의의 체 $K$에 대하여, $(K,a\mapsto a^2)$는 스스로 위의 1차원 합성 대수를 이룬다. 이는 교환 법칙과 결합 법칙을 따른다.

2차원 벡터 공간

임의의 체 $K$에 대하여, 가환 $K$-결합 대수 $K\oplus K$를 생각하자. 즉, 그 덧셈과 곱셈은 다음과 같이 성분별로 정의된다.

$(a,b)+(a^{\prime },b^{\prime })=(a+a^{\prime },b+b^{\prime })$

$(a,b)(a^{\prime },b^{\prime })=(a{a}^{\prime },b{b}^{\prime })$

이 위에 비퇴화 이차 형식

$Q(a,b)=ab$

을 정의하면, 이는 2차원 $K$-합성 대수를 이룬다. 이 경우 대각합은

$\mathrm{tr}(a,b)=a+b$

이며, 대칭 쌍선형 형식은

$⟨(a,b),(a^{\prime },b^{\prime })⟩=a{b}^{\prime }+a^{\prime }b$

이다. 대합은 다음과 같이 두 성분의 순서를 바꾸는 것이다.

$(a,b{)}^{*}=(b,a)$

2×2 행렬 대수

임의의 체 $K$에 대하여, 2×2 행렬 대수 $\mathrm{Mat}(2;K)$를 생각하자. 여기서 $Q=\det$ (행렬식)을 잡으면, $(\mathrm{Mat}(2;K),\det )$은 결합 법칙을 따르는 4차원 합성 대수를 이룬다. 그러나 이는 교환 법칙을 따르지 않는다.

이 경우 합성 대수 대각합은 2×2 행렬의 대각합과 같다. 쌍선형 형식은 다음과 같다.

$⟨\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}{a}^{\prime }& b^{\prime }\\ c^{\prime }& d^{\prime }\end{array}\right)⟩=a{d}^{\prime }+a^{\prime }d-b{c}^{\prime }-b^{\prime }c$

대합은 다음과 같다.

${\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)}^{*}=\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$

$\mathrm{Mat}(2;K)$는 $K$-합성 대수 $K\oplus K$를 대각 행렬로서 포함한다.

초른 대수

임의의 체 $K$가 주어졌을 때, 8차원 벡터 공간 $\mathrm{Zorn}(K)=K^8$의 원소를 다음과 같은 형식적 2×2 행렬로 적자.

$\mathrm{Zorn}(K)=\{\left[\begin{array}{cc}a& 𝐮\\ 𝐯& b\end{array}\right]:a,b\in K,𝐮,𝐯\in K^3\}$

이 위에, 다음과 같은 “곱셈”을 정의하자. 이는 행렬의 곱셈과 유사하나, 3차원 벡터의 벡터곱에 해당하는 추가 항들이 등장한다.

$\left[\begin{array}{cc}a& 𝐮\\ 𝐯& b\end{array}\right]\star \left[\begin{array}{cc}{a}^{\prime }& {𝐮}^{\prime }\\ {𝐯}^{\prime }& b^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}a{a}^{\prime }+𝐮\cdot {𝐯}^{\prime }& a{𝐮}^{\prime }+𝐮b^{\prime }+𝐯\times {𝐯}^{\prime }\\ 𝐯a^{\prime }+b{𝐯}^{\prime }-𝐮\times {𝐮}^{\prime }& 𝐯\cdot {𝐮}^{\prime }+b{b}^{\prime }\end{array}\right]$

그 위의 이차 형식은 다음과 같은 “행렬식”이다.

$Q\left(\left[\begin{array}{cc}a& 𝐮\\ 𝐯& b\end{array}\right]\right)=\det \left[\begin{array}{cc}a& 𝐮\\ 𝐯& b\end{array}\right]=ab-𝐮\cdot 𝐯$

그렇다면, 이는 $K$ 위의 합성 대수를 이루지만, 일반적으로 결합 법칙이나 교환 법칙을 따르지 않는다. 이를 $K$의 초른 대수(틀:Llang)라고 한다.틀:Rp

합성 대수를 이룸의 증명:

$\begin{array}{cc}\det (\left[\begin{array}{cc}a& 𝐮\\ 𝐯& b\end{array}\right]\star \left[\begin{array}{cc}{a}^{\prime }& {𝐮}^{\prime }\\ {𝐯}^{\prime }& b^{\prime }\end{array}\right])& =\det \left[\begin{array}{cc}a{a}^{\prime }+𝐮\cdot {𝐯}^{\prime }& a{𝐮}^{\prime }+𝐮b^{\prime }+𝐯\times {𝐯}^{\prime }\\ 𝐯a^{\prime }+b{𝐯}^{\prime }-𝐮\times {𝐮}^{\prime }& 𝐯\cdot {𝐮}^{\prime }+b{b}^{\prime }\end{array}\right]\\ & =(a{a}^{\prime }+𝐮\cdot {𝐯}^{\prime })(𝐯\cdot {𝐮}^{\prime }+b{b}^{\prime })-(a{𝐮}^{\prime }+𝐮b^{\prime }+𝐯\times {𝐯}^{\prime })\cdot (𝐯a^{\prime }+b{𝐯}^{\prime }-𝐮\times {𝐮}^{\prime })\\ & =(a{a}^{\prime }+𝐮\cdot {𝐯}^{\prime })(𝐯\cdot {𝐮}^{\prime }+b{b}^{\prime })-(a{𝐮}^{\prime }+𝐮b^{\prime })\cdot (𝐯a^{\prime }+b{𝐯}^{\prime })+(𝐮\times {𝐮}^{\prime })\cdot (𝐯\times {𝐯}^{\prime })\\ & =a{a}^{\prime }b{b}^{\prime }-ab{𝐮}^{\prime }\cdot {𝐯}^{\prime }-a^{\prime }{b}^{\prime }𝐮\cdot 𝐯+(𝐮\cdot 𝐯)({𝐮}^{\prime }\cdot {𝐯}^{\prime })\\ & =(ab-𝐮\cdot 𝐯)(a^{\prime }{b}^{\prime }-{𝐮}^{\prime }\cdot {𝐯}^{\prime })\\ & =(\det \left[\begin{array}{cc}a& 𝐮\\ 𝐯& b\end{array}\right])(\det \left[\begin{array}{cc}{a}^{\prime }& {𝐮}^{\prime }\\ {𝐯}^{\prime }& b^{\prime }\end{array}\right])\end{array}$

여기서 항등식

$(𝐮\times {𝐮}^{\prime })\cdot (𝐯\times {𝐯}^{\prime })=(𝐮\cdot 𝐯)({𝐮}^{\prime }\cdot {𝐯}^{\prime })-(𝐮\cdot {𝐯}^{\prime })(𝐯\cdot {𝐮}^{\prime })$

을 사용하였다.

그 항등원은 다음과 같은 “단위 행렬”이다.

$1_{\mathrm{Zorn}(K)}=\left[\begin{array}{cc}{1}_K& \mathrm{𝟎}\\ \mathrm{𝟎}& 1_K\end{array}\right]$

또한, 그 대각합은 마찬가지로 “2×2 행렬”의 “대각합”이다.

$\mathrm{tr}\left[\begin{array}{cc}a& 𝐮\\ 𝐯& b\end{array}\right]=a+b$

그 위의 대합은 다음과 같다.

${\left[\begin{array}{cc}a& 𝐮\\ 𝐯& b\end{array}\right]}^{*}=\left[\begin{array}{cc}b& -𝐮\\ -𝐯& a\end{array}\right]$

$\mathrm{Zorn}(K)$는 $K$-합성 대수 $K\oplus K$를 “대각 행렬”로서 포함하며, 또 3차원 벡터 공간 속의 임의의 방향을 고르면 $K$-합성 대수 $\mathrm{Mat}(2;K)$를 포함한다.

역사

“합성 대수”라는 이름은 이러한 대수 구조에서 노름이 곱셈과 호환된다는 조건이 제곱들의 합 두 개의 곱을 제곱들의 합으로 나타내는 항등식을 정의하기 때문이다. 예를 들어, 복소수 $z=a+b\mathrm{i}$의 경우, 노름이 곱셈과 호환된다는 조건은 항등식

$(a{a}^{\prime }-b{b}^{\prime }{)}^2+(a{b}^{\prime }+a^{\prime }b{)}^2=(a^2+b^2)(a{\text{'}}^2+b{\text{'}}^2)$

을 정의하며, 마찬가지로 분할복소수 $z=a+b\mathrm{j}$ (${\mathrm{j}}^2=1$)의 경우는 항등식

$(a{a}^{\prime }+b{b}^{\prime }{)}^2-(a{b}^{\prime }+a^{\prime }b{)}^2=(a^2-b^2)(a{\text{'}}^2-b{\text{'}}^2)$

을 정의한다. 즉, 이러한 항등식은 제곱들의 합 두 개의의 곱을 또다른 제곱들의 합으로 “합성”한다.

복소수체의 노름에 해당하는 항등식은 이미 기원후 3세기에 디오판토스에게 알려져 있었다.틀:Rp

브라마굽타는 628년에 디오판토스의 항등식을 일반화하였으며, 특히 이 항등식은 분할복소수에 대응하는 항등식을 특별한 경우로 포함한다.

1748년에 레온하르트 오일러는 사원수의 노름에 대응하는 항등식을 발견하였으며, 1818년에 덴마크의 페르디난드 데겐(틀:Llang)은 팔원수의 노름에 해당하는 항등식을 발견하였다.

1843년에 윌리엄 로언 해밀턴은 오일러의 항등식을 사용하여 사원수의 대수를 구성하였다. 같은 해에 존 토머스 그레이브스(틀:Llang, 1806~1870)는 팔원수의 대수를 구성하였으며, 이듬해에 아서 케일리는 팔원수의 대수를 독자적으로 재발견하였다. 1848년에는 합성 대수 $ℂ{\otimes }_{ℝ}ℂ$에 해당하는 대수를 제임스 코클(틀:Llang, 1819~1895)이 “테사린”(틀:Llang)이라는 이름으로 발견하였다.

1919년에 레너드 유진 딕슨이 케일리-딕슨 구성을 도입하였으며, 이를 사용하여 양의 정부호 노름을 갖는, 실수체 위의 합성 대수들을 체계적으로 구성하였다. 1923년에는 아돌프 후르비츠가 양의 정부호 노름을 갖는, 실수체 위의 합성 대수는 총 네 개($ℝ$, $ℂ$, $ℍ$, $𝕆$)가 있다는 사실을 증명하였다.

1931년에 막스 초른은 케일리-딕슨 구성을 일반화하여, 분할 팔원수 $\widetilde{𝕆}$의 합성 대수를 구성하였다. 이후 1958년에 네이선 제이컵슨이 합성 대수의 자기 동형군을 묘사하였다.

같이 보기

• 프로이덴탈 마방진
• 삼중성 리 대수

외부 링크

• 틀:매스월드
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab