아서 케일리

틀:위키데이터 속성 추적 틀:과학자 정보 아서 케일리(틀:Llang 틀:IPA-all FRS, 1821년 8월 16일 ~ 1895년 1월 26일)는 영국의 법률가이자 수학자이다. 대학 졸업 후 25세에 14년 동안 법률가로서 활동하였다. 그 후 40대 이후에 드디어 본격적으로 전문수학자로서 활동하기 시작했다.

상대성 이론에서 4차원의 개념을 뚜렷하게 만들고, 기하 공간이 점과 선으로만 이루어진다고 한정하는 것을 벗어나게 했다. 또 행렬의 대수를 발전시켰고, 기하학에서도 많은 업적을 쌓았다. 1884년에 드 모르간 메달을 수상했다. 윌리엄 로언 해밀턴의 제자로서 해밀턴과 함께 케일리-해밀턴 정리를 발견하고, 해밀턴의 사원수를 발전시켜서 팔원수를 고안하기도 했다. 윌리엄 로언 해밀턴의 친구인 아일랜드의 수학자 존 토머스 그레이브스(영어: John Thomas Graves, 1806~1870)는 사원수를 확장하려는 시도 끝에 데겐의 여덟 제곱수 항등식을 재발견하였고, 이를 기반으로 한 팔원수를 고안하였다.

그러나 아서 케일리는 1845년에 이와는 독립적으로 팔원수를 발견하여 발표하였다.

아서 케일리의 팔원수는 사원수 대수에 케일리-딕슨 구성을 가하여 얻어진다.

제임스 조지프 실베스터와는 친구로, 실베스터가 런던을 방문할때면, 함께 Lincoln's Inn, London(런던법학원,영국법조원 비영리협회)에서 자주 거닐며, 불변식론을 논의하곤 했다.

다비트 힐베르트가 힐베르트의 불변식론을 전개할 때 케일리의 오메가 프로세스를 사용하였다.

케일리의 오메가 프로세스

$n^2$, 변수로 $x_{ij}$를 갖는 미분 연산자를 가정하면, 오메가 연산자(operator)가 다음과 같이 주어진다.

$\mathrm{\Omega }=\left|\begin{array}{ccc}\frac{\partial }{\partial x_{11}}& \cdots & \frac{\partial }{\partial x_{1n}}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial }{\partial x_{n1}}& \cdots & \frac{\partial }{\partial x_{nn}}\end{array}\right|$

2변수다항식의 2차 불변식의 경우, $f$는 $x_1,y_1$ 그리고 다른 함수 $g$ 의 $2$개의 변수$x_2,y_2$에 대해 Ω(오메가)연산자는

$\frac{{\partial }^{2}fg}{\partial x_1\partial y_2}-\frac{{\partial }^{2}fg}{\partial x_2\partial y_1}$ 이고,

$\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial f}{\partial x_1}& \frac{\partial f}{\partial y_1}\\ \frac{\partial g}{\partial x_2}& \frac{\partial g}{\partial y_2}\end{array}\right|={\mathrm{\Omega }}^2(f,g)$로 예약해보면,

$2-fold$(중)$\mathrm{\Omega }process$ ,즉 ${\mathrm{\Omega }}^2(f,g)$는 $x$ 그리고 $y$의 변수에 의해 $2$개의 $f$ 와 $g$ 가

1. $f$의 $x_1,y_1$ 그리고 $g$의 $x_2,y_2$로 변환한다.
2. $\mathrm{\Omega }$에 $r$승을 해주면, $4$개의 변수들($x_1,y_1,x_2,y_2$)에 의해서 $f\cdot g$가 성립한다.
3. $x_1,x_2$와 $x$를, $y_1,y_2$와 $y$를 대입한다.

$r-fold\mathrm{\Omega }process$ ,즉 ${\mathrm{\Omega }}^r(f,g)$ 또는 $r-th$ Transvectant($tr{\mathrm{\Omega }}^r$)로 불리는 $(f,g{)}^r$가 되겠다.

같이 보기

• 케일리의 정리(케일리의 공식)
• 케일리-해밀턴 정리
• 케일리 그래프
• 팔원수
• 케일리-딕슨 구성
• 제임스 조지프 실베스터
• 불변식론 틀:언어링크
• 케일리의 오메가 프로세스 틀:언어링크
• 힐베르트 공간

외부 링크

• 틀:수학계보