프로이덴탈 마방진

틀:위키데이터 속성 추적 추상대수학에서 프로이덴탈 마방진(Freudenthal魔方陣, 틀:Llang)은 요르단 대수로부터 단순 리 대수를 구성하는 방법이다. 특히, 만약 요르단 대수를 실수 · 복소수 · 사원수 · 팔원수의 3×3 에르미트 행렬의 요르단 대수로 잡을 경우, 예외적 단순 리 대수 F₄ · G₂ · E₆ · E₇ · E₈을 대수적으로 구성할 수 있다.

정의

다음 두 데이터가 주어졌다고 하자.

• (항등원 $1_J\in J$을 갖는) 유한 차원 실수 요르단 대수 $(J,\bullet ,1_J)$
• $J$ 위의 불변 비퇴화 대칭 쌍선형 형식 $⟨-,-⟩:J{\otimes }_{ℝ}J\to ℝ$. 즉, 다음이 성립해야 한다.

  $⟨A,B\bullet C⟩=⟨A\bullet B,C⟩\mathrm{\forall }A,B,C\in J$

• (항등원 $1_K\in K$를 갖는) 실수 합성 대수 $(K,\cdot ,1_K)$. 여기서 내적을 $⟨1_K,1_K⟩=1$이 되게 규격화한다.

이제, 다음과 같은 실수 벡터 공간을 생각하자.

$𝔤(K,J)=𝔡𝔢𝔯(K;ℝ)\oplus 𝔡𝔢𝔯(J;ℝ)\oplus ({\mathrm{Span}}_{ℝ}\{1_K\}{)}^{\perp }{\otimes }_{ℝ}({\mathrm{Span}}_{ℝ}\{1_J\}{)}^{\perp }$

여기서

• $𝔡𝔢𝔯(-;ℝ)$는 쌍선형 이항 연산에 대한 미분 리 대수이다.
• $(-{)}^{\perp }$은 내적에 대한 직교 여공간이다.

이 가운데, $𝔡𝔢𝔯(K;ℝ)\oplus 𝔡𝔢𝔯(J;ℝ)$는 이미 실수 리 대수를 이루며, 이는 $({\mathrm{Span}}_{ℝ}\{1_K\}{)}^{\perp }{\otimes }_{ℝ}({\mathrm{Span}}_{ℝ}\{1_J\}{)}^{\perp }$ 위의 표준적인 리 대수 표현을 갖는다. 즉, 만약 $𝔤(K,J)$ 전체가 실수 리 대수를 이루려면, 야코비 항등식을 만족시키는, $({\mathrm{Span}}_{ℝ}\{1_K\}{)}^{\perp }{\otimes }_{ℝ}({\mathrm{Span}}_{ℝ}\{1_J\}{)}^{\perp }$ 위의 리 괄호가 존재하면 족하다.

이제, 다음과 같은 괄호를 정의하자.

$[a\otimes A,b\otimes B]=\frac{⟨A,B{⟩}_J}{4⟨1_J,1_J{⟩}_J}{𝖣}_{a,b}-⟨a,b{⟩}_K[A\bullet ,B\bullet ]+\frac{1}{2}(a\cdot b-b\cdot a)\otimes {\mathrm{proj}}_{({\mathrm{Span}}_{ℝ}\{1_J\}{)}^{\perp }}(A\bullet B)(a,b\in (\mathrm{Span}\{1_K\}{)}^{\perp },A,B\in (\mathrm{Span}\{1_J\}{)}^{\perp })$

여기서

• $(A\bullet ):J\to J$는 $A$에 의한 요르단 곱셈이며, 그 교환자는 미분을 이룬다 ($[A\bullet ,B\bullet ]\in 𝔡𝔢𝔯(J;ℝ)$).
• ${𝖣}_{a,b}=[a\cdot ,b\cdot ]+[a\cdot ,\cdot b]+[\cdot a,\cdot b]\in 𝔡𝔢𝔯(K;ℝ)$는 $K$ 위의 미분이다.

이제, 만약 다음 두 조건 가운데 하나 이상이 성립한다면, $𝔤(K,J)$는 실수 리 대수를 이룬다.틀:Rp

• $(K,\cdot )$가 실수 결합 대수이다.
• $J$에서 다음 항등식이 성립한다.

  $2⟨1_J,1_J⟩{\mathrm{proj}}_{({\mathrm{Span}}_{ℝ}\{1_J\}{)}^{\perp }}(A\bullet (A\bullet A))=3⟨A,A⟩A\mathrm{\forall }A\in ({\mathrm{Span}}_{ℝ}\{1_J\}{)}^{\perp }$

성질

특히, 다음과 같은 특수한 경우가 성립한다.

$𝔤(ℝ,J)=𝔡𝔢𝔯(J;ℝ)$틀:Rp (미분 리 대수)

$𝔤(\widetilde{ℂ},J)={{𝔠𝔬𝔫}_0}^{\prime }(J)$틀:Rp

$𝔤(\widetilde{ℍ},J)=𝔠𝔬𝔫(J)$틀:Rp

$𝔤(𝕂,\mathrm{H}(n;{𝕂}^{\prime }))\cong 𝔤({𝕂}^{\prime },\mathrm{H}(n;𝕂))\mathrm{\forall }n\ge 2,𝕂,{𝕂}^{\prime }$틀:Rp

여기서 ${{𝔠𝔬𝔫}_0}^{\prime }(-)$ 및 $𝔠𝔬𝔫(-)$은 칸토르-쾨허-티츠 구성을 통해 $J$에 대응되는 리 대수들이다.

예

프로이덴탈 마방진을 구성하는 실수 리 대수들은 다음과 같다.

$J$ ╲ $K$	$ℝ$	$ℂ$	$ℍ$	$\widetilde{ℂ}$	$\widetilde{ℍ}$
$\mathrm{H}(n;ℝ)$	$𝔬(n;ℝ)$	$𝔰𝔲(n)$	$𝔲𝔰𝔭(2n)$	$𝔰𝔩(n;ℝ)$	$𝔰𝔭(2n;ℝ)$
$\mathrm{H}(n;ℂ)$	$𝔰𝔲(n)$	$𝔰𝔲(n{)}^{\oplus 2}$	$𝔰𝔲(2n)$	$𝔰𝔩(n;ℂ)$	$𝔰𝔲(n,n)$
$\mathrm{H}(n;ℍ)$	$𝔲𝔰𝔭(2n)$	$𝔰𝔲(2n)$	$𝔬(4n)$	${𝔰𝔲}^{*}(2n)$	${𝔬}^{*}(4n)$
$\mathrm{H}(n;\widetilde{ℂ})$	$𝔰𝔩(n;ℝ)$	$𝔰𝔩(n;ℂ)$	${𝔰𝔲}^{*}(2n)$	$𝔰𝔩(n;ℝ{)}^{\oplus 2}$	$𝔰𝔩(2n;ℝ)$
$\mathrm{H}(n;\widetilde{ℍ})$	$𝔰𝔭(2n;ℝ)$	$𝔰𝔲(n,n)$	${𝔬}^{*}(4n)$	$𝔰𝔩(2n;ℝ)$	$𝔬(2n,2n)$

여기서

• $\widetilde{ℂ}=ℝ[\mathrm{i}]/({\mathrm{i}}^2-1)$은 분할 복소수(틀:Llang)의 실수 가환 결합 대수이다.
• $\widetilde{ℍ}=ℝ⟨\mathrm{i},\mathrm{j}⟩/({\mathrm{i}}^2+1,{\mathrm{j}}^2-1,\mathrm{i}\mathrm{j}+\mathrm{j}\mathrm{i})$는 분할 사원수의 실수 결합 대수이다. 이는 사실 $\mathrm{Mat}(2;ℝ)$ (2×2 실수 정사각 행렬의 대수)와 실수 결합 대수로서 동형이다.
• $\mathrm{H}(n;K)$는 $K$ 계수 $n\times n$ 에르미트 행렬들의 요르단 대수이다.

3×3

3×3 행렬의 경우, (분할) 팔원수의 3×3 행렬 공간 $\mathrm{H}(3;𝕆)$ 및 $\mathrm{H}(3;\widetilde{𝕆})$가 요르단 대수가 되므로, 프로이덴탈 마방진에 이를 추가할 수 있다.

$J$ ╲ $K$	$ℝ$	$ℂ$	$ℍ$	$𝕆$	$\widetilde{ℂ}$	$\widetilde{ℍ}$	$\widetilde{𝕆}$
$\mathrm{H}(3;ℝ)$	$𝔰𝔬(3)$	$𝔰𝔲(3)$	$𝔲𝔰𝔭(6)$	${𝔣}_4$	$𝔰𝔩(3;ℝ)$	$𝔰𝔭(6;ℝ)$	${𝔣}_{4(4)}$
$\mathrm{H}(3;ℂ)$	$𝔰𝔲(3)$	$𝔰𝔲(3{)}^{\oplus 2}$	$𝔰𝔲(6)$	${𝔢}_6$	$𝔰𝔩(3;ℂ)$	$𝔰𝔲(3,3)$	${𝔢}_{6(2)}$
$\mathrm{H}(3;ℍ)$	$𝔲𝔰𝔭(6)$	$𝔰𝔲(6)$	$𝔰𝔬(12)$	${𝔢}_7$	${𝔰𝔲}^{*}(6)$	${𝔬}^{*}(12)$	${𝔢}_{7(-5)}$
$\mathrm{H}(3;𝕆)$	${𝔣}_4$	${𝔢}_6$	${𝔢}_7$	${𝔢}_8$	${𝔢}_{6(-26)}$	${𝔢}_{7(-25)}$	${𝔢}_{8(-24)}$
$\mathrm{H}(3;\widetilde{ℂ})$	$𝔰𝔩(3;ℝ)$	$𝔰𝔩(3;ℂ)$	${𝔰𝔲}^{*}(6)$	${𝔢}_{6(-26)}$	$𝔰𝔩(3;ℝ{)}^{\oplus 2}$	$𝔰𝔩(6;ℝ)$	${𝔢}_{6(6)}$
$\mathrm{H}(3;\widetilde{ℍ})$	$𝔰𝔭(6;ℝ)$	$𝔰𝔲(3,3)$	${𝔬}^{*}(12)$	${𝔢}_{7(-25)}$	$𝔰𝔩(6;ℝ)$	$𝔬(6,6)$	${𝔢}_{7(7)}$
$\mathrm{H}(3;\widetilde{𝕆})$	${𝔣}_{4(4)}$	${𝔢}_{6(2)}$	${𝔢}_{7(-5)}$	${𝔢}_{8(-24)}$	${𝔢}_{6(6)}$	${𝔢}_{7(7)}$	${𝔢}_{8(8)}$

2×2

2×2인 경우, 팔원수의 경우 약간의 해설이 필요하다. 이 경우,

$𝔤(𝕂,\mathrm{H}(2;𝕆))(𝕂\in \{ℝ,ℂ,ℍ\})$

는 잘 정의되지만, 반대로

$𝔤(𝕆,\mathrm{H}(2;𝕂))(𝕂\in \{ℝ,ℂ,ℍ\})$

는 잘 정의되지 않는다. 이 경우, 대칭성을 사용하여 둘째 대수를 첫째와 같게 임의로 정의할 수 있다. 사실, 이러한 경우 항상

$𝔤(𝕂,ℍ(2;{𝕂}^{\prime }))\cong 𝔬(𝕂\oplus {𝕂}^{\prime })(𝕂\in \{ℝ,ℂ,ℍ\},{𝕂}^{\prime }\in \{ℝ,ℂ,ℍ,𝕆\})$틀:Rp

임을 보일 수 있다. (계량 부호수는 $𝕂$와 ${𝕂}^{\prime }$의 고유 내적으로부터 유도된다.) 이를 통해, $𝕂={𝕂}^{\prime }=𝕆$인 경우 등의 칸을 채워 넣을 수 있다.

$J$ ╲ $K$	$ℝ$	$ℂ$	$ℍ$	$𝕆$	$\widetilde{ℂ}$	$\widetilde{ℍ}$	$\widetilde{𝕆}$
$\mathrm{H}(2;ℝ)$	$𝔬(2;ℝ)=𝔲(1)$	$𝔬(3;ℝ)=𝔰𝔲(2)$	$𝔬(5;ℝ)=𝔲𝔰𝔭(4)$	$𝔬(9;ℝ)$	$𝔬(2,1)=𝔰𝔩(2;ℝ)$	$𝔬(3,2)=𝔰𝔭(4;ℝ)$	$𝔬(5,4)$
$\mathrm{H}(2;ℂ)$	$𝔬(3;ℝ)=𝔰𝔲(2)$	$𝔬(4;ℝ)=𝔰𝔲(2{)}^{\oplus 2}$	$𝔬(6;ℝ)=𝔰𝔲(4)$	$𝔬(10;ℝ)$	$𝔬(3,1)=𝔰𝔩(2;ℂ)$	$𝔬(4,2)=𝔰𝔲(2,2)$	$𝔬(6,4)$
$\mathrm{H}(2;ℍ)$	$𝔬(5;ℝ)=𝔲𝔰𝔭(4)$	$𝔬(6;ℝ)=𝔰𝔲(4)$	$𝔬(8;ℝ)$	$𝔬(12;ℝ)$	$𝔬(5,1)={𝔰𝔲}^{*}(4)$	$𝔬(6,2)={𝔬}^{*}(8)$	$𝔬(8,4)$
$\mathrm{H}(2;𝕆)$	$𝔬(9;ℝ)$	$𝔬(10;ℝ)$	$𝔬(12;ℝ)$	$𝔬(16;ℝ)$	$𝔬(9,1)$	$𝔬(10,2)$	$𝔬(12,4)$
$\mathrm{H}(2;\widetilde{ℂ})$	$𝔬(2,1)=𝔰𝔩(2;ℝ)$	$𝔬(3,1)=𝔰𝔩(2;ℂ)$	$𝔬(5,1)={𝔰𝔲}^{*}(4)$	$𝔬(9,1)$	$𝔬(2,2)=𝔰𝔩(2;ℝ{)}^{\oplus 2}$	$𝔬(3,3)=𝔰𝔩(4;ℝ)$	$𝔬(5,5)$
$\mathrm{H}(2;\widetilde{ℍ})$	$𝔬(3,2)=𝔰𝔭(4;ℝ)$	$𝔬(4,2)=𝔰𝔲(2,2)$	$𝔬(6,2)={𝔬}^{*}(8)$	$𝔬(10,2)$	$𝔬(3,3)=𝔰𝔩(4;ℝ)$	$𝔬(4,4)$	$𝔬(6,6)$
$\mathrm{H}(2;\widetilde{𝕆})$	$𝔬(5,4)$	$𝔬(6,4)$	$𝔬(8,4)$	$𝔬(12,4)$	$𝔬(5,5)$	$𝔬(6,6)$	$𝔬(8,8)$

1×1

1×1 행렬의 경우, $ℝ=\mathrm{H}(1;ℝ)=\mathrm{H}(1;ℂ)=\mathrm{H}(1;ℍ)$이므로, 더 이상 대칭성이 성립하지 않는다. 이는 행렬이 “너무 작아서” 있어야 하는 일부 미분들이 자명하게 작용하기 때문이다.틀:Rp

$J$ ╲ $K$	$ℝ$	$ℂ$	$ℍ$	$𝕆$	$\widetilde{ℂ}$	$\widetilde{ℍ}$	$\widetilde{𝕆}$
$ℝ$	0	0	$𝔰𝔲(2)$	${𝔤}_2$	0	$𝔰𝔩(2;ℝ)$	${𝔤}_{2(2)}$

역사

자크 티츠와 한스 프로이덴탈이 1950년대 말에 각각 독자적으로 발견하였다. 그러나 티츠는 이 내용을 1966년에 와서야 출판하였다.

같이 보기

• E₆
• E₇
• E₈
• F₄
• G₂

외부 링크

• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab