분할복소수

틀:위키데이터 속성 추적 추상대수학에서 분할복소수(分割複素數, 틀:Llang)는 가환환 $ℝ[\mathrm{j}]/({\mathrm{j}}^2-1)$의 원소이다. 즉, 그 대수는 실수체에 1의 또다른 제곱근 $\mathrm{j}$를 추가하여 얻어지는 대수 체계이다.

정의

직접적 정의

분할복소수들은 실수 가환 결합 대수를 이루며, 이는 다음과 같다.

$\widetilde{ℂ}=ℝ[\mathrm{j}]/({\mathrm{j}}^2-1)$

이는 2차원 실수 벡터 공간을 이루며, 그 기저는 $\{1,\mathrm{j}\}$이다. 이 기저에서, 분할복소수의 곱셈은 구체적으로 다음과 같다.

$(a,b)\cdot (c,d)=(ac+bd,bc+ad)$

즉,

$(a+b\mathrm{j})(c+d\mathrm{j})=(ac+bd)+(bc+ad)\mathrm{j}$

이다.

두 실수체의 직합

실수체 $ℝ$의, 스스로와의 직접곱을 생각하자.

$ℝ\oplus ℝ$

즉, 그 위의 곱셈은 다음과 같다.

$(a,b)(c,d)=(ac,bd)\mathrm{\forall }a,b,c,d\in ℝ$

이는 실수 가환 결합 대수로서 분할복소수의 대수와 동형이다. 구체적으로, 이 경우

$1_{ℝ\oplus ℝ}=(1,1)$

이므로,

$\mathrm{j}=(1,-1)$

를 정의하자. 그렇다면, ${\mathrm{j}}^2=1$이 되어,

$ℝ\oplus ℝ\cong ℝ[\mathrm{j}]/({\mathrm{j}}^2-1)$

임을 알 수 있다. 물리학적으로, 이 정의는 빛원뿔 좌표계를 사용하는 것에 해당한다.

행렬을 통한 정의

분할복소수의 대수 $\widetilde{ℂ}$는 충실한 2차원 표현을 가지므로, 이는 2×2 실수 행렬로 정의될 수 있다.

구체적으로, $\mathrm{j}$를 항등원의 스칼라배가 아니지만, 제곱이 1인 임의의 2×2 실수 행렬로 잡으면, 이는 분할복소수의 행렬 표현을 정의한다. 특히, 다음과 같은 선택이 편리하다.

$\mathrm{j}=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$

즉,

$a+b\mathrm{j}=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& a\end{array}\right)$

이다.

연산

켤레

분할복소수의 환은 다음과 같은 대합을 갖는다.

$\overline{(-)}:\widetilde{ℂ}\to \widetilde{ℂ}$

$a+b\mathrm{j}\mapsto a-b\mathrm{j}$

이는 실수 선형 변환이자 환 준동형이다.

분할복소수의 2×2 행렬 표현에서, 이는 다음과 같은 연산에 해당한다.

$M\mapsto 𝖢M𝖢$

$𝖢=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$

${𝖢}^2=1_{2\times 2}$

절댓값

분할복소수의 실수 벡터 공간 위에는 다음과 같은 비퇴화 이차 형식이 존재한다.

$|z{|}^2=z\overline{z}\in ℝ\mathrm{\forall }z\in \widetilde{ℂ}$

즉,

$|a+b\mathrm{j}{|}^2=a^2-b^2\in ℝ\mathrm{\forall }a,b\in ℝ$

이다. 이는 다음과 같이 곱셈을 보존한다.

$|xy{|}^2=|x{|}^2|y{|}^2\mathrm{\forall }x,y\in \widetilde{ℂ}$

이는 양의 정부호가 아니라 부정부호이다. 즉, 음의 값을 가질 수 있다.

지수 함수

분할복소수에 대하여, 다음과 같은 지수 함수를 정의할 수 있다.

$\exp (a+b\mathrm{j})=\exp (a)(\cosh b+(\sinh b)\mathrm{j})\mathrm{\forall }a,b\in ℝ$

이는 다음과 같은 성질을 만족시킨다.

$\exp (x+y)=\exp (x)\exp (y)\mathrm{\forall }x,y\in \widetilde{ℂ}$

또한, 이를 실수체에 제한할 경우, 이는 실수의 지수 함수와 일치한다.

분할복소수의 2×2 행렬 표현에서, 이는 행렬 지수 함수와 일치한다.

성질

분할복소수의 대수는 2차원 실수 가환 결합 대수이다. 이는 정역이 아니며, 예를 들어 다음과 같이 영인자를 갖는다.

$(1+\mathrm{j})(1-\mathrm{j})=0$

사실, $|xy{|}^2=|x{|}^2|y{|}^2$이므로, 분할복소수가 영인자일 필요 충분 조건은 그 제곱 절댓값이 0인 것이다.

$\widetilde{ℂ}\cong ℝ\oplus ℝ$이므로, 분할복소수의 환의 스펙트럼은 두 실수 0차원 아핀 공간의 분리합집합이다.

$\mathrm{Spec}(ℝ)={𝔸}_{ℝ}^0\bigsqcup {𝔸}_{ℝ}^0$

역사

제임스 코클

1848년에 제임스 코클(틀:Llang, 1819~1895)이 분할복소수에 해당하는 대수 체계를 최초로 사용하였다. 코클은 이를 “실수 테사린”(틀:Llang)이라고 불렀다. 코클은 원소 $\mathrm{j}$를 “불가능성”(틀:Llang)을 나타내는 것으로 해석하였다. 이에 대하여, 코클은 다음과 같이 적었다. 틀:인용문2 이 기호 $\mathrm{j}$의 제곱의 값을 코클은 다음과 같이 ‘유도’하였다. 우선,

$0^{\prime }=1+\sqrt{j}$틀:Rp

이다. (여기서, $0^{\prime }$은 코클의 기호 체계에서 단순히 값이 0인 상태가 아니라 “절대적 부재”(틀:Llang)를 뜻한다.) 이에 따라

$+\sqrt{j}=-1$틀:Rp

이며, 따라서

$j^2=1$틀:Rp

이다. 이에 대하여 코클은 음수의 제곱이 양수인 것에 착안하여 다음과 같이 적었다. 틀:인용문2

윌리엄 킹던 클리퍼드도 이러한 대수 체계를 사용하였으며, 클리퍼드는 이를 “모터”(틀:Llang)라고 불렀다.

같이 보기

• 민코프스키 공간