단순 리 초대수

틀:위키데이터 속성 추적 리 초대수 이론에서, 단순 리 초대수(單純Lie超代數, 틀:Llang)는 자명하지 않은 아이디얼을 갖지 않는 리 초대수이다.

정의

가환환 $K$ 위의 리 초대수 $𝔤={𝔤}_0\oplus {𝔤}_1$의 아이디얼은 $𝔤$의 부분 리 초대수 $𝔦\subseteq 𝔤$ 가운데

$[𝔤,𝔦\}\subseteq 𝔦$

인 것이다.

표수 0의 체 위의 리 초대수 $𝔤$가 정확히 두 개의 리 초대수 아이디얼을 가질 경우, 이를 단순 리 초대수라고 한다. (이 경우, 아이디얼은 $\{0\}$과 $𝔤$ 전체이다. $𝔤=\{0\}$인 경우는 아이디얼이 1개이므로 해당되지 않으며, 이는 1을 소수로 간주하지 않는 것과 마찬가지다.)

표수 0의 체 위의 단순 리 초대수 $𝔤$가 다음 조건을 만족시킬 경우, 고전 리 초대수(古典Lie超代數, 틀:Llang)라고 한다.

• ${𝔤}_0$의, ${𝔤}_1$ 위의 리 대수의 표현이 완전 분해 가능 표현이다.

고전 리 초대수가 아닌 단순 리 초대수를 카르탕형 대수(Cartan型代數, 틀:Llang) 또는 초고전적 대수(超古典的代數, 틀:Llang)라고 하며, $𝔴(n)$, $𝔰(n)$, $\widetilde{𝔰}(n)$, $𝔥(n)$이 있다.

분류

복소수 단순 리 초대수

표수 0의 대수적으로 닫힌 체 위의 단순 리 초대수들은 모두 분류되었으며, 그 목록은 다음과 같다.틀:Rp

이름	기호	조건	보손 부분 대수	보손 차원	페르미온 표현	페르미온 차원
특수 선형	$𝔰𝔩(m|n)$	$1\le m<n$	$𝔰𝔩(m)\oplus 𝔰𝔩(n)\oplus 𝔲(1)$	$m^2+n^2-1$	$(𝐧,\overline{𝐦})\oplus (\overline{𝐧},𝐦)$	$2mn$
사영 특수 선형	$𝔭𝔰𝔩(m|m)$	$m\ge 2$	$𝔰𝔩(m)\oplus 𝔰𝔩(m)$	$2n^2-2$	$(𝐦,\overline{𝐦})\oplus (\overline{𝐦},𝐦)$	$2m^2$
직교-심플렉틱	$𝔬𝔰𝔭(m|2n)$	$m\ge 1$, $n\ge 1$	$𝔬(m)\oplus 𝔰𝔭(2n)$	$m(m-1)/2+n(2n+1)$	$(𝐦,\mathrm{𝟐}𝐧)$	$2mn$
이상한	$𝔮(n)$	$n\ge 3$	$𝔰𝔩(n)\oplus 𝔲(1)$	$n^2$	$\mathbf{(}{𝐧}^{\mathrm{𝟐}}\mathbf{-}\mathrm{𝟏}\mathbf{)}$	$n^2-1$
페리플렉틱	$𝔭(n)$	$n\ge 3$	$𝔰𝔩(n)\oplus 𝔲(1)$	$n^2$	${𝐧}^{\text{sym}\otimes 2}\oplus {\overline{𝐧}}^{\wedge 2}$	$n^2$
예외	$𝔬𝔰𝔭(4|2;\alpha )$	$\alpha \ne 0,-1,+1$	$𝔰𝔩(2)\oplus 𝔰𝔩(2)\oplus 𝔰𝔩(2)$	9	$(\mathrm{𝟐},\mathrm{𝟐},\mathrm{𝟐})$	8
예외	$𝔣(3|1)$		$𝔰𝔩(2)\oplus 𝔬(7)$	24	$(\mathrm{𝟐},\mathrm{𝟖})$	16
예외	$𝔤(3)$		$𝔰𝔩(2)\oplus {𝔤}_2$	17	$(\mathrm{𝟐},\mathrm{𝟕})$	14
카르탕형	$𝔴(n)$	$n\ge 2$	(복잡함)	$n{2}^{n-1}$	(복잡함)	$n{2}^{n-1}$
카르탕형 특수	$𝔰(n)$	$n\ge 3$	(복집함)	$(n-1)2^{n-1}+(n-2\lfloor n/2\rfloor )$	(복잡함)	$(n-1)2^{n-1}+1-(n-2\lfloor n/2\rfloor )$
카르탕형 특수	$\widetilde{𝔰}(n)$	$2\mid n\ge 4$	(복잡함)	$(n-1)2^{n-1}$	(복잡함)	$(n-1)2^{n-1}+1$
해밀턴형	$𝔥(n)$	$n\ge 4$	(복잡함)	$2^{n-1}-2+(n-2\lfloor n/2\rfloor )$	(복잡함)	$2^{n-1}-(n-2\lfloor n/2\rfloor )$

위 표에서 ${𝐫}^{\text{sym}\otimes 2}$는 $𝐫\otimes 𝐫$의 대칭 성분이고, ${𝐫}^{\wedge 2}$는 $𝐫\otimes 𝐫$의 반대칭 성분이다.

이들 가운데 다음과 같은 동형이 존재한다.

$𝔰𝔩(2|1)=𝔬𝔰𝔭(2|2)$

$𝔬𝔰𝔭(4|2;1)=𝔬𝔰𝔭(4|2;-2)=𝔬𝔰𝔭(4|2;-1/2)=𝔬𝔰𝔭(4|2)$

$𝔬𝔰𝔭(4|2;\alpha )=𝔬𝔰𝔭(4|2;{\alpha }^{-1})=𝔬𝔰𝔭(4|2;-\alpha -1)$

$𝔴(2)=𝔰𝔩(2|1)$

$𝔰(3)=𝔭(3)$

$𝔥(4)=𝔰𝔩(2|2)$

이 밖에 단순 리 초대수 사이의 다른 동형은 없다.

실수체 위의 고전 단순 리 초대수

실수체 위의 고전 리 초대수 역시 분류되었다.틀:Rp

복소화	실수 형태	조건	보손 부분 대수
$𝔰𝔩(m|n)$	$𝔰𝔩(m|n;ℝ)$	$m\ne n$	$𝔰𝔩(m;ℝ)\oplus 𝔰𝔩(n;ℝ)\oplus ℝ$
	${𝔰𝔲}^{*}(m|n)$	$m\ne n$, $2\mid m,n$	${𝔰𝔲}^{*}(m)\oplus {𝔰𝔲}^{*}(n)\oplus ℝ$
	$𝔰𝔲(m-p,p|n-q,q)$	$m\ne n$, $0<p<m$, $0<q<n$	$𝔰𝔲(m-p,p)\oplus 𝔰𝔲(n-q,q)\oplus 𝔲(1)$
$𝔭𝔰𝔩(m|m)$	$𝔭𝔰𝔩(m|m;ℝ)$		$𝔰𝔩(m;ℝ)\oplus 𝔰𝔩(m;ℝ)$
	${𝔭𝔰𝔲}^{*}(m|m)$	$2\mid m$	${𝔰𝔲}^{*}(m)\oplus {𝔰𝔲}^{*}(m)$
	$𝔭𝔰𝔲(m-p,p|m-q,q)$	$0<p,q<m$	$𝔰𝔲(m-p,p)\oplus 𝔰𝔲(m-q,q)$
	(이름 없음)		$𝔰𝔩(m;ℂ)$
$𝔬𝔰𝔭(m|2n)$	$𝔬𝔰𝔭(m-p,p|2n;ℝ)$	$0\le p\le m$	$𝔬(m-p,p;ℝ)\oplus 𝔰𝔭(2n;ℝ)$
	${𝔬𝔰𝔭}^{*}(m|2n-2q,2q)$	$2\mid m$	${𝔬}^{*}(m)\oplus 𝔰𝔭(2n-2q,2q;ℝ)$
$𝔬𝔰𝔭(4|2;\alpha )$	$𝔬𝔰𝔭(4-p,p|2;\alpha )$	$p\in \{0,1,2\}$	$𝔬(4-p,p)\oplus 𝔰𝔩(2;ℝ)$
$𝔣(4)$	$𝔣(7-p,p)$	$p\in \{0,3\}$	$𝔰𝔩(2;ℝ)\oplus 𝔬(7-p,p;ℝ)$
	$𝔣(7-p,p)$	$p\in \{1,2\}$	$𝔰𝔲(2;ℝ)\oplus 𝔬(7-p,p;ℝ)$
$𝔤(3)$	(이름 없음)		$𝔰𝔩(2;ℝ)\oplus {𝔤}_{2(-14)}$
	(이름 없음)		$𝔰𝔩(2;ℝ)\oplus {𝔤}_{2(2)}$
$𝔭(n)$	${𝔭}^{*}(n)$	$2\mid n$	${𝔰𝔲}^{*}(n)$
	$𝔭(n;ℝ)$		$𝔰𝔩(n;ℝ)$
$𝔮(n)$	$𝔲𝔮(n-p,p;ℝ)$	$0\le p\le n$	$𝔰𝔲(n-p,p)$
	${𝔮}^{*}(n)$	$2\mid n$	${𝔰𝔲}^{*}(n)$
	$𝔮(n;ℝ)$		$𝔰𝔩(n;ℝ)$

예

일반·특수 선형 초대수

$(m|n)\times (m|n)$ 초행렬은 다음과 같은 꼴의 행렬이다.

$\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)$

여기서 $A$는 $m\times m$이고, $B$는 $n\times n$이다. $(m|n)\times (m|n)$ 초행렬의 모임을 일반 선형 리 초대수(一般線型Lie超代數, 틀:Llang) $𝔤𝔩(m|n)$이라고 쓰자. 초행렬의 초대각합(超對角合, 틀:Llang)은 다음과 같다.틀:Rp

$\mathrm{str}\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)=\mathrm{tr}A-\mathrm{tr}D$

특수 선형 리 초대수(特殊線型Lie超代數, 틀:Llang) $𝔰𝔩(m|n)$는 초대각합이 0인 초행렬들로 구성된 리 초대수이다.틀:Rp

$𝔰𝔩(m|n)=\{M\in 𝔤𝔩(m|n):\mathrm{str}(m|n)=0\}$

단위 행렬 $1_{m|n}$의 경우 $\mathrm{str}{1}_{m|n}=m-n$이므로, $1_{m|n}\in 𝔰𝔩(m|n)$일 필요 충분 조건은 $m=n$이다. 이 경우, 사영 특수 선형 리 초대수(射影特殊線型Lie超代數, 틀:Llang) $𝔭𝔰𝔩(m|m)$는 다음과 같은, 중심에 대한 몫이다.

$𝔭𝔰𝔩(m|m)=\{[M{]}_{\sim }:M\in 𝔰𝔩(m|m),M\sim M+1_{m|m}\}$

직교-심플렉틱 초대수

직교-심플렉틱 리 초대수(直交symplectic Lie超代數, 틀:Llang) $𝔬𝔰𝔭(m|2n)$는 다음과 같은 초행렬들로 구성된 리 초대수이다.틀:Rp

$𝔬𝔰𝔭(m|2n)=\{\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)\in 𝔤𝔩(m|n):A^{\mathrm{\top }}=-A,D^{\mathrm{\top }}\mathrm{\Omega }=-\mathrm{\Omega }D,B=C^{\mathrm{\top }}\mathrm{\Omega }\}$

여기서

$\mathrm{\Omega }=\left(\begin{array}{cc}{0}_{n\times n}& 1_{n\times n}\\ -1_{n\times n}& 0_{n\times n}\end{array}\right)$

이다.

페리플렉틱 초대수와 이상한 초대수

페리플렉틱 리 초대수(periplectic Lie超代數, 틀:Llang) $𝔭(n)$는 다음과 같다.틀:Rp틀:Rp

$𝔭(n)=\{\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)\in 𝔤𝔩(n|n):A^{\mathrm{\top }}=-D,B^{\mathrm{\top }}=B,C^{\mathrm{\top }}=-C,\mathrm{tr}A=0\}$

$\widetilde{𝔮}(n)$를 다음과 같이 정의하자.

$\widetilde{𝔮}(n)=\{\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)\in 𝔤𝔩(n|n):A=D,B=C,\mathrm{tr}B=0\}$

이 리 초대수는 단위 행렬로 생성되는 중심을 갖는데, 이에 대한 몫을 이상한 리 초대수(異常한Lie超代數, 틀:Llang) $𝔮(n)$이라고 한다.틀:Rp

$𝔮(n)=\{[M{]}_{\sim }:M\in \widetilde{𝔮}(n),M\sim M+1_{n|n}\}$

𝔬𝔰𝔭(4|2;α)

$𝔬𝔰𝔭(4|2;\alpha )$ 또는 $𝔡(2,1;\alpha )$는 구체적으로 다음과 같다.틀:Rp 이 리 초대수의 보손 리 대수는 $𝔰𝔩(2{)}^{\oplus 3}$이며, 이에 대한 페르미온 표현은 $(\mathrm{𝟐},\mathrm{𝟐},\mathrm{𝟐})$이다. 이에 따라, 지표

• $a,b\in \{1,2,3\}\in \mathbb{Z}/(3)$ ($\mathrm{Sym}(3)$의 정의 표현의 지표)
• $i\in \{1,2,3\}$ ($𝔰𝔩(2)$ 지표)
• $\alpha ,\beta \in \{1,2\}$ ($𝔰𝔩(2)$의 정의 표현의 지표)

를 사용하면, 보손 생성원 $t^a$ 및 페르미온 생성원 $F_{{\alpha }_1{\alpha }_2{\alpha }_3}$에 대한 리 초괄호는 다음과 같다.

$[t_i^a,t_j^b]=\mathrm{i}{\delta }^{ab}{ϵ}_{ijk}{t}_k^a$

$[t_i^a,F_{{\alpha }_1{\alpha }_2{\alpha }_3}]=\frac{1}{2}{\sigma }_{{{\alpha }_a}^{\prime }{\alpha }_a}^i{F}_{{\alpha }_1\dots {{\alpha }_a}^{\prime }\dots {\alpha }_3}$

$\{F_{{\alpha }_1{\alpha }_2{\alpha }_3},F_{{\beta }_1{\beta }_2{\beta }_3}\}=\sum _{a=1}^3{s}_a(C{\sigma }^i{)}_{{\alpha }_a{\beta }_a}{C}_{{\alpha }_{a+1}{\beta }_{a+1}}{C}_{{\alpha }_{a+2}{\beta }_{a+2}}{t}_i^a(s_1,s_2,s_3\in ℂ)$

이다. 여기서 ${\sigma }^i$는 파울리 행렬이며,

$C=\mathrm{i}{\sigma }^2$

는 3차원 스피너의 전하 켤레 행렬이다.

페르미온-페르미온 리 초괄호에 등장하는 세 개의 복소수 계수 $(s_1,s_2,s_3)$는 야코비 항등식에 의하여

$s_1+s_2+s_3=0$

을 만족시켜야 하며, 또한

$(s_1,s_2,s_3)\sim (s_{\sigma (1)},s_{\sigma (2)},s_{\sigma (3)})\sim (\lambda s_1,\lambda s_2,\lambda s_3)(\lambda \in {ℂ}^{\times },\sigma \in \mathrm{Sym}(3))$

이다. 즉, $[s_1:s_2:s_3]$은 3차원 복소수 사영 평면 ${ℂ\mathbb{P}}^2$의 동차 좌표를 이루며, 그 속에서 가능한 값은

$s_1+s_2+s_3=0$

으로 정의되는 사영 직선의 $\mathrm{Sym}(3)$에 대한 몫 오비폴드이다.

이에 따라,

$\alpha =s_2/s_1\in {ℂ\mathbb{P}}^1$

로 좌표를 잡으면, 그 위의 대칭군 $\mathrm{Sym}(3)$의 작용은 다음과 같다.

$\alpha \sim {\alpha }^{-1}\sim -(\alpha +1)\sim -\frac{1}{\alpha +1}\sim -\frac{\alpha }{\alpha +1}\sim -1-\frac{1}{\alpha }$

이 경우, $\alpha \sim 1\sim -2\sim -1/2$인 점은 $𝔬𝔰𝔭(4|2)$에 해당한다.

실수 계수의 경우, 가능한 보손 리 대수는 다음과 같다.틀:Rp

보손 리 대수	대칭	$\alpha$의 조건	$\alpha$의 동치 관계	$\alpha$의 표준 영역
$𝔬(2,2;ℝ)\oplus 𝔰𝔩(2;ℝ)\cong 𝔰𝔩(2;ℝ{)}^{\oplus 3}$	$\mathrm{Sym}(3)$	$\alpha \in {ℝ\mathbb{P}}^1$	$\alpha \sim 1/\alpha \sim -1-\alpha$	$\alpha \in [0,1]$
$𝔬(3,1;ℝ)\oplus 𝔰𝔩(2;ℝ)\cong 𝔰𝔩(2;ℂ)\oplus 𝔰𝔩(2;ℝ)$	$1$	$\alpha \in -1/2+\mathrm{i}ℝ$	(없음)	$\alpha \in -1/2+\mathrm{i}ℝ$
$𝔬(4;ℝ)\oplus 𝔰𝔩(2;ℝ)\cong 𝔰𝔲(2ℝ{)}^{\oplus 2}\oplus 𝔰𝔩(2;ℝ)$	$\mathrm{Sym}(2)$	$\alpha \in {ℝ\mathbb{P}}^1$	$\alpha \mapsto 1/\alpha$	$\alpha \in [-1,1]$

이 경우, 복소수 계수 $\alpha$의 가능한 값은 실수 조건을 통해 제한되며, 그 $\mathrm{Sym}(3)$ 대칭 또한 위와 같이 깨지게 된다. 이 경우, 가능한 $\alpha$의 동치 관계는 위 표와 같으며, 이 동치 관계의 동치류들은 위 표준 영역의 원소와 일대일 대응한다.

카르탕형 리 초대수

체 $K$ 위의 벡터 공간 $V$ 위의 외대수 $\bigwedge V$ 위의 $\mathbb{Z}/2$-등급 미분들, 즉 $K$-선형 변환

$d:\bigwedge (V)\to \bigwedge (V)$

가운데

$d(a\vee b)=(da)\wedge b+(-{)}^{\mathrm{deg}a}a\wedge db(b\in \bigwedge (V),a\in \underset{2\bullet +1}{\bigwedge }(V)\cup \underset{2\bullet }{\bigwedge }(V))$

를 만족시키는 것들의 벡터 공간을 $\mathrm{W}(V)$라고 하자. $V$의 기저 $(v_i{)}_{i\in I}$를 잡았을 때, $d\in \mathrm{W}(V)$는 다음과 같이 표현될 수 있다.

$d=\sum _{i\in I}{a}_i\frac{\partial }{\partial v_i}(a_i\in \bigwedge (V)\mathrm{\forall }i\in I)$

$\bigwedge (V)$의 $\mathbb{Z}$-등급으로부터, 이는 $\mathrm{W}(V)$ 위에 $\mathbb{Z}$-등급을 정의한다. 그 위의 리 초괄호는 단순히

$[d,d^{\prime }]=d\circ d^{\prime }\pm d^{\prime }\circ d$

이며, 여기서 ± 부호는 $\mathbb{Z}/2$ 등급에 의하여 결정된다.

만약 $V$가 2 이상의 유한 차원 벡터 공간이라면, 이는 단순 리 초대수를 이룬다. 이를 $𝔴(\dim V)$로 표기한다.

특수 카르탕형 리 초대수(틀:Llang) $𝔰(n)$과 $𝔰(n)$ 및 해밀턴형 리 초대수(틀:Llang) $𝔥(n)$은 모두 $𝔴(n)$의 부분 리 초대수이다.

역사

단순 리 초대수의 분류는 빅토르 카츠가 1975년에 완성하였다.

각주

• 틀:서적 인용틀:깨진 링크
• 틀:저널 인용
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• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용

외부 링크

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