킬링 벡터장

틀:위키데이터 속성 추적 리만 기하학에서 킬링 벡터장(Killing vector場, 틀:Llang)은 주어진 리만 다양체의 등거리 변환의 무한소 생성원인 벡터장이다.틀:Rp 즉, 리만 다양체의 대칭을 나타낸다. 킬링 벡터들은 리 대수를 이루며, 이는 다양체의 등거리 변환군의 리 대수로 생각할 수 있다.

정의

킬링 벡터장

일반화 리만 다양체 $(M,g)$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 벡터장 $X\in \mathrm{\Gamma }(\mathrm{T}M)$에 대하여, 리 미분

${ℒ}_{X}g$

을 정의할 수 있다. 이는 (0,2)-텐서장들의 벡터 공간 위의 선형 변환을 정의한다.

만약

${ℒ}_{X}g=0$

이 성립한다면, $X$를 $(M,g)$의 킬링 벡터장 $X\in \mathrm{\Gamma }(\mathrm{T}M)$이라고 한다. 보다 추상적으로, 킬링 벡터장들의 벡터 공간은 선형 변환

$X\mapsto {ℒ}_{X}g$

의 핵이다. 즉, 두 킬링 벡터장들의 합은 킬링 벡터장이며, 킬링 벡터장들의 상수 스칼라와의 곱 역시 킬링 벡터장이다.

${ℒ}_{X}g=0$을 국소 좌표계로 쓰면 다음과 같다.틀:Rp

${\mathrm{\nabla }}_{(\mu }{X}_{\nu )}=0$

여기서 $\mathrm{\nabla }$는 공변 미분이다. 즉, 킬링 벡터장의 조건은 공변 상수 벡터장의 조건(${\mathrm{\nabla }}_{\mu }{X}_{\nu }=0$)을 약화시킨 것이다.

$(M,g)$의 등거리 변환들은 (유한 차원) 리 군

$\mathrm{Isom}(M,g)=\{f\in {𝒞}^{\mathrm{\infty }}(M;M):f^{*}g=g\}$

을 이루며, 킬링 벡터장들은 등거리 변환군의 리 대수 $𝔦𝔰𝔬𝔪(M,g)$를 이룬다.

킬링 지평선

일반화 리만 다양체 $(M,g)$의 킬링 벡터장 $X$가 주어졌을 때, 부분 집합 $\{x\in M:g(X,X){|}_x=0\}$을 $X$의 킬링 지평선(Killing地平線, 틀:Llang)이라고 한다.틀:Rp 이는 일반적으로 특이점을 가져 다양체가 아닐 수 있다.

성질

정의에 따라, 모든 킬링 벡터장은 등각 벡터장이다.

리 대수 구조

일반화 리만 다양체 $(M,g)$의 킬링 벡터장들의 벡터 공간은 리 대수를 이룬다. 즉, 두 킬링 벡터장의 리 괄호 역시 킬링 벡터장이다. 같은 차원과 부호수를 갖는 두 일반화 리만 다양체 $(M,g)$, $(M^{\prime },g^{\prime })$에 대하여, 표준적으로

$𝔦𝔰𝔬𝔪(M\bigsqcup M^{\prime },g\bigsqcup g^{\prime })\cong 𝔦𝔰𝔬𝔪(M,g)\oplus 𝔦𝔰𝔬𝔪(M^{\prime },g^{\prime })$

이다.

$k$개의 연결 성분을 갖는, $n$차원의 일반화 리만 다양체의 킬링 리 대수의 차원은 $kn(n+1)/2$ 이하이다.틀:Rp (이 상한은 예를 들어 유클리드 공간·초구·쌍곡 공간·민코프스키 공간·더 시터르 공간·반 더 시터르 공간 및 이들의 분리합집합에 의하여 포화된다.)

위상 수학적 성질

콤팩트 리만 다양체 $(M,g)$에 대하여, 다음이 성립한다.

• 만약 $M$의 리치 곡률 텐서가 음의 정부호 이차 형식이라면, 킬링 벡터장은 0 밖에 없다.
• 만약 모든 단면 곡률이 양수이며, $M$의 차원이 짝수라면, 모든 킬링 벡터장은 항상 0을 갖는다. (즉, 임의의 킬링 벡터장 $X$에 대하여, $X{|}_x=0\in {\mathrm{T}}_{x}M$인 $x\in M$이 존재한다.

조화 함수와의 관계

일반화 리만 다양체 $(M,g)$의 킬링 벡터장 $X$의 발산은 0이다.

$\mathrm{\nabla }\cdot X=0$

유도:

$\mathrm{\nabla }\cdot X=g^{\mu \nu }{\mathrm{\nabla }}_{\mu }{X}_{\nu }=\frac{1}{2}{g}^{\mu \nu }({\mathrm{\nabla }}_{\mu }{X}_{\nu }-{\mathrm{\nabla }}_{\nu }{X}_{\mu })=\frac{1}{2}(g^{\mu \nu }-g^{\nu \mu }){\mathrm{\nabla }}_{\mu }{X}_{\nu }=0$

$X$의 2차 공변 미분은 다음과 같이 리만 곡률 텐서에 비례한다.틀:Rp

${\mathrm{\nabla }}_{\mu }{\mathrm{\nabla }}_{\nu }{X}_{\rho }=R_{\rho \nu \mu \sigma }{X}^{\sigma }$

유도:

리만 곡률 텐서의 정의에 따라

$[{\mathrm{\nabla }}_{\mu },{\mathrm{\nabla }}_{\nu }]X_{\rho }=R_{\mu \nu \rho }{}^{\sigma }{X}_{\sigma }$

이다. 킬링 벡터장의 정의에 따라

${\mathrm{\nabla }}_{\mu }{\mathrm{\nabla }}_{\nu }{X}_{\rho }+{\mathrm{\nabla }}_{\nu }{\mathrm{\nabla }}_{\rho }{X}_{\mu }=R_{\mu \nu \rho }{}^{\sigma }{X}_{\sigma }$

이다. 이제, 양변에 $(\mu ,\nu ,\rho )$에 대한 순환에 대하여 대칭화하면,

$2({\mathrm{\nabla }}_{\mu }{\mathrm{\nabla }}_{\nu }{X}_{\rho }+{\mathrm{\nabla }}_{\nu }{\mathrm{\nabla }}_{\rho }{X}_{\mu }+{\mathrm{\nabla }}_{\rho }{\mathrm{\nabla }}_{\mu }{X}_{\nu })=(R_{\mu \nu \rho }{}^{\sigma }+R_{\nu \rho \mu }{}^{\sigma }+R_{\rho \mu \mu }{}^{\sigma })X_{\sigma }=0$

이다. 따라서,

${\mathrm{\nabla }}_{\mu }{\mathrm{\nabla }}_{\nu }{X}_{\rho }=-({\mathrm{\nabla }}_{\nu }{\mathrm{\nabla }}_{\rho }{X}_{\mu }+{\mathrm{\nabla }}_{\rho }{\mathrm{\nabla }}_{\mu }{X}_{\nu })=-{\mathrm{\nabla }}_{\nu }{\mathrm{\nabla }}_{\rho }{X}_{\mu }+{\mathrm{\nabla }}_{\rho }{\mathrm{\nabla }}_{\nu }{X}_{\mu }=R_{\rho \nu \mu \sigma }{X}^{\sigma }$

이다.

특히, $X$의 라플라스-벨트라미 연산자는 다음과 같이 리치 곡률 텐서에 비례한다.틀:Rp

${\mathrm{\nabla }}^2{X}_{\mu }=-R_{\mu \nu }{X}^{\nu }$

특히, 아인슈타인 방정식의 진공해의 경우 $R_{\mu \nu }=0$이며, $X_{\mu }$의 라플라스-벨트라미 연산자는 0이다. 물리학적으로, 이는 $X_{\mu }$가 진공 맥스웰 방정식을 만족시키는 것을 의미하며, 또한 $X_{\mu }$는 로렌츠 게이지 조건 $\mathrm{\nabla }\cdot X=0$ 역시 자동적으로 만족시킨다. 이 사실을 통해 아인슈타인-맥스웰 계의 일부 해를 구할 수 있다.

측지선에 대한 물리량의 보존

일반화 리만 다양체 $(M,g)$의 킬링 벡터장 $X$와 측지선

$\gamma :ℝ\to M$

$\gamma :t\mapsto \gamma (t)$

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}g(X{|}_{\gamma (t)},\dot{\gamma }(t))=0\mathrm{\forall }t\in ℝ$

즉, 킬링 벡터장 $X$가 주어졌을 때, 속력과 킬링 벡터장의 내적 $g(X,\dot{\gamma })$는 측지선을 따라 변하지 않는 물리량이다.

유도:

벡터장 $Y$가

$Y{|}_{\gamma (t)}=\dot{\gamma }(t)\in {\mathrm{T}}_{\gamma (t)}M\mathrm{\forall }t\in ℝ$

인 임의의 벡터장이라고 하자. (만약 $\gamma$가 단사 함수가 아니라면, 이는 조각별로 정의하면 된다.)

측지선은 측지선 방정식

$(Y^{\mu }{\mathrm{\nabla }}_{\mu }{Y}^{\nu }){|}_{\gamma (t)}=0\mathrm{\forall }t\in ℝ$

을 만족시키므로, 킬링 벡터장의 정의에 의하여

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}g(X{|}_{\gamma (t)},\dot{\gamma }(t))={Y^{\mu }{\mathrm{\nabla }}_{\mu }(X_{\nu }{Y}^{\nu })|}_{\gamma (t)}={Y^{\mu }(({\mathrm{\nabla }}_{\mu }{X}_{\nu })Y^{\nu }+X_{\nu }{\mathrm{\nabla }}_{\mu }{Y}^{\nu })|}_{\gamma (t)}=0$

이다.

마찬가지로, 일반 상대성 이론에서는 뇌터 정리에 따라 각 킬링 벡터장에 대응하는 보존 법칙이 존재한다. 구체적으로, 에너지-운동량 텐서 $T_{\mu \nu }=(R_{\mu \nu }-R{g}_{\mu \nu }/2)/(8\pi G)$를 생각할 때,

${\mathrm{\nabla }}_{\mu }{T}^{\mu \nu }=0$

$T^{\mu \nu }=T^{\nu \mu }$

이므로, 임의의 벡터장 $X^{\mu }$에 대하여

${\mathrm{\nabla }}_{\mu }(T^{\mu \nu }{X}_{\nu })=T^{\mu \nu }{\mathrm{\nabla }}_{\mu }{X}_{\nu }=\frac{1}{2}{T}^{\mu \nu }({\mathrm{\nabla }}_{\mu }{X}_{\nu }+{\mathrm{\nabla }}_{\nu }{X}_{\mu })$

이다. 따라서, 만약 $X^{\mu }$가 킬링 벡터장이라면 $T^{\mu \nu }{X}_{\nu }$는 공변 보존류이다.

표면 중력

틀:본문 킬링 지평선의 경우, 대응하는 표면 중력을 정의할 수 있다.

구체적으로, 일반화 리만 다양체 $(M,g)$의 킬링 벡터장 $X$가 주어졌을 때, 항상 다음 조건을 만족시키는 함수

$\kappa :\{x\in M:g(X,X){|}_x=0\}\to ℝ$

가 존재하며, 이 $\kappa$를 킬링 지평선 $\{x\in M:g(X,X){|}_x=0\}$의 표면 중력이라고 한다.

${\partial }_{\mu }(g(X,X))=-2\kappa g_{\mu \nu }{X}^{\nu }$

이 등식은 다음과 같이 쓸 수도 있다.

$X^{\mu }{\mathrm{\nabla }}_{\mu }{X}^{\nu }=\kappa X^{\nu }$

위 등식의 좌변은 일종의 "가속도"이므로, $\kappa$를 일종의 "중력장"으로 해석할 수 있다.

일부 경우, $\kappa$는 사실 킬링 지평선 위의 상수 함수임을 보일 수 있다.틀:Rp

• 킬링 지평선이 (민코프스키 공간의 $x{\partial }_t+t{\partial }_x$와 같이) 서로 교차하는 두 잎으로 구성되어 있을 때
• 우세 에너지 조건이 성립할 경우

킬링 지평선 근처의 기하

$d+1$차원 로런츠 다양체 $(M,g)$의 킬링 벡터장 $X$가 주어졌다고 하자. 또한, $X$가 $U\subseteq M$에서 시간꼴 벡터장이라고 하자 (즉, $g(X,X){|}_x<0\mathrm{\forall }x\in U$). 그렇다면, 다음과 같은 꼴의 국소 좌표계 $(t,x^i)$를 정의할 수 있다.

$\mathrm{d}{s}^2=-f(x{)}^2(\mathrm{d}t+{\theta }_i(x)\mathrm{d}{x}^i{)}^2+h_{ij}(x)\mathrm{d}{x}^i\mathrm{d}{x}^j$

여기서 $h_{ij}$는 양의 정부호 이차 형식이며, $i,j\in \{1,2,\dots ,d\}$이며, 또한 $f$와 ${\theta }_i$와 $h_{ij}$는 $(x^1,\dots ,x^d)$에만 의존하고, $t$에 의존하지 않는다. 이 경우, $h_{ij}$를 궤도 공간 계량(軌道空間計量, 틀:Llang)이라고 한다.

일반화

킬링 벡터장의 개념을, 접다발 대신 다른 벡터 다발의 단면에 대하여 일반화할 수 있다.

킬링 텐서장과 킬링 스피너장

유사하게 킬링 텐서 및 킬링 스피너장을 정의할 수 있다. 예를 들어, 킬링 2-텐서장 $T$는 다음을 만족한다.

${ℒ}_{X}T=0$

${\mathrm{\nabla }}_{(\mu }{T}_{\nu \rho )}=0$

정칙 킬링 벡터장

켈러 다양체는 리만 구조와 더불어 복소 구조를 갖춘다. 따라서, 켈러 다양체의 대칭은 복소 구조를 보존시키는 특수한 킬링 벡터장에 의하여 주어진다. 이를 정칙 킬링 벡터장(正則Killing vector場, 틀:Llang)라고 한다.틀:Rp틀:Rp 켈러 다양체의 접다발 $T{M}^{ℂ}$은 정칙적 부분 $T^{+}M$과 반정칙적 부분 $T^{-}M$으로 나뉜다. 정칙 킬링 벡터장은 $T^{+}M$의 단면이다.

$X^i$가 켈러 다양체 $(M,g_{i\overline{ȷ}})$ 위의 정칙 킬링 벡터장이라고 하자. 그렇다면 킬링 방정식은 다음과 같다.

${\mathrm{\nabla }}_i{X}^k{g}_{k\overline{ȷ}}+{\overline{\mathrm{\nabla }}}_{\overline{ȷ}}{\overline{X}}^{\overline{k}}{g}_{\overline{k}i}=0$

이에 따라, $X$는 국소적으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$X^i=-i{g}^{i\overline{ȷ}}{\overline{\partial }}_{\overline{ȷ}}D(z,\overline{z})$

${\overline{X}}^{\overline{ı}}=i{g}^{j\overline{ı}}{\partial }_{j}D(z,\overline{z})$

여기서 $D(z,\overline{z})$는 킬링 퍼텐셜(틀:Llang)이라고 불리는, 국소적으로 정의된 실수 함수다. 이는 운동량 사상의 한 예로 볼 수 있다.

예

공변 상수 벡터장 (즉, ${\mathrm{\nabla }}_{\mu }{X}^{\nu }=0$인 벡터장 $X$)은 정의에 따라 킬링 벡터장이다.

일반화 리만 다양체 $(M,g)$의 킬링 벡터장 $X$ 및 국소 좌표계 $(x^1,\dots ,x^n)$이 주어졌으며, 계량 텐서 $g_{\mu \nu }$의 성분이 $x^1$에 의존하지 않는다고 하자.

$\frac{\partial }{\partial x^1}{g}_{\mu \nu }=0\mathrm{\forall }\mu ,\nu \in \{1,\dots ,n\}$

그렇다면, 벡터장

$\frac{\partial }{\partial x^1}$

은 킬링 벡터장이다.

유도:

벡터장

$X^{\mu }={\delta }_1^{\mu }$

이 주어졌을 때,

$X_{\mu }=g_{\mu \nu }{X}^{\nu }=g_{\mu 1}$

이다. 그렇다면,

${\mathrm{\nabla }}_{\nu }{X}_{\mu }+{\mathrm{\nabla }}_{\mu }{X}_{\nu }={\partial }_{\nu }{X}_{\mu }+{\partial }_{\mu }{X}_{\nu }-2{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\rho }{X}_{\rho }={\partial }_{\nu }{g}_{\mu 1}+{\partial }_{\mu }{g}_{\nu 1}-({\partial }_{\nu }{g}_{1\mu }+{\partial }_{\mu }{g}_{1\nu }-{\partial }_1{g}_{\mu \nu })={\partial }_1{g}_{\mu \nu }$

이다.

슈바르츠실트 계량

틀:본문 $D$차원 시공간의 슈바르츠실트 계량

$\mathrm{d}{s}^2=-(1-(r_0/r{)}^{D-3})d{t}^2+{(1-(r_0/r{)}^{D-3})}^{-1}\mathrm{d}{r}^2+r^2\mathrm{d}{\mathrm{\Omega }}_{D-2}^2$

에서, $\partial /\partial t$는 킬링 벡터이며, 이는 시간 변화에 대한 대칭에 대응한다. 이에 대한 킬링 벡터는

$g_{tt}=-1+(r_0/r{)}^{D-3}=0$

이 되는 곳, 즉 $r=r_0$이며, 이는 (일반) 사건 지평선과 일치한다.

이 밖에도, 슈바르츠실트 계량은 $\mathrm{S}\mathrm{O}(D-1)$ 대칭에 대응하는 킬링 벡터들을 갖는다.

커 계량

틀:본문 마찬가지로, 3+1차원 커 계량

$\mathrm{d}{s}^2=-(1-\frac{r_{0}r}{{\rho }^2})\mathrm{d}{t}^2+\frac{{\rho }^2\mathrm{d}{r}^2}{r^2-r_{0}r+{\alpha }^2}+{\rho }^2\mathrm{d}{\theta }^2+(r^2+{\alpha }^2+\frac{r_{0}r{\alpha }^2}{{\rho }^2}{\sin }^2\theta ){\sin }^2\theta \mathrm{d}{\varphi }^2+\frac{2r_{0}r\alpha {\sin }^2\theta }{{\rho }^2}\mathrm{d}t\mathrm{d}\varphi$

${\rho }^2=r^2+{\alpha }^2{\cos }^2\theta$

은 두 킬링 벡터

$\frac{\partial }{\partial t}$

$\frac{\partial }{\partial \varphi }$

를 가지며, 이는 각각 시간 변화에 대한 대칭과 블랙홀의 회전에 대한 대칭에 대응한다.

전자에 대응하는 킬링 지평선은

$r{r}_0={\rho }^2$

의 두 해에 위치한다. 이는 2차 방정식이므로 두 해를 갖는데, 더 안쪽의 킬링 지평선은 사건 지평선이며, 더 바깥쪽의 킬링 지평선은 작용권의 경계이다.

민코프스키 공간

2차원 민코프스키 공간

${ℝ}^{1,1}=\{(t,x)\}$

$\mathrm{d}{s}^2=-\mathrm{d}{t}^2+\mathrm{d}{x}^2$

에서, 킬링 벡터장

$X=x{\partial }_t+t{\partial }_x$

를 생각하자.틀:Rp 이는

${\mathrm{\nabla }}_i{X}_j=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$

이므로 킬링 벡터장을 이룬다. 이 경우, 킬링 지평선은

$\{(t,x)\in {ℝ}^2:x=\pm t\}$

인데, 이는 $x=t=0$에서 매끄럽지 않다.

역사

빌헬름 킬링이 1892년에 도입하였다.틀:Rp

킬링은 킬링 벡터장의 조건에 대하여 특별한 이름을 붙이지 않았으나, 이후 1926년 저서에서 루서 팔러 아이전하트(틀:Llang, 1876~1965)가 이 조건을 "킬링 방정식"(틀:Llang)이라고 지칭하였다.틀:Rp

같이 보기

• 킬링 형식

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
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• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
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