운동량 사상

틀:위키데이터 속성 추적 심플렉틱 기하학에서 운동량 사상(運動量寫像, 틀:Llang, 틀:Llang)은 심플렉틱 다양체 위의 군의 작용을 생성하는 해밀토니언이다. 해밀턴 역학에서의 운동량과 각운동량을 일반화한 것이다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 심플렉틱 다양체 $(M,\omega )$
• 리 군 $G$
• 매끄러운 군 표현 $\rho :G\to \mathrm{Ham}(M,\omega )$가 주어졌다고 하자. 여기서 $\mathrm{Ham}(M,\omega )=\{f\in \mathrm{Diff}(M):f^{*}\omega =\omega \}$는 심플렉틱 자기 동형 사상(심플렉틱 형식 $\omega$를 보존하는 미분 동형 $M\to M$)들의 군이다.

리 대수의 원소 $\xi \in 𝔩𝔦𝔢(G)$에 대하여, $M$ 위에는 $G$의 작용의 무한소 생성원인 다음과 같은 벡터장 $v_{\xi }$가 존재한다.

$v_{\xi }={\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}|}_{t=0}\rho (\exp (t\xi ))(x)$

여기서 $\exp$는 리 지수 사상이다. $G$의 작용 $\rho$의 운동량 사상 $\mu :M\to 𝔩𝔦𝔢(G{)}^{*}$는 임의의 $\xi \in 𝔩𝔦𝔢(G)$에 대하여 다음을 만족시키는 함수다.

$d⟨\mu ,\xi ⟩=\omega (v_{\xi },\cdot )$

이를 지표 표기법으로 쓰면 다음과 같다.

${\partial }_j{\mu }_a={\omega }_{ij}{v}_a^i$

여기서 $i,j$는 접다발 $\mathrm{T}M$의 지표이고, $a$는 리 대수 $𝔩𝔦𝔢(G)$의 지표다.

성질

심플렉틱 다양체 $(M,\omega )$ 위의 리 군 $G$의 작용의 운동량 사상 $\mu :M\to {𝔤}^{*}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의

$\zeta \in ({𝔤}^{*}{)}^G$

에 대하여 $\mu +\zeta$ 역시 운동량 사상을 이룬다. 여기서 ${𝔤}^{*}$는 $G$의 딸림표현의 쌍대 표현이며,

$({𝔤}^{*}{)}^G=\{\varphi \in {𝔤}^{*}:\mathrm{\forall }x,y\in 𝔤:\varphi ([x,y])=0\}={\mathrm{H}}^0(𝔤;{𝔤}^{*})$

는 그 속의 불변 원소들의 집합(즉, $𝔤$ 위의 무게의 집합, 또는 ${𝔤}^{*}$ 계수의 $𝔤$의 0차 리 대수 코호몰로지)이다.

심플렉틱 몫공간

$G$가 콤팩트 리 군일 경우, 부분 공간 ${\mu }^{-1}(0)\subset M$은 $G$의 작용에 대하여 불변이다. 이 경우 ${\mu }^{-1}(0)/G$는 $M$의 심플렉틱 구조를 물려받는다. 즉, 몫공간 ${\mu }^{-1}(0)/G$는 심플렉틱 다양체를 이룬다. 이를 심플렉틱 몫공간(틀:Llang) 또는 마즈든-와인스타인 몫공간(틀:Llang)이라고 하며, $M//G$라고 쓴다. 이 경우

$\dim (M//G)=\dim M-2\dim G$

이다.

물론, 0 대신 임의의 $\zeta \in ({𝔤}^{*}{)}^G$에 대하여 ${\mu }^{-1}(0)$를 사용할 수도 있다.

특히, $M$이 추가로 켈러 다양체 $(M,\omega ,J)$를 이루며, $G$의 작용이 심플렉틱 구조 $\omega$ 및 복소구조 $J$를 보존한다고 하자. 그렇다면, 이에 해당하는 심플렉틱 몫공간

$M//G={\mu }^{-1}(0)/G$

는 켈러 다양체이다.

초켈러 몫공간

초켈러 다양체의 경우에도 몫공간을 정의할 수 있다. 초켈러 다양체 $M$은 세 선형 독립 심플렉틱 구조 ${\omega }_I$ ($I=1,2,3$)을 가진다. 군의 작용 $G\times M\to M$이 세 개의 심플렉틱 구조를 모두 보존시킨다고 하자. 그렇다면 이에 대한 세 개의 서로 다른 운동량 사상 ${\mu }_I:M\to {𝔤}^{*}$이 존재한다. 이들을 합쳐서

$\mu :M\to {𝔤}^{*}\otimes {ℝ}^3$

을 정의하자. 그렇다면

$M///G={\mu }^{-1}(0)/G$

는 초켈러 다양체를 이룬다. 그 차원은

${\dim }_{ℝ}(M///G)={\dim }_{ℝ}M-4{\dim }_{ℝ}G$

이다.

예

$G$가 1차원 아벨 리 군 $ℝ$이라고 하자. 그렇다면 $\mu$는 해밀턴 벡터장(틀:Llang) $v$를 생성시키는 해밀토니언이다.

복소수 사영 공간

복소수 내적 공간 ${ℂ}^n$은 자명하게 켈러 다양체를 이룬다. 이 위에는 리 군 ${ℂ}^{\times }$이 곱셈으로 작용하며, 이 가운데 심플렉틱 형식을 보존하는 것은 U(1) 부분군이다. 이에 대한 운동량 사상은 다음과 같다.

$\mu :{ℂ}^n\to 𝔩𝔦𝔢(\mathrm{U}(1))=\mathrm{i}ℝ$

$\mu :z\mapsto \mathrm{i}\Vert z{\Vert }^2-\mathrm{i}C$

여기서 $C\in ℝ$는 임의의 실수 상수이다.

이에 대하여 켈러 몫공간을 취하면, $C>0$일 때 복소수 사영 공간 ${\mathbb{P}}_{ℂ}^{n-1}$을 얻으며, 그 위의 켈러 구조는 푸비니-슈투디 계량이다. 반대로, $C<0$일 경우는 공집합을 얻는다.

복소수 사영 공간의 접공간

사원수 벡터 공간 $W={ℍ}^n$은 자명하게 초켈러 다양체를 이룬다. 구체적으로, 이를 $n$차원 복소수 내적 공간 $V$에 대하여

$W=V\oplus V^{*}={\mathrm{T}}^{*}V$

로 적을 수 있다. 이 경우, U(1) 작용

$(x,\xi )\mapsto (\lambda x,{\lambda }^{-1}\xi )$

에 대한 운동량 사상

${\mu }_1(x,\xi )=\mathrm{i}(\Vert x{\Vert }^2-\Vert \xi {\Vert }^2)-\mathrm{i}C$

${\mu }_2(x,\xi )+\mathrm{i}{\mu }_3(x,\xi )=\xi (x)-D$

를 취하면, $D=0$일 때

${\mu }^{-1}(0)=\{(x,\xi )\in {\mathrm{T}}^{*}V:\xi \perp x,\Vert x{\Vert }^2-\Vert \xi {\Vert }^2=C\}$

이다. 이 경우 초켈러 몫공간은 $V$ 위의 사영 공간의 공변접다발 ${\mathrm{T}}^{*}\mathbb{P}(V)$이다. 특히, 만약 $V$가 2차원일 때, 이는 에구치-핸슨 공간이다.

같이 보기

• 기하 불변량 이론 몫
• BRST 양자화

외부 링크

• 틀:Nlab
• 틀:Nlab