정칙 범주

틀:위키데이터 속성 추적 범주론에서 정칙 범주(正則範疇, 틀:Llang)는 모든 유한 극한을 갖고, 모든 사상을 그 치역으로의 전사 사상과 치역에서 공역으로 가는 단사 사상으로 유일하게 분해할 수 있는 범주이다.

정의

정칙 사상

범주 $𝒞$에서, 어떤 두 사상 $f,g:X\to Y$의 쌍대 동등자

$\mathrm{coeq}\{f,g\}:Y\to Q$

로 나타낼 수 있는 사상을 정칙 전사 사상(틀:Llang)이라고 한다. 정칙 단사 사상은 (쌍대 극한이므로) 항상 단사 사상이다.

마찬가지로, 범주 $𝒞$에서, 어떤 두 사상 $f,g:X\to Y$의 동등자

$\mathrm{eq}\{f,g\}:K\to X$

로 나타낼 수 있는 사상을 정칙 단사 사상(틀:Llang)이라고 한다. 정칙 단사 사상은 (극한이므로) 항상 단사 사상이다.

유효 사상

사상 $f:X\to Y$가 스스로와의 당김

${\pi }_1,{\pi }_2:X{\times }_{Y}X\to X$

을 가지며, ${\pi }_1,{\pi }_2$의 쌍대 동등자가 $f$와 같다면, $f$를 유효 전사 사상(틀:Llang)이라고 한다. 유효 전사 사상은 정의에 따라 정칙 전사 사상이다. 이와 같은 스스로와의 당김은 핵쌍(틀:Llang)이라고 하며, 대략 대수 구조에서의 합동 관계의 일반화로 생각할 수 있다. 즉, 유효 전사 사상은 "합동 관계"에 대한 "몫"으로의 사영 사상으로 생각할 수 있다.

사상 $f:X\to Y$가 스스로와의 밂

${\iota }_1,{\iota }_2:Y\to Y{\bigsqcup }_{X}Y$

을 가지며, ${\iota }_1,{\iota }_2$의 동등자가 $f$와 같다면, $f$를 유효 단사 사상(틀:Llang)이라고 한다. 유효 단사 사상은 정의에 따라 정칙 단사 사상이다. 이 정의에서, ${\iota }_1,{\iota }_2$의 동등자는 $f$의 "치역"으로 생각할 수 있다. 즉, 유효 단사 사상은 정의역과 치역 사이의 동형을 정의하는 단사 사상으로 생각할 수 있다.

정칙 범주

범주 $𝒞$가 다음 조건들을 만족시킨다면 정칙 범주라고 한다.

• 유한 완비 범주이다.
• 임의의 사상 $f:X\to Y$의 스스로에 대한 당김 $\stackrel{{\pi }_1}{\leftarrow }XX{\times }_{Y}X\stackrel{{\pi }_2}{\to }X$에 대하여, ${\pi }_0,{\pi }_1:X{\times }_{Y}X\to X$의 쌍대 동등자가 존재한다. 이는 $f$의 핵쌍이라고 한다.
• 정칙 전사 사상의 당김은 정칙 전사 사상이다.

두 정칙 범주 사이의 정칙 함자 $F:𝒞\to 𝒟$는 다음 조건을 만족시키는 함자이다.

• 유한 연속 함자이다. 즉, 유한 극한을 보존한다.
• 핵쌍의 쌍대 동등자를 보존한다.

작은 정칙 범주와 정칙 함자의 범주를 $\mathrm{RegCat}$라고 하자.

유효 정칙 범주

정칙 범주 $𝒞$가 다음 조건을 만족시킨다면, 유효 정칙 범주(틀:Llang) 또는 바 완전 범주(틀:Llang)라고 한다. (이는 퀼런 완전 범주와 관계없는 개념이다.)

• 임의의 대상 $X$가 주어졌으며, $X\times X$의 부분 대상 $r:Y\hookrightarrow X\times X$가 동치 관계를 이룰 때, $r$는 핵쌍으로부터 유도된다.

성질

정칙 범주 $𝒞$에서, 모든 정칙 전사 사상들의 모임 $\mathrm{RegEpi}(𝒞)$과 단사 사상들의 모임 $\mathrm{Mono}(𝒞)$은 분해계를 이룬다. 즉, 임의의 사상 $f:X\to Y$에 대하여,

$f=m\circ e$

인 정칙 전사 사상 $e:X\to Y^{\prime }$과 단사 사상 $m:Y^{\prime }\to Y$이 존재한다. $Y$의 부분 대상 $m$을 $f$의 치역이라고 한다.

정칙 사상

임의의 범주 속의 사상에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• 정칙 전사 사상이자 단사 사상이다.
• 전사 사상이자 정칙 단사 사상이다.
• 동형 사상이다.

(반면, 임의의 범주에서는 전사 사상이자 단사 사상이지만 동형 사상이 아닌 사상이 존재할 수 있다.)

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

동형 사상 ⊆ 유효 단사 사상 ⊆ 정칙 단사 사상 ⊆ 강한 단사 사상 ⊆ 극단 단사 사상 ⊆ 단사 사상

동형 사상 ⊆ 분할 단사 사상 ⊆ 정칙 단사 사상 ⊆ 강한 단사 사상 ⊆ 극단 단사 사상 ⊆ 단사 사상

동형 사상 ⊆ 유효 전사 사상 ⊆ 정칙 전사 사상 ⊆ 강한 전사 사상 ⊆ 극단 전사 사상 ⊆ 전사 사상

동형 사상 ⊆ 분할 전사 사상 ⊆ 정칙 전사 사상 ⊆ 강한 전사 사상 ⊆ 극단 전사 사상 ⊆ 전사 사상

분할 단사 사상이 정칙 단사 사상인 이유는 분할 단사 사상 $f:X\to Y$ 및 그 왼쪽 역사상 $r:Y\to X$이 주어졌을 때 $f=\mathrm{eq}\{f\circ r,{\mathrm{id}}_Y\}$이기 때문이다. 마찬가지로, 분할 전사 사상이 정칙 전사 사상인 이유는 분할 전사 사상 $f:X\to Y$ 및 그 오른쪽 역사상 $s:Y\to X$이 주어졌을 때 $f=\mathrm{eq}\{s\circ f,{\mathrm{id}}_X\}$이기 때문이다.

어떤 범주에서 모든 사상 $f:X\to Y$의 스스로와의 당김 $X{\times }_{Y}X$이 존재한다면, 이 범주에서 정칙 전사 사상의 개념과 유효 전사 사상의 개념이 일치한다. 토포스(또는 더 일반적으로 준토포스)에서, 다음이 성립한다.

• 모든 전사 사상은 정칙 전사 사상이자 유효 전사 사상이다.
• 모든 단사 사상은 정칙 단사 사상이다.

아벨 범주에서, 모든 단사 사상은 정칙 단사 사상이다.

완전열

정칙 범주 $𝒞$ 속에서, 짧은 완전열은 다음과 같은 꼴의 그림이다.

$N\stackrel{\iota }{\rightrightarrows {\iota }^{\prime }}X\stackrel{q}{\to }Q$

여기서

• $\{\iota ,{\iota }^{\prime }\}$는 $q$의 핵쌍이다.

만약 $𝒞$가 추가로 아벨 범주라면, $N\stackrel{\iota }{\rightrightarrows {\iota }^{\prime }}X\stackrel{q}{\to }Q$가 (정칙 범주의) 짧은 완전열인 것은

$0\to N\stackrel{\iota -{\iota }^{\prime }}{\to }X\stackrel{q}{\to }Q\to 0$

가 (아벨 범주의) 완전열인 것과 동치이다.

정칙 논리

1차 논리에서 정칙 공식(틀:Llang)은

• 명제 변수 $P_1,P_2,\dots$
• 논리곱 $\wedge$
• 존재 기호 $\mathrm{\exists }$

만으로 나타낼 수 있는 공식이다. 정칙 논리는

$\mathrm{\forall }x:(\varphi (x)\to {\varphi }^{\prime }(x))$

꼴의 명제들만을 다룰 수 있는, 1차 논리를 약화시킨 논리이다.

정칙 범주의 내부 논리는 정칙 논리이다. 구체적으로, 정칙 범주 $𝒞$의 끝 대상 $1\in 𝒞$을 골랐을 때, 다음과 같은 대응이 존재한다.

정칙 논리	정칙 범주
종류(틀:Llang)	$𝒞$의 대상 $X\in 𝒞$
$\mathrm{\forall }(x:X),(x^{\prime }:X):x=x^{\prime }$인 종류 $X$	끝 대상 $1\in 𝒞$
종류 $X$의 상수 $c$	사상 $c:1\to X$
종류 $X\to Y$의 함수 $f$	사상 $f:X\to Y$
함수의 합성 $f\circ g$	사상의 합성 $f\circ g$
$\mathrm{\forall }(x:X),(x^{\prime }:X):f(x)=f(x^{\prime })⟹x=x^{\prime }$가 성립하는 함수 $f$	단사 사상 $f:X\hookrightarrow Y$
종류 $Y$에 대한 술어 $R(y)⟺\mathrm{\exists }x\in X:f(x)=y$	부분 대상 $f:X\hookrightarrow Y$
$\mathrm{\forall }(y:Y)\mathrm{\exists }(x:X):f(x)=y$가 성립하는 함수 $f$	정칙 전사 사상 $f:X\twoheadrightarrow Y$
$\mathrm{\forall }(z,z^{\prime }:X\times Y):{\pi }_X(z)={\pi }_X(z^{\prime })\wedge {\pi }_Y(z)={\pi }_Y(z^{\prime })⟹z=z^{\prime }$, $\mathrm{\forall }(x:X)\mathrm{\forall }(y:Y)\mathrm{\exists }(z:X\times Y):({\pi }_X(z)=x\wedge {\pi }_Y(z)=y)$	곱 $X\stackrel{{\pi }_X}{\leftarrow }X\times Y\stackrel{{\pi }_Y}{\to }Y$
$\mathrm{\forall }(x:X):f(x)=g(x)⟹\mathrm{\exists }(y:Y):h(y)=x$	동등자 $h:Y\hookrightarrow X\stackrel{f}{\rightrightarrows g}Y$

같이 보기

• 토포스

참고 문헌

• 틀:서적 인용
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외부 링크

• 틀:Nlab
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