유한환

틀:위키데이터 속성 추적 환론에서 유한환(有限環, 틀:Llang)은 유한 집합인 환이다.

정의

환 · 유사환 · 가환환 · 가환 유사환 가운데, 유한 집합인 것을 각각 유한환 · 유한 유사환 · 유한 가환환 · 유한 가환 유사환이라고 한다. 이 문서에서, 환 · 가환환은 항상 곱셈 항등원을 가지며, (가환) 유사환은 곱셈 항등원을 가지지 않을 수 있다.

성질

모든 유한환은 자명하게 좌·우 뇌터 환이자 아르틴 환이다. 가환 유한환의 크룰 차원은 0차원이며, 그 스펙트럼은 유한 개의 점으로 구성된 이산 공간이다.

모든 유한환 $R$에서, 모든 원소 $r\in R$는 영인자이거나 아니면 가역원이다. 구체적으로, 만약 $r\cdot :R\to R$가 전단사 함수라면 이는 가역원이며, 아니라면 영인자이다. 이에 따라, 모든 유한환은 0이 아닌 영인자를 갖거나 아니면 유한체이다 (웨더번 정리).

모든 유한 단순환은 유한체 위의 행렬환과 동형이다. 즉, 다음과 같은 꼴이다.

$\mathrm{Mat}(n;{𝔽}_{p^k})$

분류

유한 유사환 $(R,+,0,\cdot )$의 크기의 소인수 분해가 다음과 같다고 하자.

$|R|=\prod _i{p}_i^{n_i}$

그렇다면 $R$는 다음과 같은 유사환 직합으로 나타낼 수 있다.

$R=\underset{i}{⨁}{R}_i$

$|R_i|=p_i^{n_i}$

즉, 유한 유사환을 분류하려면, 크기가 소수의 거듭제곱인 것만을 분류하면 족하다.

크기가 $p^n$인 유한 유사환 $(R,+,0,\cdot )$을 생각하자. 이는 아벨 군 $(R,+,0)$에 따라 일차적으로 분류된다. (유한 아벨 군은 모두 완전히 분류되었다.) 또한, 이 아벨 군이 순환군인 경우, 해당하는 모든 유사환을 분류할 수 있다. 따라서, 순환군이 아닌 소수 거듭제곱 크기의 아벨 군 위의 유한 유사환만을 분류하면 된다.

추가로, 만약 $R$가 가환환인 경우, $R$는 (크기가 소수의 거듭제곱인) 유한 국소환의 직합으로 나타낼 수 있다.

순환군 위의 유사환

덧셈 아벨 군이 순환군 $\mathrm{Cyc}(n)$인 유사환 $R$는 다음과 같이 간단히 분류된다.틀:Rp 덧셈 아벨 군의 생성원을 $a$라고 하자. 즉,

$\{0,a,2a,3a,\dots ,(n-1)a\}$

의 꼴이다. 이러한 유사환의 곱셈 구조는

$a^2=ka$

인 $k\in \mathbb{Z}/n$에 의하여 완전히 결정된다. 이러한 유사환은

$⟨a|na,a^2-ka⟩$

와 같이 적을 수 있다. 또한, 이러한 두 유사환이 서로 동형일 필요충분조건은

$⟨a|na,a^2-ka⟩\cong ⟨a|na,a^2-k^{\prime }a⟩⟺\gcd \{k,n\}=\gcd \{k^{\prime },n\}$

이다. 따라서, 순환군 $\mathrm{Cyc}(n)$ 위의 유사환들은 $n$의 약수들과 일대일 대응한다. 이 가운데, 약수 $k\equiv n\equiv 0(\mathrm{mod}n)$인 경우는 영유사환이며, $k\equiv 1(\mathrm{mod}n)$인 경우는 정수환의 몫환 $\mathbb{Z}/(n)$이다. $k\equiv ̸1(\mathrm{mod}n)$인 경우는 곱셈 항등원이 없어 환을 이루지 않는다.

Cyc(p)^⊕2 위의 유사환

$\mathbb{Z}/p\oplus \mathbb{Z}/p$ 위의 유사환은 총 8개이며, 다음과 같다.틀:Rp

• 가환환 3개:
  • 유한체 ${𝔽}_{p^2}$
  • ${𝔽}_p\oplus {𝔽}_p$
  • ${𝔽}_p[x]/(x^2)$ (틀:Rp에서는 G로 수록)
• 가환환이 아닌 가환 유사환 3개:
  • $\mathrm{Cyc}(p)\oplus \mathrm{Cyc}(p)$ 위의 영유사환
  • ${𝔽}_p\oplus \mathrm{Cyc}(p)$. 여기서 $\mathrm{Cyc}(p)$는 동명의 순환군 위의 영유사환이다.
  • $(x)\subset {𝔽}_p[x]/(x^3)$ (틀:Rp에서는 I로 수록)
• 비가환 유사환 2개
  • $\{\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ b& 0\end{array}\right):a,b\in {𝔽}_p\}\subset \mathrm{Mat}(2;{𝔽}_p)$ (에서는 E로 수록)
  • 위 행렬 유사환의 반대유사환 (틀:Rp에서는 F로 수록)

Cyc(p²) ⊕ Cyc(p) 위의 유사환

아벨 군 $\mathrm{Cyc}(p^2)\oplus \mathrm{Cyc}(p)$ 위의 유사환은 $p=2$일 경우 총 20개, $p\ne 2$일 경우 총 $2p+19$개가 있다. 이는 다음과 같다.

• 가환환 3개 ($p=2$일 경우 4개)
  • $\mathbb{Z}/(p^2)\oplus {𝔽}_p$
  • $(\mathbb{Z}/(p^2))[x]/(px,x^2)$
  • $(\mathbb{Z}/(p^2))[x]/(px,x^2-p)$
  • $(\mathbb{Z}/(p^2))[x]/(px,x^2-mp)$, $m\in \mathbb{Z}/(p)$은 제곱잉여가 아닌 정수. ($p=2$일 경우 이는 불가능하다.)
• 나머지는 모두 단위원을 갖지 않는 유사환이다.

Cyc(p)^⊕3 위의 유사환

아벨 군 $\mathrm{Cyc}(p{)}^{\oplus 3}$ 위의 유사환은 28개 ($p=2$인 경우) 또는 $p+27$개 ($p\ne 2$인 경우)이다.

이 가운데, (곱셈 단위원을 갖춘) 환은 7개이다.틀:Rp 이 가운데 가환환이 아닌 것은 하나밖에 없으며, 유한체 위의 삼각행렬의 환

$\mathrm{Upper}(2;{𝔽}_p)=\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& c\end{array}\right):a,b,c\in {𝔽}_p\}$

이다 (이 환은 스스로의 반대환과 동형이다).

아벨 군 $\mathrm{Cyc}(p{)}^{\oplus 3}$ 위의 6개의 가환환은 다음과 같다.

• ${𝔽}_p^{\oplus 3}$
• ${𝔽}_{p^2}\oplus \mathbb{Z}/(p)$
• ${𝔽}_p[x]/(x^2)\oplus \mathbb{Z}/(p)$
• 유한체 ${𝔽}_{p^3}$
• ${𝔽}_p[x]/(x^3)$
• ${𝔽}_p[x,y]/(x^2,xy,y^2)$

주어진 크기의 유사환의 수

크기가 $n$인 유한 유사환의 동형류의 수는 다음과 같다 ($n=1,2,\dots$).

1, 2, 2, 11, 2, 4, 2, 52, 11, 4, 2, 22, 2, 4, 4, 390, 2, 22, 2, 22, 4, 4, 2, 104, 11, 4, 59, 22, 2, 8, 2, … 틀:OEIS

크기가 $n$인 유한 가환 유사환의 동형류의 수는 다음과 같다 ($n=1,2,\dots$).

1, 2, 2, 9, 2, 4, 2, 34, 9, 4, 2, 18, 2, 4, 4, 162, 2, 18, 2, 18, 4, 4, 2, 68, 9, 4, 36, 18, 2, 8, 2, … 틀:OEIS

크기가 $n$인 유한환의 동형류의 수는 다음과 같다 ($n=1,2,\dots$).

1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 11, 4, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 50, 1, 4, 1, 4, 1, 1, 1, 11, 4, 1, 12, 4, 1, 1, 1, 208, 1, 1, 1, 16, 1, 1, 1, 11, 1, 1, 1, 4, 4, 1, 1, 50, 4, 4, 1, 4, 1, 11, 1, 11, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 4, … 틀:OEIS

크기가 $n$인 유한 가환환의 동형류의 수는 다음과 같다 ($n=1,2,\dots$).

1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 10, 4, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 37, 1, 4, 1, 4, 1, 1, 1, 10, 4, 1, 11, 4, 1, 1, 1, … 틀:OEIS

각주

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외부 링크

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