소환 (환론)

틀:위키데이터 속성 추적 환론에서 소환(素環, 틀:Llang)은 아이디얼이 곱셈에 대하여 영인자를 갖지 않는 환이다. 정역의 개념의 비가환 일반화의 하나이다.

정의

임의의 환 $R$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 소환이라고 한다.

• 임의의 $r,s\in R$에 대하여, 만약 $rRs=\{0\}$이라면 $r=0$이거나 $s=0$이다.
• 영 아이디얼이 소 아이디얼이다.틀:Rp
• 임의의 두 아이디얼 $𝔞,𝔟\subseteq R$에 대하여, 만약 $𝔞𝔟=(0)$이라면 $𝔞=(0)$이거나 $𝔟=(0)$이다.
• 임의의 두 왼쪽 아이디얼 $𝔄,𝔅\subseteq R$에 대하여, 만약 $𝔄𝔅=(0)$이라면 $𝔄=(0)$이거나 $𝔅=(0)$이다.
• 임의의 두 오른쪽 아이디얼 $𝔄,𝔅\subseteq R$에 대하여, 만약 $𝔄𝔅=(0)$이라면 $𝔄=(0)$이거나 $𝔅=(0)$이다.
• 모든 왼쪽 아이디얼이 왼쪽 충실한 가군이다.
• 모든 오른쪽 아이디얼이 오른쪽 충실한 가군이다.

성질

다음 함의 관계가 성립한다.틀:Rp

체	⇒	정역
⇓		⇓	⇘
나눗셈환	⇒	영역	⇒	축소환
⇓		⇓		⇓
左·右 원시환	⇒	소환	⇒	반소환

가환환의 경우, 이 함의는 다음과 같이 단순해진다.

체		정역
⇕		⇕
나눗셈환	⇒	영역	⇒	축소환
⇕		⇕		⇕
左·右 원시환		소환		반소환

소환 $R$의 중심 $Z(R)$는 정역이다. 따라서, 소환의 표수는 0이거나 소수이다.틀:Rp

예

정역 $D$ 위의 행렬환 $\mathrm{Mat}(n;D)$은 소환이다.

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드