유클리드 정역

틀:위키데이터 속성 추적 틀:대수 구조 유클리드 정역(Euclid整域, 틀:Lang), 또는 유클리드 환(-環, 틀:Lang)은 특수한 구조를 가지고 있어서 유클리드 호제법과 비슷한 과정이 가능한 정역을 부르는 말이다.

정의

정역 $R$ 위의 유클리드 함수(틀:Llang) $f : R ∖ {0} \to ℕ$ 는 다음 성질을 만족시키는 함수이다.

임의의 $a \in R$ 및 $b \in R ∖ {0}$ 에 대하여,틀:Mindent이며 $r = 0$ 또는 $f (r) < f (b)$ 인 $q, r \in R$ 가 존재한다.

유클리드 정역은 유클리드 함수가 적어도 하나가 존재하는 정역이다.

일부 문헌에서는 유클리드 함수의 정의에 다음 조건을 추가하기도 한다.

임의의 $a, b \in R ∖ {0}$ 에 대하여, $f (a) \leq f (a b)$

그러나 이 조건을 추가해도 유클리드 정역의 정의는 바뀌지 않는다. 즉, (더 약한 정의에 대한) 유클리드 함수를 갖춘 정역은 항상 더 강한 정의에 대한 유클리드 함수를 갖춘다.

성질

모든 체는 자명하게 유클리드 정역을 이루며, 모든 유클리드 정역은 주 아이디얼 정역이다. 일반적으로, 다음 포함 관계가 성립한다.

가환환 ⊋ 정역 ⊋ 정수적으로 닫힌 정역 ⊋ 크룰 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∪ 데데킨트 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∩ 데데킨트 정역 = 주 아이디얼 정역 ⊋ 유클리드 정역 ⊋ 체

예

정수환 $ℤ$ 는 유클리드 정역을 이루며, 이 경우 유클리드 함수를 절댓값 $| \cdot |$ 으로 잡을 수 있다. 절댓값이 유클리드 함수라는 것은 나눗셈 정리의 따름정리다.
체 $K$ 위의 다항식환 $K [x]$ 는 유클리드 정역이다. 이 경우, 유클리드 함수는 다항식의 차수 $\deg p \in ℕ$ 이다.
체 $K$ 위의 형식적 거듭제곱 급수의 환 $K [[x]]$ 역시 유클리드 정역이다. 이 경우, 유클리드 함수는 형식적 거듭제곱 급의 차수 $\deg p \in ℤ$ 이다.
가우스 정수의 환 $ℤ [i]$ 은 유클리드 정역이다. 이 경우 유클리드 함수는틀:Mindent와 같이 정의할 수 있다.

다항식환의 유클리드 함수

다항식환 $K [x]$ 에서, 차수 $\deg$ 가 유클리드 함수를 이룬다는 사실은 다음과 같이 보일 수 있다. $f, g \in K [x]$ 이며, $g \neq 0$ 이라고 하자. 이 경우,

f = g q + r

이며 $\deg r < \deg g$ 인 $q, r \in K [x]$ 의 존재를 보이면 된다.

집합 $S \subset K [x]$ 를

S = {f - g h : h \in K [x]}

와 같이 정의하자. 자명하게, $S$ 가 공집합일 수는 없다. $r$ 를 $S$ 의 원소 중 차수가 제일 작은 다항식이라 하자. 그렇다면

f = g q + r

를 만족시키는 $q \in K [x]$ 가 존재한다. 이제, $\deg r < \deg g$ 이거나 $\deg r \geq \deg g$ 이다. 귀류법을 사용해, $\deg r \geq \deg g$ 라고 가정하자.

r = a x^{\deg r} + \dots

g = b x^{\deg g} + \dots

라면,

\tilde{r} = r - (a / b) x^{\deg r - \deg g} g \in S

이지만

\deg \tilde{r} < \deg r

이므로 모순이다.