정수적 원소

틀:위키데이터 속성 추적 가환대수학에서 정수적 원소(整數的元素, 틀:Llang)는 어떤 부분환에 계수를 갖는 일계수 다항식의 근으로 나타낼 수 있는 가환환 원소이다.

정의

가환환 $S$의 부분환 $R\subseteq S$ 및 $s\in S$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건이 성립한다면 $s$를 $R$의 $S$에 대한 정수적 원소라고 한다.

• $p(s)=0$인 일계수 다항식 $p\in R[x]$가 존재한다.
• $R$와 $\{s\}$로 생성되는 부분환 $R[s]$는 $R$의 유한 생성 가군이다.
• $R[s]\subseteq \tilde{R}$이며 $R$-유한 생성 가군을 이루는 부분환 $\tilde{R}\subseteq S$가 존재한다.
• $sM\subseteq M$이며 ${\mathrm{Ann}}_S(M)\cap R[s]=\{0\}$인 $R$-유한 생성 가군 $M$이 존재한다.

여기서

• $R[s]={\mathrm{eval}}_{x\mapsto s}(S[x])=\{p(s):p\in S[x]\}\subseteq S$이다.
• ${\mathrm{Ann}}_S(M)=\{a\in S:aM=\{0_M\}\}$은 $M$의 소멸자이다.

가환환 $S$의 부분환 $R\subseteq S$에 대한 정수적 폐포(整數的閉包, 틀:Llang)는 $R$에 대한 정수적 원소들의 집합이다. 이는 $S$의 부분환을 이룬다.

가환환 $S$는 그 전분수환 $\mathrm{Frac}S$의 부분환이다. 만약 $S$의 $\mathrm{Frac}S$ 속에서의 정수적 폐포가 $S$라면, $S$를 정수적으로 닫힌 가환환(整數的으로 닫힌 可換環, 틀:Llang)이라고 한다.

도수

가환환 $S$의 부분환 $R\subseteq S$이 주어졌으며, $S$가 $R$ 위에서 정수적으로 닫혀 있다고 하자, $R$-가군 $S/R$의 소멸자 ${\mathrm{Ann}}_R(S/R)\subseteq R$를 $R$의 $S$ 속의 도수(導手, 틀:Llang, 틀:Llang, 틀:Llang) $𝔣(S/R)$라고 한다.틀:Rp

$𝔣(S/R)={\mathrm{Ann}}_R(S/R)=\{r\in R:rS\subseteq R\}$

이는 소멸자이므로 $R$의 아이디얼을 이루며, $R$의 아이디얼이자 $S$의 아이디얼이 되는 가장 큰 집합이다.

$R$가 정역이며, $S$가 $R$의 $\mathrm{Frac}R$ 속의 정수적 폐포라고 하고, $S/R$가 $R$-유한 생성 가군이라고 하자. 그렇다면 $R$의 소 아이디얼 $𝔭\in \mathrm{Spec}R$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

• $𝔭\subseteq 𝔣(S/R)$
• 국소화 $R_{𝔭}$는 $S$ 속에서 정수적으로 닫힌 국소환이다.
• $(S/R){\otimes }_R{R}_{𝔭}=0$이다. 즉, $S{\otimes }_R{R}_{𝔭}=R_{𝔭}$이다.

$R$-가군 $S/R$는 $\mathrm{Spec}R$ 위의 가군층으로 여길 수 있으며, 그 지지 집합은 다음과 같이 도수 $𝔣(S/R)$로부터 정의되는 (자리스키 위상에서의) 열린집합 $V(𝔣(S/R))$의 여집합이다.

$\mathrm{supp}(S/R)=\{𝔭\in \mathrm{Spec}R:(S/R){\otimes }_R{R}_{𝔭}\ne 0\}=\{𝔭\in \mathrm{Spec}R:𝔭\subseteq ̸𝔣(S/R)\}=(\mathrm{Spec}R)\setminus V(𝔣(S/R))$

나가타 환

정역 $R$가 다음 조건을 만족시킨다면, N-1환이라고 한다.

• $R$의 $\mathrm{Frac}R$ 속의 정수적 폐포 $S$는 $R$-유한 생성 가군이다.

정역 $R$가 다음 조건을 만족시킨다면, N-2환이라고 한다.

• $\mathrm{Frac}R$의 모든 유한 확대 $L/\mathrm{Frac}R$에 대하여, $R$의 $L$ 속의 정수적 폐포는 $R$-유한 생성 가군이다.

뇌터 가환환 $R$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 뇌터 가환환을 나가타 환(틀:Llang)이라고 한다.틀:Rp

• 임의의 소 아이디얼 $𝔭\in \mathrm{Spec}R$에 대하여, 몫환 $R/𝔭$는 N-2환이다.
• 임의의 정역 $S$ 및 환 준동형 $R\to S$에 대하여, 만약 이를 통하여 $S$가 $R$-유한 생성 가군을 이룬다면, $S$는 N-2환이다.

정환

정역 $R$ 및 그 분수체 $K=\mathrm{Frac}R$가 주어졌다고 하자. $K$-단위 결합 대수 $A$에 대하여, $A$ 속의 $R$-정환(整環, 틀:Llang, 틀:Llang) $ℴ\subseteq A$는 다음 조건들을 만족시키는 $A$의 부분환이다.

• $ℴ$는 $K$-단위 결합 대수이다.
• $ℴ$는 $R$-자유 가군이다. (즉, $R$-격자를 이룬다.)
• $Kℴ=A$이다.

$A$ 속의 $R$-정환들은 부분 집합 관계에 대하여 부분 순서 집합을 이룬다.

$A$가 가환환일 때, $A$ 속의 $R$-정환 $ℴ\subset A$의 모든 원소는 $R$-정수적 원소이다. 따라서, 최대 $R$-정환이 존재하며, 이는 $R$의 $A$ 속의 정수적 폐포이다. (이는 $A$가 비가환환일 때 성립하지 않는다. 이 경우 모든 정환은 극대 정환에 속하지만, 최대 정환은 일반적으로 존재하지 않는다.)

성질

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

가환환 ⊋ 정역 ⊋ 정수적으로 닫힌 정역 ⊋ 크룰 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∪ 데데킨트 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∩ 데데킨트 정역 = 주 아이디얼 정역 ⊋ 유클리드 정역 ⊋ 체

정수적으로 닫힐 필요충분조건

정역 $S$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

• 정수적으로 닫힌 가환환이다.
• 임의의 소 아이디얼 $𝔭\in \mathrm{Spec}S$에 대하여, 국소화 $S_{𝔭}$는 정수적으로 닫힌 국소환이다.
• 임의의 극대 아이디얼 $𝔪\subseteq S$에 대하여, $S_{𝔪}$은 정수적으로 닫힌 국소환이다.

뇌터 정역 $R$에 대하여 다음 두 조건들이 서로 동치이다.

• 정수적으로 닫힌 가환환이다.
• 다음 두 조건이 성립한다.
  • $R$는 높이가 1인 소 아이디얼 $𝔭$들에 대한 국소화 $R_{𝔭}\subseteq \mathrm{Frac}R$들의 (분수체 $\mathrm{Frac}R$ 속에서의) 교집합이다.

    $R=\bigcap _{𝔭\in \mathrm{Spec}R}^{\mathrm{ht}𝔭=1}{R}_{𝔭}\subseteq \mathrm{Frac}R$

  • 임의의 높이가 1인 소 아이디얼 $𝔭\in \mathrm{Spec}R$에 대하여, $R_{𝔭}$는 이산 값매김환이다.

크룰 차원이 1인 뇌터 국소 정역 $(R,𝔪)$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

• $R$는 정수적으로 닫힌 가환환이다.
• $𝔪$은 주 아이디얼이다.
• $R$는 이산 값매김환이다.
• $R$는 데데킨트 정역이다.
• $R$는 정칙 국소환이다.

코언-사이던버그 정리

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 가환환 $S$
• $S$의 부분환 $R\subseteq S$. 또한, $S$의 모든 원소는 $R$-정수적 원소이다.
• $R$-소 아이디얼들의 사슬 $({𝔭}_i{)}_{1\le i\le k}$ 및 $S$-소 아이디얼들의 사슬 $({𝔮}_i{)}_{m\le i\le n}$ ($1\le m\le n\le k$). 또한, $m\le i\le n$에 대하여 ${𝔮}_i\mid {𝔭}_i$이다. 즉, ${𝔮}_i\cap R={𝔭}_i$이다.

  $\begin{array}{cccccccccc}& & & & {𝔮}_m\subseteq \cdots \subseteq {𝔮}_n& & & & & \subseteq S\\ {𝔭}_1& \subseteq \cdots \subseteq & {𝔭}_{m-1}& \subseteq & {𝔭}_m\subseteq \cdots \subseteq {𝔭}_n& \subseteq & {𝔭}_{n+1}& \subseteq \cdots \subseteq & {𝔭}_k& \subseteq R\end{array}$

또한, 다음 두 조건 가운데 하나가 성립한다고 하자.

• $S$는 정역이며, $R$는 ($\mathrm{Frac}R$ 속에서) 정수적으로 닫힌 정역이다.
• $m=1$이다.

그렇다면, 코언-사이던버그 정리(틀:Llang)에 따르면, 다음이 성립한다.

• ${𝔮}_i\mid {𝔭}_i\mathrm{\forall }1\le i\le k$가 되게 소 아이디얼 사슬 $\{{𝔮}_i\}$를 연장시킬 수 있다. 즉, 다음이 성립하는 $S$-소 아이디얼 $\{{𝔮}_i{\}}_{i\in \{1,\dots ,m-1,n+1,\dots ,k}\}$가 존재한다.

  $\begin{array}{cccccccccc}\mathrm{\exists }{𝔮}_1& \subseteq \cdots \subseteq & \mathrm{\exists }{𝔮}_{m-1}& \subseteq & {𝔮}_m\subseteq \cdots \subseteq {𝔮}_n& \subseteq & \mathrm{\exists }{𝔮}_{n+1}& \subseteq \cdots \subseteq & \mathrm{\exists }{𝔮}_k& \subseteq S\\ {𝔭}_1& \subseteq \cdots \subseteq & {𝔭}_{m-1}& \subseteq & {𝔭}_m\subseteq \cdots \subseteq {𝔭}_n& \subseteq & {𝔭}_{n+1}& \subseteq \cdots \subseteq & {𝔭}_k& \subseteq R\end{array}$

여기서 ${𝔮}_i\mid {𝔭}_i$라는 것은 $({𝔮}_i)\cap R={𝔭}_i$임을 뜻한다.

즉, 정수적 확대에 대하여 소 아이디얼의 사슬을 위로 연장할 수 있으며(틀:Llang), 추가 조건 아래 소 아이디얼의 사슬을 아래로도 연장할 수 있다(틀:Llang).

크룰-아키즈키 정리

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• $R$는 크룰 차원이 1인 가환 뇌터 축소환이다. $K=\mathrm{Frac}R$는 그 전분수환이다.
• $L$은 가환환이며, 단사 함수인 환 준동형 $\iota :K\hookrightarrow L$이 주어져 있다. 또한, 덧셈 몫군 $L/K$는 유한군이다.
• $S\subseteq L$은 $R$의 $L$ 속의 정수적 폐포이다.

크룰-아키즈키 정리(Krull-[秋月]定理, 틀:Llang)에 따르면, 다음이 성립한다.

• $S$ 역시 크룰 차원이 1인 가환 뇌터 환이다.
• $S$의 임의의 아이디얼 $𝔞\subseteq S$에 대하여, 만약 $𝔞$가 영 아이디얼이 아니라면, 덧셈 몫군 $(S/𝔞)/(R/(R\cap 𝔞))$는 유한군이다. (그러나 덧셈 몫군 $S/R$는 유한군이 아닐 수 있다. 즉, 이는 $𝔞$가 영 아이디얼일 때 성립하지 못할 수 있다.)
• 만약 $R$가 추가로 데데킨트 정역이라면, $S$ 역시 데데킨트 정역이다.

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• $R$는 가환 뇌터 축소환이다. $K=\mathrm{Frac}R$는 그 전분수환이다.
• $S$는 $R$의 $K$ 속의 정수적 폐포이다.
• $R$는 $n$개의 극소 소 아이디얼 (소 아이디얼들의 포함 관계에 대한 극소 원소, 즉 높이가 0인 소 아이디얼)들을 갖는다.

모리-나가타 정리([森]-[永田]定理, 틀:Llang)에 따르면, 다음이 성립한다.

• $S$는 $n$개의 크룰 정역들의 직접곱이다.

이는 크룰-아키즈키 정리의 고차원 가환환에 대한 부분적 일반화이다.

역사

코언-사이던버그 정리는 어빈 솔 코언과 에이브러햄 사이던버그(틀:Llang, 1916~1988)가 증명하였다.

크룰-아키즈키 정리는 볼프강 크룰과 아키즈키 야스오(틀:Llang, 1902~1984)가 증명하였다.

모리-나가타 정리는 모리 요시로(틀:Llang)와 나가타 마사요시 가 증명하였다.

같이 보기

• 정규 스킴
• 대수적 정수

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Eom
• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:매스월드
• 틀:매스월드
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• 틀:웹 인용