정규 스킴

틀:위키데이터 속성 추적 대수기하학에서 정규 스킴(正規scheme, 틀:Llang)은 모든 국소환이 정수적으로 닫힌 정역인 스킴이다.

정의

국소환 달린 공간 $(X,{𝒪}_X)$에서, 만약 모든 $x\in X$에 대하여 구조층의 줄기 ${𝒪}_{X,x}$가 정수적으로 닫힌 정역인 국소환이라면, $(X,{𝒪}_X)$를 정규 국소환 달린 공간(틀:Llang)이라고 한다.

정규 스킴은 정규 국소환 달린 공간인 스킴이다.틀:Rp 정규환(正規環, 틀:Llang) $R$는 그 스펙트럼 $\mathrm{Spec}R$가 정규 스킴인 가환환이다. 즉, 임의의 소 아이디얼 $𝔭$에 대하여, 국소화 $R_{𝔭}$가 정수적으로 닫힌 정역인 경우이다.

정규화

임의의 기약 축소 스킴 $X$에 대하여, 다음과 같은 보편 성질을 만족시키는 기약 정규 스킴 $\tilde{X}$ 및 스킴 사상 $\nu :\tilde{X}\to X$가 존재하며, 이를 $X$의 정규화(틀:Llang)라고 한다.틀:Rp

• 임의의 기약 정규 스킴 $Y$ 및 우세 사상 $f:Y\to X$에 대하여, $f=\nu \circ \tilde{f}$가 되는 스킴 사상 $\tilde{f}:Y\to \tilde{X}$가 유일하게 존재한다.

  $\begin{array}{ccc}\mathrm{\forall }Y& \stackrel{\mathrm{\exists }!}{\to }& \tilde{X}\\ & \mathrm{\forall }\searrow & \downarrow \\ & & X\end{array}$

이는 구체적으로 다음과 같이 구성된다. $X$ 위에 열린 아핀 스킴들로 구성된 열린 덮개 $\{\mathrm{Spec}{R}_i{\}}_{i\in I}$를 잡았을 때, 각 $R_i$의 정수적 폐포 ${\tilde{R}}_i$들의 스펙트럼 $\{\mathrm{Spec}{\tilde{R}}_i{\}}_{i\in I}$을 이어붙여 스킴 $\tilde{X}$를 구성할 수 있다. 자연스러운 사상 $\tilde{X}\to X$는 가환환의 포함 준동형 $R_i\hookrightarrow {\tilde{R}}_i$으로부터 유도된다.

만약 $X$가 기약 스킴이 아닌 축소 스킴이라면, 그 정규화는 $X$의 각 기약 성분 $X_i$의 정규화 ${\tilde{X}}_i$들의 분리합집합

$\tilde{X}=\underset{i}{⨆}{\tilde{X}}_i$

으로 정의된다.

성질

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

축소 스킴 ⊋ 정규 스킴 ⊋ 정칙 스킴 ⊋ 체 위의 매끄러운 스킴

세르 조건

뇌터 가환환 $R$에 대하여, 다음과 같은 조건들을 정의하자.

• R_k: 모든 소 아이디얼 $𝔭\in \mathrm{Spec}R$에 대하여, 만약 $\mathrm{ht}𝔭\le k$라면, 국소화 $R_{𝔭}$는 정칙 국소환이다. 여기서 $\mathrm{ht}$는 아이디얼의 높이이다.
• S_k: 모든 소 아이디얼 $𝔭\in \mathrm{Spec}R$에 대하여, $\mathrm{depth}{R}_{𝔭}\ge \min \{k,\mathrm{ht}𝔭\}$. 여기서 $\mathrm{depth}$는 (스스로 위의 가군으로서의, 유일한 극대 아이디얼에 대한) 깊이이다.

세르 조건(틀:Llang)에 따르면, 뇌터 가환환의 경우, 다음 표에서 각 행에 적힌 두 조건이 서로 동치이다.

조건	뇌터 가환환에 대하여 동치인 조건
정규환	R1 + S2
축소환	R0 + S1
코언-매콜리 환	S∞

대수기하학적으로, 정규 스킴의 세르 조건에서, R₁ 조건은 대략 "여차원 1의 특이 부분 집합이 존재하지 않음"을 뜻한다. 마찬가지로, 대수기하학적으로 S₂ 조건은 하르톡스 확장정리에 해당한다.

정규 대수다양체

대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 대수다양체 $X$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $X$는 정규 대수다양체이다.
• $K$ 위의 임의의 대수다양체 $Y$ 및 ($Y$ 전체에 정의된) 및 임의의 유한 쌍유리 사상 $f:Y\to X$에 대하여, $f$는 (대수다양체의) 동형 사상이다.

이는 정수적으로 닫힌 정역의 정의를 그대로 기하학적으로 번역한 것이다. 즉, $x\in X$에 대하여 $R={𝒪}_{X,x}$라고 놓으면, 모든 환 $S$에 대하여, 만약 다음 두 조건

• (쌍유리 사상) $R\subseteq S\subseteq \mathrm{Frac}R=\mathrm{Frac}S$
• (유한 사상) $S$는 $R$ 위의 유한 생성 가군

이 성립한다면, $R=S$이어야 한다.

역사

정규 스킴의 개념은 오스카 자리스키가 1939년에 도입하였다.

외부 링크

• 틀:Eom
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• 틀:Nlab
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