입방체 범주

틀:위키데이터 속성 추적 호모토피 이론에서 입방체 범주(立方體範疇, 틀:Llang)는 각 차원의 초입방체를 대상으로 하는 작은 범주이다. 단체 범주와 유사하지만, 단체 대신 초입방체를 사용한다. 입방체 범주의 반대 범주를 정의역으로 하는 함자를 입방체 대상(立方體對象, 틀:Llang)이라고 한다. 이는 다양한 차원의 초입방체들을 짜깁기하여 얻는 일종의 “공간”으로 여겨질 수 있으며, 특히, 집합의 범주 속의 입방체 대상을 입방체 집합(立方體集合, 틀:Llang)이라고 한다.

정의

입방체 범주 $◻$는 다음과 같이 여러 방법으로 정의될 수 있지만, 이 정의들은 서로 동치이다.

• 입방체 범주는 구체적으로 초입방체들을 대상으로 하며, 그 사이의 특정 연속 함수를 사상으로 하는 범주로서 정의될 수 있다.
• 입방체 범주는 추상적으로 특별한 사상들로 생성되는 모노이드 범주로서 정의될 수 있다.

범주 $𝒞$ 위의 입방체 대상은 함자

${◻}^{\mathrm{op}}\to 𝒞$

를 뜻한다. $𝒞$ 속의 입방체 대상의 범주를 $\mathrm{c}(𝒞)$로 표기하자.

입방체 집합은 집합과 함수의 범주 $\mathrm{Set}$ 위의 입방체 대상이다. 즉, 입방체 범주 $◻$ 위의 (집합 값의) 준층이다.

$\mathrm{PSh}(◻)={\mathrm{hom}}_{\mathrm{Cat}}({◻}^{\mathrm{op}},\mathrm{Set})$

입방체 집합의 범주 $\mathrm{c}(\mathrm{Set})$은 물론 그로텐디크 토포스를 이룬다.

구체적 정의

입방체 범주 $◻$의 대상들은 자연수(음이 아닌 정수) $n$이다. 이는 $n$차원 초입방체 ${𝕀}^n$에 해당한다.

이 사이의 사상들은 다음과 같은 기초적 사상들의 합성이다.

• 각 $\sigma \in \{0,1\}$ 및 $i\in \{0,1,\dots ,n\}$에 대하여, ${\delta }_i^{\sigma }:{𝕀}^n\to {𝕀}^{n+1}$. 이는 초입방체의 $i$번째 축에 수직인 두 면 가운데 하나를 취하는 것이며, 어떤 면을 취하는 것인지는 $\sigma$에 의하여 결정된다. 즉, 이는 대략 다음과 같은 함수로 생각할 수 있다.

  $(t_0,t_1,\dots ,t_{n-1})\mapsto (t_0,t_1,\dots ,t_{i-1},\sigma ,t_i,t_{n-1})$

• 각 $i\in \{0,1,\dots ,n\}$에 대하여, ${ϵ}_i:{𝕀}^n\to {𝕀}^{n-1}$. 이는 $n$차원 초입방체를 두께가 0인 $n+1$차원 초입방체로 여기는 것이다. 즉, 이는 대략 다음과 같은 함수로 생각할 수 있다.

  $(t_0,t_1,\dots ,t_{n-1})\mapsto (t_0,t_1,\dots ,t_{i-1},t_{i+1},\dots ,t_{n-1})$

이는 다음을 만족시킨다.

${ϵ}_i\circ {\delta }_i^{\sigma }={\mathrm{id}}_{{𝕀}^n}(i\in \{0,1,\dots ,n\},\sigma \in \{0,1\})$

모든 사상들은 이와 같은 유한 개의 기초적 사상들의 합성이다. (특히, 0개의 기초적 사상의 합성은 항등 사상이다.)

추상적 정의

우선, 다음과 같은 범주 ${◻}_{\le 1}$를 생각하자.

• ${◻}_{\le 1}$의 대상은 $1$과 $𝕀$ 두 개이다.
• ${\mathrm{hom}}_{{◻}_{\le 1}}(1,𝕀)=\{{\iota }_0,{\iota }_1\}$이며, ${\mathrm{hom}}_{{◻}_{\le 1}}(𝕀,1)=\{\pi \}$이며, ${\mathrm{hom}}_{{◻}_{\le 1}}(𝕀,𝕀)=\{{\iota }_0\circ \pi ,\pi \circ {\iota }_1,{\mathrm{id}}_{𝕀}\}$이다.
• 사상의 합성은 다음과 같다.

  $\pi \circ {\iota }_0=\pi \circ {\iota }_1={\mathrm{id}}_1$

이 범주에서 끝 대상은 $1$이며, 시작 대상은 존재하지 않는다.

이제, ${◻}_{\le 1}$로 생성되며, $1$을 항등원으로 갖는 엄격한(틀:Llang) 모노이드 범주 $(◻,\times ,1)$를 입방체 범주 $◻$라고 한다. 즉, 그 대상들은 ${𝕀}^n=𝕀\times 𝕀\times \cdots \times 𝕀$이며, 그 사상들은 모노이드 범주의 정의 및 ${◻}_{\le 1}$으로 유도된다.

성질

기하학적 실현

단체 집합과 마찬가지로, 기하학적 실현 함자(틀:Llang)

$|-|:\mathrm{cSet}\to \mathrm{Top}$

및 특이 입방체 복합체 함자(틀:Llang)

$\mathrm{Sing}:\mathrm{Top}\to \mathrm{cSet}$

가 존재하며, 이들은 수반 함자를 이룬다.

$|-|⊣\mathrm{Sing}$

호몰로지

단체 집합의 단체 호몰로지와 마찬가지로, 입방체 집합 위에는 입방체 호몰로지(틀:Llang)를 정의할 수 있다. 이는 삼각 분할의 단체 호몰로지 및 기하학적 실현의 특이 호몰로지와 일치한다.

구체적으로, 아벨 범주 $𝒜$ 속의 입방체 대상 $X_{\bullet }:{◻}^{\mathrm{op}}\to 𝒜$가 주어졌을 때, 다음과 같은 사슬 복합체를 정의할 수 있다.

${\mathrm{C}}_n(X)=X_n$

${\partial }_n:{\mathrm{C}}_n(X)\to {\mathrm{C}}_{n-1}(X)$

${\partial }_n=\sum _{i=0}^n{(\stackrel{i}{\overbrace{{\mathrm{id}}_1\otimes \cdots \otimes {\mathrm{id}}_1}}\otimes {\iota }_0\otimes \stackrel{n-i-1}{\overbrace{{\mathrm{id}}_1\otimes \cdots \otimes {\mathrm{id}}_1\otimes }})}^{\mathrm{op}}-{(\stackrel{i}{\overbrace{{\mathrm{id}}_1\otimes \cdots \otimes {\mathrm{id}}_1}}\otimes {\iota }_1\otimes \stackrel{n-i-1}{\overbrace{{\mathrm{id}}_1\otimes \cdots \otimes {\mathrm{id}}_1\otimes }})}^{\mathrm{op}}$

(이 사슬 복합체는 단체 대상의 무어 사슬 복합체와 유사하다.)

그렇다면, 이 사슬 복합체의 호몰로지를 $X_{\bullet }$의 입방체 호몰로지라고 한다. 입방체 집합 $X_{\bullet }$의 입방체 호몰로지는 각 성분별 자유 아벨 군으로 정의되는 입방체 아벨 군

$\mathbb{Z}[X_{\bullet }]\in \mathrm{c}({\mathrm{Mod}}_{\mathbb{Z}})$

의 입방체 호몰로지이다.

삼각 분할

마찬가지로, $n$차원 입방체를 $n$차원 단체들로 분할하는 삼각 분할 함자(틀:Llang)

$\mathrm{Tri}:◻\to \mathrm{sSet}$

$\mathrm{Tri}:{𝕀}^n\to ({\mathrm{△}}^1{)}^{\times n}$

가 존재한다. (여기서 $\mathrm{sSet}$은 단체 집합의 범주이다.)

이로부터, 임의의 입방체 집합을 단체 집합에 대응시키는 삼각 분할 함자

$\mathrm{cSet}\to \mathrm{sSet}$

가 존재한다.

모형 범주 구조

입방체 집합의 범주 위에는 표준적인 모형 범주 구조가 존재하며, 이에 따라 그 호모토피 범주는 위상 공간의 (퀼런) 호모토피 범주 $\mathrm{hTop}$ 및 단체 집합의 호모토피 범주와 동치이다.

참고 문헌

• 틀:저널 인용

외부 링크

• 틀:Nlab
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