유계 변동 함수

틀:위키데이터 속성 추적 실해석학에서 유계 변동 함수(有界變動函數, 틀:Llang)는 특정한 위치에서 변화할 수 있는 범위가 제한된 함수이다.

정의

1차원 유계 변동 함수

닫힌구간 $[a,b]⊊ℝ$의 분할은 다음과 같은 수열이다.

$P=(p_0,p_1,p_2,\dots ,p_{|P|})(a=p_0\le p_1\le p_2\le \cdots \le p_{|P|}=b)$

닫힌구간 $[a,b]$의 모든 분할들의 집합을 $\mathrm{Part}([a,b])$라고 적자. 이는 다음과 같은 꼴이다.

$\mathrm{Part}([a,b])=\underset{N=1}{\overset{\mathrm{\infty }}{⨆}}{\mathrm{Part}}_N([a,b])\cong \underset{N=1}{\overset{\mathrm{\infty }}{⨆}}{\mathrm{△}}^{N-1}$

여기서 ${\mathrm{Part}}_N([a,b])$은 크기 $N$의 분할들의 공간이며, 이는 $N-1$차원 단체 ${\mathrm{△}}^{N-1}$와 동형이다.

임의의 함수

$f:[a,b]\to ℝ$

및 분할 $P\in \mathrm{Part}([a,b])$ 에 대하여, 변동

$\sum _{i=1}^{|P|}\Vert f(p_i)-f(p_{i-1})\Vert \in [0,\mathrm{\infty })$

을 정의할 수 있다. $f$의 전변동(全變動, 틀:Llang) $\Vert f{\Vert }_{\mathrm{BV}}$는 모든 변동들의 상한이다.틀:Rp

$\mathrm{V}(f)=\underset{P\in \mathrm{Part}([a,b])}{\sup }\sum _{i=1}^{|P|}\Vert f(p_i)-f(p_{i-1})\Vert \in [0,\mathrm{\infty }]$

임의의 함수 $f:[a,b]\to ℝ$에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치임을 보일 수 있다.

• $\mathrm{V}(f)<\mathrm{\infty }$
• $f=g-h$인 두 증가 함수 $g,h:[a,b]\to ℝ$, $a\le s\le t\le b⟹g(s)\le g(t),h(s)\le h(t)$가 존재한다.
• 연속 함수의 공간 ${𝒞}^0([a,b])$ 위에 유계 작용소 ${𝒞}^0([a,b])\to ℝ$, $g\mapsto \int g\mathrm{d}f$를 정의한다. (이 적분은 르베그-스틸티어스 적분이다.)

이 조건을 만족시키는 함수를 유계 변동 함수라고 한다.틀:Rp

유계 변동 함수들의 공간을 $\mathrm{BV}([a,b],ℝ)$로 표기하자. 그렇다면, $(\mathrm{BV}([a,b],ℝ),\Vert -{\Vert }_{{\mathrm{L}}^1}+\mathrm{V}(-))$는 노름 공간을 이룬다.

다차원 유계 변동 함수

유계 열린집합 $\mathrm{\Omega }\subseteq {ℝ}^n$이 주어졌다고 하자. 임의의 함수 $f\in {\mathrm{L}}^1(\mathrm{\Omega },ℝ)$의 전변동을 다음과 같이 정의하자.

$\mathrm{V}(f)=\underset{𝐠\in X}{\sup }\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f(x)\mathrm{\nabla }\cdot 𝐠(x)\mathrm{d}x$

여기서

$X=\mathrm{cl}({\mathrm{ball}}_{{\mathrm{L}}^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega },{ℝ}^n))}(0,1))\cap {𝒞}_{\text{comp}}^1(\mathrm{\Omega },{ℝ}^n)$

는 다음과 같은 조건을 만족시키는 함수 $𝐠:\mathrm{\Omega }\to {ℝ}^n$로 구성된 공간이다.

• 연속 미분 가능 함수이다 (${𝒞}^1$).
• 어떤 콤팩트 집합 $K\subseteq \mathrm{\Omega }$에 대하여, $\mathrm{\forall }x\in \mathrm{\Omega }\setminus K:𝐠(x)=\mathrm{𝟎}$이다.
• 노름이 1 이하이다. 즉, $\mathrm{\forall }x\in \mathrm{\Omega }:\Vert 𝐠(x)\Vert \le 1$이다. 여기서 $\mathrm{vol}(-)$은 유클리드 공간의 르베그 측도이다. (즉, $𝐠$의 ${\mathrm{L}}^{\mathrm{\infty }}$-노름이 1 이하이다.)

그렇다면, 전변동이 유한한 함수들의 공간을 $\mathrm{BV}(\mathrm{\Omega },ℝ)$라고 하자.

$\mathrm{BV}(\mathrm{\Omega },ℝ)=\{f\in {\mathrm{L}}^1(\mathrm{\Omega },ℝ):\Vert f{\Vert }_{\mathrm{BV}}<\mathrm{\infty }\}$

그렇다면, 그 위에

$\Vert f{\Vert }_{\mathrm{BV}}=\Vert f{\Vert }_{{\mathrm{L}}^1}+\mathrm{V}(f)$

를 정의하면, 이는 바나흐 공간을 이룬다.

성질

연산에 대한 닫힘

임의의 열린집합 $\mathrm{\Omega }\subseteq {ℝ}^n$에 대하여, 만약 $f,g\in \mathrm{BV}(\mathrm{\Omega },ℝ)$라면, 다음이 성립한다.

$f+g\in \mathrm{BV}(\mathrm{\Omega },ℝ)$

$fg\in \mathrm{BV}(\mathrm{\Omega },ℝ)$

$(|f|+a{)}^{-1}\in \mathrm{BV}(\mathrm{\Omega },ℝ)\mathrm{\forall }a>0$

포함 관계

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

${𝒞}_{\text{comp}}^1(\mathrm{\Omega },ℝ)\subseteq \mathrm{BV}(\mathrm{\Omega },ℝ)$

그러나

${𝒞}_{\text{comp}}^0(\mathrm{\Omega },ℝ)\subseteq ̸\mathrm{BV}(\mathrm{\Omega },ℝ)$

이다. 즉, 콤팩트 공간 위에서, 연속 미분 가능 함수는 유계 변동 함수이지만, 연속 함수는 유계 변동 함수가 아닐 수 있다.

전변동

만약 $f\in {𝒞}^2([a,b])$일 경우, 그 전변동은 다음과 같다.

$\mathrm{V}f=\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f^{\prime }(x)|\mathrm{d}x$

마찬가지로, 만약 어떤 열린집합 $\mathrm{\Omega }$에 대하여

• $\mathrm{cl}(\mathrm{\Omega })$가 콤팩트 집합이며,
• $\partial \mathrm{\Omega }$가 어떤 매끄러운 다양체의 ${𝒞}^1$ 매장이라면,

$f:\mathrm{cl}(\mathrm{\Omega })\to ℝ$의 경우 $f\upharpoonright \mathrm{\Omega }$는 유계 변동 함수이며,

$\mathrm{V}(f\upharpoonright \mathrm{\Omega })=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }|\mathrm{\nabla }f|$

이다.

특이점

유계 변동 함수 $f:[a,b]\to ℝ$는 두 증가 함수의 차이므로, $[a,b]$의 가산 개 점을 제외한 곳에서 f는 연속이며, [a, b]의 거의 어디서나 f의 도함수가 존재한다 (르베그 미분가능성 정리 참조). 또한 |f'|는 르베그 적분 가능하다.

분해 불가능성

$\mathrm{BV}([a,b],ℝ)$는 분해 가능 공간이 아니다.

증명:

임의의 $\alpha \in (a,b)$에 대하여, 지시 함수

$1_{[\alpha ,b]}\in \mathrm{BV}([a,b],ℝ)$

를 생각하자. 이 경우, 다음이 성립함을 알 수 있다.

$\Vert 1_{[\alpha ,b]}-1_{[\beta ,b]}{\Vert }_{\mathrm{BV}}=2+|\alpha -\beta |\mathrm{\forall }\alpha ,\beta \in [a,b],\alpha \ne \beta$

이제, 임의의 $\alpha \in (a,b)$에 대하여 열린 공들의 족

$\mathrm{ball}(1_{[\alpha ,b]},1)$

을 생각하자. 이들은 비가산 무한 개의 열린집합으로 구성된 서로소 집합족을 이루며, 따라서 $\mathrm{BV}([a,b],ℝ)$는 분해 가능 공간이 아니다.

예

다음과 같은 함수는 $[0,1]$에서 유계 함수이고 $(0,1]$에서 연속 함수지만, $[0,1]$에서 유계 변동 함수가 아니다.

$f(x)=\{\begin{array}{cc}0& x=0\\ \sin (1/x)& x\ne 0\end{array}$ $\mathrm{V}(f)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}|x^{-1}\cos x^{-1}|\mathrm{d}x=\mathrm{\infty }$

다음과 같은 함수는 $[0,1]$에서 유계 함수이고 $[0,1]$에서 연속 함수지만 $[0,1]$에서 유계 변동 함수가 아니다.

$f(x)=\{\begin{array}{cc}0& x=0\\ x\sin (1/x)& x\ne 0\end{array}$ $\mathrm{V}(f)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}|\sin x^{-1}-x^{-1}\cos x^{-1}|\mathrm{d}x=\mathrm{\infty }$

다음과 같은 함수는 $[0,1]$에서 유계 함수이고, 연속 함수이며, 유계 변동 함수이다.

$f(x)=\{\begin{array}{cc}0& x=0\\ x^2\sin (1/x)& x\ne 0\end{array}$ $\mathrm{V}(f)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}|2x\sin x^{-1}-\cos x^{-1}|\mathrm{d}x<\underset{0}{\overset{1}{\int }}(2x+1)\mathrm{d}x=2$

같이 보기

• 르베그 공간
• 라돈 측도
• 전변동
• 이차변동성
• 전변동 잡음제거
• 전변동 점감

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드