이차변동성

틀:위키데이터 속성 추적 이차변동성(quadratic variation)은 확률과정의 변동성을 나타내는 단위 중의 하나로, 확률과정 및 브라운 운동의 분석에 쓰인다.

정의

확률공간 $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$에 대해 정의된 실수의 값을 갖는 확률과정 $X_t$가 존재하며 첨수 $t$가 0 또는 양의 값을 갖는 첨수집합 $T$의 원소라고 가정할 경우, 다음과 같이 $X_t$의 이차변동성 과정 $[X_t]$를 정의할 수 있다.

$[X{]}_t=\underset{\Vert P\Vert \to 0}{\lim }\sum _{k=1}^n(X_{t_k}-X_{t_{k-1}}{)}^2$

여기서 $P$는 구간 $[0,t]$에 대한 분할(partition)이다. 만약 $P$의 노름이 감소함에 따라 $X_t$가 확률적으로 수렴할 경우 이 극한값을 구할 수 있다.

이차교차변동성

이차변동성의 개념을 좀 더 확장할 경우 다음과 같이 두 확률과정 $X_t,Y_t$의 이차교차변동성(quadratic cross-variance) 역시 구할 수 있다.

$[X,Y{]}_t=\underset{\Vert P\Vert \to 0}{\lim }\sum _{k=1}^n(X_{t_k}-X_{t_{k-1}})(Y_{t_k}-Y_{t_{k-1}})$

이차교차변동성은 다음과 같이 이차변동성을 이용해 나타낼 수도 있다.

$[X,Y{]}_t=\frac{1}{4}([X+Y{]}_t-[X-Y{]}_t).$

같이 보기

• 전변동
• 유계 변동 함수