외측도

틀:위키데이터 속성 추적 측도론에서 외측도(外測度, 틀:Llang)는 집합의 덮개를 통해 부피를 근사하는 함수이다.

정의

집합 $X$ 위의 (추상적) 외측도((抽象的)外測度, 틀:Llang)는 다음 세 조건을 만족시키는 함수

${\mu }^{*}:𝒫(X)\to [0,\mathrm{\infty }]$

이다.

• ${\mu }^{*}(\varnothing )=0$
• 임의의 $S\subseteq T\subseteq X$에 대하여, ${\mu }^{*}(S)\le {\mu }^{*}(T)$
• (가산 준가법성) 임의의 가산 집합 $𝒮\subseteq 𝒫(X)$ ($|𝒮|\le {\mathrm{\aleph }}_0$)에 대하여, ${\mu }^{*}(\bigcup 𝒮)\le \sum {\mu }^{*}(𝒮)$

집합 $X$ 위의 외측도 ${\mu }^{*}$에 대한 카라테오도리 가측 집합(Καραθεοδωρή可測集合, 틀:Llang)은 다음 조건을 만족시키는 집합 $S\subseteq X$이다.

• 임의의 $T\subseteq X$에 대하여, ${\mu }^{*}(T)={\mu }^{*}(S\cap T)+{\mu }^{*}(T\setminus S)$

카라테오도리 가측 집합의 집합은 $ℳ({\mu }^{*})$로 표기한다.

성질

집합 $X$ 위의 외측도 ${\mu }^{*}$에 대하여, $ℳ({\mu }^{*})$는 $𝒫(X)$의 부분 시그마 대수를 이루며, ${\mu }^{*}{|}_{ℳ({\mu }^{*})}$는 $(X,ℳ({\mu }^{*}))$ 위의 측도를 이루며, 또한 완비 측도를 이룬다. 즉, $(X,ℳ({\mu }^{*}),{\mu }^{*}{|}_{ℳ({\mu }^{*})})$는 완비 측도 공간이다.

거리 외측도

거리 공간 $(X,d_X)$ 속 두 집합 $S,T\subseteq X$ 사이의 거리는 다음과 같다.

$d_X(S,T)=\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{s\in S}{t\in T}}{\inf }{d}_X(s,t)$

거리 공간 $(X,d_X)$ 위의 외측도 ${\mu }^{*}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 ${\mu }^{*}$를 거리 외측도(距離外測度, 틀:Llang)라고 한다.

• 임의의 $S,T\subseteq X$에 대하여, 만약 $d_X(S,T)>0$이라면, ${\mu }^{*}(S\cup T)={\mu }^{*}(S)+{\mu }^{*}(T)$
• $ℬ(X)\subseteq ℳ({\mu }^{*})$. 즉, 모든 보렐 집합은 ${\mu }^{*}$-카라테오도리 가측 집합이다. (이에 따라 $(X,ℬ(X),{\mu }^{*}{|}_{ℬ(X)})$는 측도 공간을 이루지만, 이는 완비 측도 공간일 필요가 없다.)틀:Rp
• 모든 열린집합은 ${\mu }^{*}$-카라테오도리 가측 집합이다.

거리 공간 $(X,d_X)$ 위의 거리 외측도 ${\mu }^{*}$가 주어졌을 때, 모든 상반연속 함수와 하반연속 함수 $(X,ℳ({\mu }^{*}))\to (ℝ,ℬ(ℝ))$는 가측 함수이다.틀:Rp

카라테오도리 확장 정리

틀:본문 집합 $X$ 속의 집합 반환은 다음 세 조건을 만족시키는 집합족 $𝒮\subseteq 𝒫(X)$이다.

• $\varnothing \in 𝒮$
• (이항 교집합에 대한 닫힘) 임의의 $S,T\in 𝒮$에 대하여, $S\cap T\in 𝒮$
• 임의의 $S,T\in 𝒮$에 대하여, $S\setminus T=\bigcup ℱ$인 유한 개의 서로소 집합들의 족 $ℱ\subseteq 𝒮$ ($|ℱ|<{\mathrm{\aleph }}_0$)이 존재한다.

집합 $X$ 속의 집합 반환 $𝒮$ 위에 정의된, 음이 아닌 확장된 실수 값의 함수

$\mu :𝒮\to [0,\mathrm{\infty }]$

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $\mu$를 $𝒮$ 위의 준측도(準測度, 틀:Llang)라고 한다.틀:Rp틀:Rp

• (가산 가법성) 임의의 가산 서로소 집합 $𝒯\subseteq 𝒮$ ($|𝒯|\le {\mathrm{\aleph }}_0$)에 대하여, 만약 $\bigcup 𝒯\in 𝒮$이라면, $\mu (\bigcup 𝒯)=\sum \mu (𝒯)$. (특히, $𝒯=\varnothing$을 생각하면 $\mu (\varnothing )=0$을 얻는다.)
• 다음 두 조건을 만족시킨다.
  • (유한 가법성) 임의의 유한 서로소 집합 $𝒯\subseteq 𝒮$ ($|𝒯|<{\mathrm{\aleph }}_0$)에 대하여, 만약 $\bigcup 𝒯\in 𝒮$이라면, $\mu (\bigcup 𝒯)=\sum \mu (𝒯)$. (특히, $𝒯=\varnothing$을 생각하면 $\mu (\varnothing )=0$을 얻는다.)
  • (가산 준가법성) 임의의 가산 집합 $𝒯\subseteq 𝒮$ ($|𝒯|\le {\mathrm{\aleph }}_0$)에 대하여, 만약 $\bigcup 𝒯\in 𝒮$이라면, $\mu (\bigcup 𝒯)\le \sum \mu (𝒯)$

집합 $X$ 속의 집합족 $𝒮\subseteq 𝒫(X)$에 대하여, $\sigma (𝒮)$가 $𝒮$로 생성된 최소의 시그마 대수라고 하자.

다음이 주어졌다고 하자.

• 집합 $X$
• 집합 반환 $𝒮\subseteq 𝒫(X)$
• 준측도 $\mu :𝒮\to [0,\mathrm{\infty }]$

이제, 다음과 같은 함수를 정의하자.

${\mu }^{*}:𝒫(X)\to [0,\mathrm{\infty }]$

${\mu }^{*}:A\mapsto \inf \{\sum \mu (𝒯):𝒯\subseteq 𝒮,|𝒯|\le {\mathrm{\aleph }}_0,A\subseteq \bigcup 𝒯\}$

카라테오도리 확장 정리에 따르면, 다음 조건들이 성립한다.

• ${\mu }^{*}$는 $X$ 위의 외측도이다.
• $\sigma (𝒮)\subseteq ℳ({\mu }^{*})$
• ${\mu }^{*}{|}_{𝒮}=\mu$
• 만약 $X=\bigcup 𝒯$이며 $\mathrm{\infty }\in ̸\mu (𝒯)$인 가산 집합 $𝒯\subseteq 𝒮$ ($|𝒯|\le {\mathrm{\aleph }}_0$)이 존재한다면, ${\mu }^{*}{|}_{\sigma (𝒮)}$는 $({\mu }^{*}{|}_{\sigma (𝒮)}){|}_{𝒮}=\mu$를 만족시키는 유일한 $\sigma (𝒮)$ 위의 측도이다.

그러나 $\sigma (𝒮)$보다 큰 시그마 대수 위에서 $\mu$의 확장은 일반적으로 유일하지 않다.

예

1차원 르베그-스틸티어스 외측도

틀:본문 실수선 $ℝ$ 위에서, 구간들의 족

${𝒮}_1=\{(a,b]{\}}_{-\mathrm{\infty }\le a\le b<\mathrm{\infty }}\cup \{(a,\mathrm{\infty }){\}}_{-\mathrm{\infty }\le a<\mathrm{\infty }}\subseteq 𝒫(ℝ)$

은 집합 반환을 이루며, $ℝ\in 𝒮$이다. 또한, $\sigma (𝒮)=ℬ(ℝ)$이다.

임의의 증가 함수 $F:ℝ\to ℝ$에 대하여, 다음과 같은 함수를 정의하자.

${\mu }_F:{𝒮}_1\to [0,\mathrm{\infty }]$

${\mu }_F:(a,b]\mapsto F(b^{+})-F(a^{+})$

${\mu }_F:(a,\mathrm{\infty })\mapsto F(\mathrm{\infty })-F(a^{+})$

그렇다면, ${\mu }_F$는 ${𝒮}_1$ 위의 준측도를 이룬다.틀:Rp 이 경우 $(ℝ,ℳ({\mu }_F^{*}),{\mu }_F^{*}{|}_{ℳ({\mu }_F^{*})})$ (또는 $(ℝ,ℬ(ℝ),{\mu }_F^{*}{|}_{ℬ(ℝ)})$)를 르베그-스틸티어스 측도 공간이라고 한다. 틀:증명 자명하게 ${\mu }_F$는 ${\mu }_F(\varnothing )=0$과 유한 가법성을 만족시킨다. 따라서 가산 준가법성을 보이면 된다. 임의의 가산 집합 $𝒮\subseteq {\mathrm{\Sigma }}_0$ ($|𝒮|\le {\mathrm{\aleph }}_0$) 이 주어졌고, $\bigcup 𝒮\in {\mathrm{\Sigma }}_0$이라고 하자. 편의상 $𝒮$의 모든 원소가 유계 구간이며,

$\bigcup 𝒮=(\tilde{a},\mathrm{\infty })$

$\tilde{a}\in ℝ$

$F(\mathrm{\infty })<\mathrm{\infty }$

라고 가정하자. (다른 경우의 증명은 유사하므로 생략할 수 있다.) 임의의 $[a,b]\subseteq (\tilde{a},\mathrm{\infty })$ 및 $ϵ>0$에 대하여,

$\sum _{(c,d]\in 𝒮}{ϵ}_{(c,d]}=ϵ$

인 ${ϵ}_{(c,d]}>0$을 취하자. 그렇다면 $x\mapsto F(x^{+})$가 우연속 함수임에 따라

$F({e_{(c,d]}}^{+})<F(d^{+})+{ϵ}_{(c,d]}\mathrm{\forall }(c,d]\in 𝒮$

인 $e_{(c,d]}>d$가 존재한다. $\{(c,e_{(c,d]}){\}}_{(c,d]\in 𝒮}$는 $[a,b]$의 열린 덮개를 이루며, 하이네-보렐 정리에 의하여 이는 유한 부분 덮개

$\{(c,e_{(c,d]}){\}}_{(c,d]\in ℱ}$

$ℱ\subseteq 𝒮$

$|ℱ|<{\mathrm{\aleph }}_0$

를 갖는다. 따라서

$\begin{array}{cc}{\mu }_F((a,b])& =F(b^{+})-F(a^{+})\\ & \le \sum _{(c,d]\in ℱ}(F({e_{(c,d]}}^{+})-F(c^{+}))\\ & \le \sum _{(c,d]\in 𝒮}(F({e_{(c,d]}}^{+})-F(c^{+}))\\ & \le \sum _{(c,d]\in 𝒮}(F(d^{+})-F(c^{+}))+ϵ\\ & =\sum _{(c,d]\in 𝒮}{\mu }_F((c,d])+ϵ\end{array}$

이다. 여기서 첫 번째 부등호는

$\sup \{e_{(c_n,d_n]}:n\in {\mathbb{Z}}^{+},(c_1,d_1],\dots ,(c_n,d_n]\in ℱ,a\in (c_1,e_{(c_1,d_1]}),e_{(c_i,d_i]}\in (c_{i+1},e_{(c_{i+1},d_{i+1}]})\mathrm{\forall }i\in \{1,\dots ,n-1\}\}>b$

때문이다. 여기에 $ϵ\to 0$을 취하면

${\mu }_F((a,b])\le \sum _{(c,d]\in 𝒮}{\mu }_F((c,d])$

를 얻으며, 다시 $a\to \tilde{a}$ 및 $b\to \mathrm{\infty }$를 취하면 $x\mapsto F(x^{+})$의 우연속성에 따라

${\mu }_F((\tilde{a},\mathrm{\infty }))\le \sum _{(c,d]\in 𝒮}{\mu }_F((c,d])$

를 얻는다. 틀:증명 끝

n차원 르베그-스틸티어스 외측도

틀:본문 임의의 $a_1,b_1\in ℝ$에 대하여, 선형 연산자

${\mathrm{\Delta }}_{n,a_1,b_1}:{ℝ}^{{ℝ}^n}\to {ℝ}^{{ℝ}^{n-1}}$

${\mathrm{\Delta }}_{n,a_1,b_1}:F\mapsto F(b_1,\cdot )-F(a_1,\cdot )$

를 정의하자.

또한, 임의의 $a,b\in {ℝ}^n$에 대하여,

${\mathrm{\Delta }}_{a,b}={\mathrm{\Delta }}_{1,a_n,b_n}\circ {\mathrm{\Delta }}_{2,a_{n-1},b_{n-1}}\circ \cdots \circ {\mathrm{\Delta }}_{n,a_1,b_1}:{ℝ}^{{ℝ}^n}\to ℝ$

라고 하자.

함수

$F:{ℝ}^n\to ℝ$

${\mathrm{\Delta }}_{a,b}F\ge 0(a_i\le b_i)$

가 주어졌을 때, 집합 반환

${𝒮}_n=\{\prod _{i=1}^n{S}_i:S_i\in {𝒮}_1\}$

${ℝ}^n\in {𝒮}_n$

$\sigma ({𝒮}_n)=ℬ({ℝ}^n)$

위에 준측도

${\mu }_F:\prod _{i=1}^n(a_i,b_i]\mapsto \underset{{\delta }_i,{ϵ}_i\to 0^{+}}{\lim }{\mathrm{\Delta }}_{a+\delta ,b+ϵ}F$

를 유도할 수 있으며, 카라테오도리 확장 정리에 따라 르베그-스틸티어스 측도 공간 $({ℝ}^n,ℳ({\mu }_F^{*}),{\mu }_F^{*}{|}_{ℳ({\mu }_F^{*})})$을 구성할 수 있다.

르베그 외측도

틀:본문 함수

$F:ℝ\to ℝ$

$F:x\mapsto x$

또는

$F:{ℝ}^n\to ℝ$

$F:x\mapsto x_1{x}_2\cdots x_n$

에 대한 르베그-스틸티어스 외측도를 르베그 외측도라고 하며, 이에 대응하는 측도를 르베그 측도라고 한다.

하우스도르프 외측도

틀:본문 하우스도르프 외측도는 거리 외측도이다.틀:Rp

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드