카라테오도리 확장 정리

틀:위키데이터 속성 추적 측도론에서 카라테오도리 확장 정리(Carathéodory擴張定理, 틀:Llang) 또는 한-콜모고로프 정리(Hahn-Колмого́ров定理, 틀:Llang)는 완비 측도를 특수한 부분 집합의 측도 값들로부터 구성하는 정리이다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 집합 $X$
• 집합 반환(集合半環, 틀:Llang) ${\mathrm{\Sigma }}_0\subseteq 𝒫(X)$. 즉, 이는 다음 세 조건을 만족시키는 집합족이다.
  • $\varnothing \in {\mathrm{\Sigma }}_0$
  • (유한 교집합에 대한 닫힘) 임의의 $A,B\in {\mathrm{\Sigma }}_0$에 대하여, $A\cap B\in {\mathrm{\Sigma }}_0$
  • 임의의 $A,B\in {\mathrm{\Sigma }}_0$에 대하여, $A\setminus B={\bigcup }_{i=1}^n{C}_i$인 유한 개의 서로소 집합 $C_1,\dots ,C_n\in {\mathrm{\Sigma }}_0$이 존재한다.
• 준측도(準測度, 틀:Llang) ${\mu }_0:{\mathrm{\Sigma }}_0\to [0,\mathrm{\infty }]$. 즉, 이는 다음 두 조건을 만족시키는 함수이다.
  • ${\mu }_0(\varnothing )=0$
  • (준측도 가산 가법성) 임의의 가산 개의 서로소 집합 $A_1,A_2,\dots \in {\mathrm{\Sigma }}_0$에 대하여, 만약 ${\bigcup }_{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i\in {\mathrm{\Sigma }}_0$이라면, ${\mu }_0\left({\bigcup }_{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i\right)={\sum }_{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\mu }_0(A_i)$
    • (단조성) 특히, 만약 $A,B\in {\mathrm{\Sigma }}_0$이며 $A\subseteq B$라면, ${\mu }_0(A)\le {\mu }_0(B)$이다. (아래 증명 참고)
    • (준측도 가산 준가법성) 특히, 만약 $A_1,A_2,\dots \in {\mathrm{\Sigma }}_0$이며 ${\bigcup }_{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i\in {\mathrm{\Sigma }}_0$이라면, ${\mu }_0\left({\bigcup }_{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i\right)\le {\sum }_{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\mu }_0(A_i)$이다. (아래 증명 참고)

또한,

${\mu }^{*}:𝒫(X)\to [0,\mathrm{\infty }]$

${\mu }^{*}:A\mapsto \inf \{\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{\mu }_0(A_i):A\subseteq \bigcup _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{A}_i,A_i\in {\mathrm{\Sigma }}_0\}(A\subseteq X)$

가 ${\mu }_0$으로 유도된 외측도라고 하고,

$\mathrm{\Sigma }=\{A\subseteq X:\mathrm{\forall }S\subseteq X:{\mu }^{*}(S)={\mu }^{*}(S\cap A)+{\mu }^{*}(S\setminus A)\}$

가 ${\mu }^{*}$-카라테오도리 가측 집합의 집합이라고 하자. 카라테오도리 확장 정리에 따르면, 다음이 성립한다.

• $\mathrm{\Sigma }$는 $𝒫(X)$의 부분 시그마 대수를 이룬다.
• $\mu ={\mu }^{*}{|}_{\mathrm{\Sigma }}$는 완비 측도를 이룬다.
• ${\mathrm{\Sigma }}_0\subseteq \mathrm{\Sigma }$ (따라서 $\sigma ({\mathrm{\Sigma }}_0)\subseteq \mathrm{\Sigma }$)
• $\mu {|}_{{\mathrm{\Sigma }}_0}={\mu }_0$
• 만약 ${\mu }_0$이 시그마 유한 준측도라면 (즉, $X={\bigcup }_{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i$이며 $\mathrm{\forall }i\in {\mathbb{Z}}^{+}:{\mu }_0(A_i)<\mathrm{\infty }$인 $A_1,A_2,\dots \in {\mathrm{\Sigma }}_0$이 존재한다면), $\mu {|}_{\sigma ({\mathrm{\Sigma }}_0)}$은 ${\mu }_0$을 확장하여 얻을 수 있는 $\sigma ({\mathrm{\Sigma }}_0)$ 위의 유일한 측도이다.

여기서 $\sigma ({\mathrm{\Sigma }}_0)$은 ${\mathrm{\Sigma }}_0$을 포함하는 최소의 시그마 대수이다.

증명

우선, ${\mu }^{*}$는 추상적 외측도라는 것을 증명하자. 우선 자명하게 ${\mu }^{*}(\varnothing )=0$이며, 또한 만약 $A\subseteq B\subseteq X$라면 ${\mu }^{*}(A)\le {\mu }^{*}(B)$이다. 따라서 ${\mu }^{*}$가 가산 준가법성을 만족시킨다는 것을 보이면 된다. 임의의 가산 개의 부분 집합 $A_1,A_2,\dots \subseteq X$가 주어졌다고 하자. 그렇다면 임의의 양의 실수 $ϵ>0$ 및 $i\in {\mathbb{Z}}^{+}$에 대하여,

$\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{\mu }_0(A_{ij})\le {\mu }^{*}(A_i)+\frac{ϵ}{2^i}$

이며 $A_i\subseteq {\bigcup }_{j=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_{ij}$인 $A_{i1},A_{i2},\dots \in {\mathrm{\Sigma }}_0$이 존재한다. 그렇다면 ${\bigcup }_{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i\subseteq {\bigcup }_{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\bigcup }_{j=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_{ij}$이므로,

${\mu }^{*}\left(\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i\right)\le \sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{\mu }_0(A_{ij})\le \sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\mu }^{*}(A_i)+ϵ$

이다.

${\mu }^{*}$-카라테오도리 가측 집합의 집합 $\mathrm{\Sigma }$가 $𝒫(X)$의 부분 시그마 대수라는 사실과 $\mu ={\mu }^{*}{|}_{\mathrm{\Sigma }}$는 그 위의 완비 측도라는 사실은 ${\mu }^{*}$가 (추상적) 외측도라는 세 가지 조건만을 사용하여 증명된다. 우선, $\mathrm{\Sigma }$가 $𝒫(X)$의 부분 불 대수임을 보이자. 우선 자명하게 $\varnothing \in \mathrm{\Sigma }$이며, 임의의 $A\in \mathrm{\Sigma }$에 대하여 $X\setminus A\in \mathrm{\Sigma }$이다. 따라서 $\mathrm{\Sigma }$가 유한 합집합에 대하여 닫혀 있음을 보이면 된다. 임의의 $A,B\in \mathrm{\Sigma }$ 및 $S\subseteq X$에 대하여,

$\begin{array}{cc}{\mu }^{*}(S)& ={\mu }^{*}(S\cap A)+{\mu }^{*}(S\setminus A)\\ & ={\mu }^{*}((S\cap A)\cap B)+{\mu }^{*}((S\cap A)\setminus B)+{\mu }^{*}((S\setminus A)\cap B)+{\mu }^{*}((S\setminus A)\setminus B))\\ & ={\mu }^{*}(S\cap (A\cap B))+{\mu }^{*}(S\cap (A\setminus B))+{\mu }^{*}(S\cap (B\setminus A))+{\mu }^{*}(S\setminus (A\cup B))\\ & \ge {\mu }^{*}(S\cap (A\cup B))+{\mu }^{*}(S\setminus (A\cup B))\\ & \ge {\mu }^{*}(S)\end{array}$

이므로, $A\cup B\in \mathrm{\Sigma }$이다. 여기서 첫째, 둘째 줄의 등호는 각각 $A,B\in \mathrm{\Sigma }$ 때문이며, 마지막 두 줄의 부등호는 ${\mu }^{*}$의 가산 준가법성 때문이다.

이제, $\mathrm{\Sigma }$가 $𝒫(X)$의 부분 시그마 대수임을 보이자. 이는 $\mathrm{\Sigma }$가 서로소 집합의 가산 합집합에 대하여 닫혀 있음을 보이면 된다. 임의의 가산 개의 서로소 집합 $A_1,A_2,\dots ,\in \mathrm{\Sigma }$ 및 임의의 부분 집합 $S\subseteq X$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$에 대하여,

$\begin{array}{cc}{\mu }^{*}(S)& ={\mu }^{*}(S\cap \bigcup _{i=1}^n{A}_i)+{\mu }^{*}(S\setminus \bigcup _{i=1}^n{A}_i)\\ & \ge {\mu }^{*}(S\cap \bigcup _{i=1}^n{A}_i)+{\mu }^{*}(S\setminus \bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i)\\ & ={\mu }^{*}(S\cap A_n)+{\mu }^{*}(S\cap \bigcup _{i=1}^{n-1}{A}_i)+{\mu }^{*}(S\setminus \bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i)\\ & ={\mu }^{*}(S\cap A_n)+{\mu }^{*}(S\cap A_{n-1})+{\mu }^{*}(S\cap \bigcup _{i=1}^{n-2}{A}_i)+{\mu }^{*}(S\setminus \bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i)\\ & ⋮\\ & =\sum _{i=1}^n{\mu }^{*}(S\cap A_i)+{\mu }^{*}(S\setminus \bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i)\end{array}$

이다. 여기서 첫째, 셋째 줄의 등호는 각각 ${\bigcup }_{i=1}^n{A}_i,A_n\in \mathrm{\Sigma }$ 때문이며, 둘째 줄의 등호는 ${\mu }^{*}$의 단조성 때문이다. 이에 $n$에 대한 극한을 취하면

$\begin{array}{cc}{\mu }^{*}(S)& \ge \sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\mu }^{*}(S\cap A_i)+{\mu }^{*}(S\setminus \bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i)\\ & \ge {\mu }^{*}(S\cap \bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i)+{\mu }^{*}(S\setminus \bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i)\\ & \ge {\mu }^{*}(S)\end{array}$

를 얻는다. 여기서 둘째, 셋째 부등식은 ${\mu }^{*}$의 가산 준가법성 때문이다.

이제, $\mu ={\mu }^{*}{|}_{\mathrm{\Sigma }}$가 $\mathrm{\Sigma }$ 위의 완비 측도를 이룸을 보이자. 위 증명에서 $S={\bigcup }_{j=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_j$를 취하면

$\begin{array}{cc}{\mu }^{*}\left(\bigcup _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_j\right)& =\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\mu }^{*}(\bigcup _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_j\cap A_i)+{\mu }^{*}(\bigcup _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_j\setminus \bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i)\\ & =\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\mu }^{*}(A_i)+{\mu }^{*}(\varnothing )\\ & =\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\mu }^{*}(A_i)\end{array}$

를 얻으며, 이에 따라 $\mu$는 $\mathrm{\Sigma }$ 위의 측도를 이룬다. 따라서 임의의 외측도가 0인 집합의 부분 집합이 ${\mu }^{*}$-카라테오도리 가측 집합임을 보이면 된다. 이제 $A\subseteq X$가 ${\mu }^{*}(A)=0$을 만족시키며, 또한 $B\subseteq A$라고 하자. 그렇다면,

$\begin{array}{cc}{\mu }^{*}(S)& \le {\mu }^{*}(S\cap B)+{\mu }^{*}(S\setminus B)\\ & ={\mu }^{*}(S\setminus B)\\ & \le {\mu }^{*}(S)\end{array}$

이다. 첫째 줄의 부등호는 ${\mu }^{*}$의 가산 준가법성, 둘째 줄의 등호는 $S\cap B\subseteq A$ 및 ${\mu }^{*}$의 단조성, 셋째 줄의 부등호는 $S\setminus B\subseteq S$ 및 ${\mu }^{*}$의 단조성 때문이다.

이제, ${\mathrm{\Sigma }}_0\subseteq \mathrm{\Sigma }$를 증명하자. 임의의 $A\in {\mathrm{\Sigma }}_0$ 및 $S\subseteq X$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 양의 실수 $ϵ>0$에 대하여,

$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\mu }_0(A_i)\le {\mu }^{*}(S)+ϵ$

이며 $S\subseteq {\bigcup }_{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i$인 $A_1,A_2,\dots \in {\mathrm{\Sigma }}_0$이 존재한다. 각 $i\in {\mathbb{Z}}^{+}$에 대하여, $A_i\setminus A={\bigcup }_{j=1}^{n_i}{B}_{ij}$인 서로소 집합 $B_{i1},\dots ,B_{i{n}_i}\in {\mathrm{\Sigma }}_0$을 취하자. 그렇다면,

$S\cap A\subseteq \bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}(A_i\cap A)$

$S\setminus A\subseteq \bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}(A_i\setminus A)=\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\bigcup _{j=1}^{n_i}{B}_{ij}$

이므로,

$\begin{array}{cc}{\mu }^{*}(S)& \le {\mu }^{*}(S\cap A)+{\mu }^{*}(S\setminus A)\\ & \le \sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\mu }_0(A_i\cap A)+\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{j=1}^{n_i}{\mu }_0(B_{ij})\\ & =\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\mu }_0(A_i)\\ & \le {\mu }^{*}(S)+ϵ\end{array}$

이다. 여기서 첫째 줄의 부등호는 ${\mu }^{*}$의 가산 준가법성, 셋째 줄의 등호는 준측도 ${\mu }_0$의 가산 가법성 때문이다.

이제, ${\mu }_0$의 단조성을 증명하자. $A,B\in {\mathrm{\Sigma }}_0$이며 $A\subseteq B$라고 하자. 그렇다면 $B\setminus A={\bigcup }_{i=1}^n{C}_i$인 서로소 집합 $C_1,\dots ,C_n\in {\mathrm{\Sigma }}_0$을 고를 수 있다. 그렇다면

${\mu }_0(B)={\mu }_0(A)+\sum _{i=1}^n{\mu }_0(C_i)\ge \mu (A)$

이다.

이제, 준측도 ${\mu }_0$의 가산 준가법성을 증명하자. $A_1,A_2,\dots \in {\mathrm{\Sigma }}_0$이며 ${\bigcup }_{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i\in {\mathrm{\Sigma }}_0$이라고 하자. 그렇다면 각 $i\in {\mathbb{Z}}^{+}$에 대하여,

$B_i=A_i\setminus \bigcup _{j=1}^{i-1}{A}_j=\bigcup _{j=1}^{n_i}{B}_{ij}$

인 서로소 집합 $B_{i1},\dots ,B_{i{n}_i}\in {\mathrm{\Sigma }}_0$을 고를 수 있다. 그렇다면 각 $i\in {\mathbb{Z}}^{+}$에 대하여

$C_i=A_i\cap \bigcup _{j=1}^{i-1}{A}_j=A_i\cap \bigcup _{k=1}^{i-1}{B}_k=\bigcup _{k=1}^{i-1}\bigcup _{j=1}^{n_j}(A_i\cap B_{kj})$

이므로,

$\begin{array}{cc}\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\mu }_0(A_i)& =\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\mu }_0(B_i\cup C_i)\\ & =\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}(\sum _{j=1}^{n_i}{\mu }_0(B_{ij})+\sum _{k=1}^{i-1}\sum _{j=1}^{n_k}{\mu }_0(A_i\cap B_{kj}))\\ & \ge \sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{j=1}^{n_i}{\mu }_0(B_{ij})\\ & ={\mu }_0\left(\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i\right)\end{array}$

이다. 여기서 둘째, 넷째 줄의 등호는 준측도 ${\mu }_0$의 가산 가법성 때문이다.

이제, $\mu {|}_{{\mathrm{\Sigma }}_0}={\mu }_0$를 증명하자. 임의의 $A\in {\mathrm{\Sigma }}_0$이 주어졌다고 하자. 그렇다면 임의의 양의 실수 $ϵ>0$에 대하여,

$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\mu }_0(A_i)<{\mu }^{*}(A)+ϵ$

이며 $A\subseteq {\bigcup }_{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i$인 $A_1,A_2,\dots \in {\mathrm{\Sigma }}_0$이 존재한다. 그렇다면

$\begin{array}{cc}{\mu }^{*}(A)& \le {\mu }_0(A)\\ & ={\mu }_0(\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}(A\cap A_i))\\ & \le \sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\mu }_0(A\cap A_i)\\ & \le \sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\mu }_0(A_i)\\ & <{\mu }^{*}(A)+ϵ\end{array}$

이다. 여기서 첫째 줄의 부등호는 ${\mu }^{*}$의 정의, 셋째, 넷째 줄의 부등호는 각각 준측도 ${\mu }_0$의 가산 준가법성, 단조성 때문이다.

마지막으로, 확장된 측도의 $\sigma ({\mathrm{\Sigma }}_0)$에서의 유일성을 증명하자. 임의의 두 측도 ${\mu }_1,{\mu }_2:\mathrm{\Sigma }\to [0,\mathrm{\infty }]$에 대하여, 만약 ${\mu }_1{|}_{{\mathrm{\Sigma }}_0}={\mu }_2{|}_{{\mathrm{\Sigma }}_0}$이며, 준측도 ${\mu }_1{|}_{{\mathrm{\Sigma }}_0}$이 시그마 유한 준측도라면, ${\mu }_1{|}_{\sigma ({\mathrm{\Sigma }}_0)}={\mu }_2{|}_{\sigma ({\mathrm{\Sigma }}_0)}$임을 보이면 된다. 이에 대한 증명에는 ${\mathrm{\Sigma }}_0$가 π계(즉, 유한 교집합에 대한 닫힘)라는 것을 제외한 ${\mathrm{\Sigma }}_0$에 대한 추가 조건은 사용되지 않는다.

$𝒜=\{A\in \mathrm{\Sigma }:\mathrm{\forall }B\in {\mathrm{\Sigma }}_0\setminus {\mu }_1^{-1}(\mathrm{\infty }):{\mu }_1(A\cap B)={\mu }_2(A\cap B)\}$

라고 하자. 그렇다면, $𝒜$는 λ계이며 ${\mathrm{\Sigma }}_0\subseteq 𝒜$이므로, π-λ 정리에 따라 $\sigma ({\mathrm{\Sigma }}_0)\subseteq 𝒜$이다. $X={\bigcup }_{i=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_i$이며 $\mathrm{\forall }i\in {\mathbb{Z}}^{+}:{\mu }_1(B_i)<\mathrm{\infty }$인 $B_1,B_2,\dots \in {\mathrm{\Sigma }}_0$을 취하자. 그렇다면, 임의의 $A\in \sigma ({\mathrm{\Sigma }}_0)$에 대하여,

$\begin{array}{cc}{\mu }_1(A)& ={\mu }_1(\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}(A\cap B_i))\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\mu }_1(\bigcup _{i=1}^n(A\cap B_i))\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{k=1}^n(-1{)}^{k-1}\sum _{1\le i_1<\cdots <i_k\le n}{\mu }_1(A\cap B_{i_1}\cap \cdots \cap B_{i_k})\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{k=1}^n(-1{)}^{k-1}\sum _{1\le i_1<\cdots <i_k\le n}{\mu }_2(A\cap B_{i_1}\cap \cdots \cap B_{i_k})\\ & ={\mu }_2(A)\end{array}$

이다. 여기서 셋째 줄의 등호는 포함배제의 원리 때문이며, 넷째 줄의 등호는 각 $1\le i_1<\cdots <i_k\le n$에 대하여 $B_{i_1}\cap \cdots \cap B_{i_k}\in {\mathrm{\Sigma }}_0\setminus {\mu }_1^{-1}(\mathrm{\infty })$이기 때문이다.

역사

오늘날 카라테오도리 가측 집합이라고 불리는 개념은 콘스탄티노스 카라테오도리가 도입하였다. 오늘날 카라테오도리 확장 정리라고 불리는 정리는 모리스 르네 프레셰가 증명하였다. 얼마 지나지 않아 카라테오도리의 방법을 통한 카라테오도리 확장 정리의 더 간단한 증명이 발견되었으며, 이는 안드레이 콜모고로프, 한스 한, 에베르하르트 호프의 논문·저서에 소개되었다.

같이 보기

• 외측도

참고 문헌

• 틀:서적 인용
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• 틀:서적 인용
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외부 링크

• 틀:매스월드
• 틀:플래닛매스
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