고유값 분해

틀:위키데이터 속성 추적 고유값 분해(eigen decomposition)는 고유값과 고유벡터로부터 유도되는 고유값 행렬과 고유벡터 행렬에 의해 분해될수있는 행렬의 표현이다.

선형대수학에서 , 고유값 분해 또는 고유 분해(때때로 스펙트럼 분해)는 매트릭스(행렬)를 정형화된 형태로 분해함으로써 행렬이 고유값 및 고유 벡터로 표현된다. 대각화 가능 행렬만이 인수분해될 수 있다.

분해

$A=\left(\begin{array}{cc}-5& 4\\ 0& 1\end{array}\right)$ , I는 단위행렬, det는 행렬식

$\begin{array}{cc}\det (xI-A)& =\left(\begin{array}{cc}x-(-5)& -4\\ -0& x-(1)\end{array}\right)\\ & =x^2-(-5+1)x+(-5-0)\\ & =x^2+4x-5\end{array}$

$x^2+4x-5=0$

$x=1,-5$

이어서

$x=-5$일때,

$\left(\begin{array}{cc}(-5)-(-5)& -4\\ -0& (-5)-(1)\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cc}0& -4\\ 0& -6\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$

$-4x_2=0$

$-6x_2=0$

$x_2=0$

$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ 0\end{array}\right)=x_1\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$

$x=1$일때,

$\left(\begin{array}{cc}(1)-(-5)& -4\\ -0& (1)-(1)\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cc}6& -4\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$

$6x_1+-4x_2=0$

$6x_1=4x_2$

$x_1=\frac{4x_2}{6}$

$x_1=\frac{2}{3}{x}_2$

$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{2}{3}{x}_2\\ x_2\end{array}\right)=x_2\left(\begin{array}{c}\frac{2}{3}\\ 1\end{array}\right)$

고유 벡터의 순서에서 고유벡터행렬 $P$를 얻고 ,

$\left(\begin{array}{cc}1& \frac{2}{3}\\ 0& 1\end{array}\right)$

이어서

$P^{-1}AP=A^D$

로부터 대각화 행렬 $A^D$ 을 얻는다.

$\left(\begin{array}{cc}1& -\frac{2}{3}\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-5& 4\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& \frac{2}{3}\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-5& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

$P^{-1}AP=A^D$

$P{P}^{-1}AP=P{A}^D$

$AP=P{A}^D$

$AP{P}^{-1}=P{A}^D{P}^{-1}$

$A=P{A}^D{P}^{-1}$

행렬 A에 대한 고윳값 분해는 이와 같다.

$\left(\begin{array}{cc}-5& 4\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& \frac{2}{3}\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-5& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& -\frac{2}{3}\\ 0& 1\end{array}\right)$

특수한 경우

• 임의의 행렬 A 와 $\mathrm{\Lambda }$가 대각행렬일때,

$𝐀=𝐐\mathrm{\Lambda }{𝐐}^{-1}$

Q는 직교행렬

□ ^-1는 역행렬

$\mathrm{\Lambda }$는 A^D

• 임의의 행렬 A 가 대칭행렬일때,

$𝐀=𝐐\mathrm{\Lambda }{𝐐}^T$

Q는 직교행렬

□ ^T는 전치행렬

$\mathrm{\Lambda }$는 A^D

같이 보기

• 행렬 분해
• 대각화 행렬
• 특이값 분해

참고

• 매스월드