삼각 분할 범주

틀:위키데이터 속성 추적 호몰로지 대수학에서 삼각 분할 범주(三角分割範疇, 틀:Llang)는 유도 범주 및 안정 호모토피 범주와 유사한 성질을 가지는 범주이다. 이 위에 일반적인 코호몰로지 함자의 개념을 정의할 수 있다.

정의

삼각형

범주 $𝒞$ 위의 자기 동치 $\mathrm{\Sigma }:𝒞\to 𝒞$가 주어졌다고 하자. $(𝒞,\mathrm{\Sigma })$ 위의 삼각형(틀:Llang)은 다음과 같은 꼴의 사상들이다.

$X\stackrel{f}{\to }Y\stackrel{g}{\to }Z\stackrel{h}{\to }\mathrm{\Sigma }X$

이를 $(f,g,h)$로 쓰자.

$(𝒞,\mathrm{\Sigma })$ 속의 두 삼각형

$X\stackrel{f}{\to }Y\stackrel{g}{\to }Z\stackrel{h}{\to }\mathrm{\Sigma }X$

$X^{\prime }\stackrel{f^{\prime }}{\to }{Y}^{\prime }\stackrel{g^{\prime }}{\to }{Z}^{\prime }\stackrel{h^{\prime }}{\to }\mathrm{\Sigma }{X}^{\prime }$

사이의 동형은 다음 조건을 만족시키는 동형 사상

$i_X:X\to X^{\prime }$

$i_Y:Y\to Y^{\prime }$

$i_X:Z\to Z^{\prime }$

이다.

$f^{\prime }=i_Y\circ f\circ i_X^{-1}$

$g^{\prime }=i_Z\circ g\circ i_Y^{-1}$

$h^{\prime }=\mathrm{\Sigma }(i_Z)\circ h\circ i_Z^{-1}$

삼각 분할 범주

삼각 분할 범주는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• $\mathrm{Ab}$-풍성한 범주 $𝒞$
• 자기 동치 $\mathrm{\Sigma }:𝒞\to 𝒞$
• 삼각형들로 구성된 모임. 이 모임의 원소를 특별 삼각형(틀:Llang)이라고 한다.

이 데이터는 다음과 같은 공리들을 만족시켜야 한다.

• $𝒞$는 유한 완비 범주이다. (즉, 가법 범주이다.) 이에 따라 $𝒞$는 영 대상을 갖는다.
• 임의의 대상 $X$에 대하여, $X\stackrel{{\mathrm{id}}_X}{\to }X\to 0\to \mathrm{\Sigma }X$는 특별 삼각형이다.
• 임의의 사상 $f:X\to Y$에 대하여, $X\stackrel{f}{\to }Y\to Z\to \mathrm{\Sigma }X$와 같은 꼴의 특별 삼각형이 존재한다. 이 경우 $Z$를 $f$의 사상뿔(틀:Llang)이라고 한다.
• 특별 삼각형과 동형인 삼각형은 특별 삼각형이다.
• 특별 삼각형 $X\stackrel{f}{\to }Y\stackrel{g}{\to }Z\stackrel{h}{\to }\mathrm{\Sigma }X$이 주어졌을 때, $Y\stackrel{g}{\to }Z\stackrel{h}{\to }\mathrm{\Sigma }X\stackrel{\mathrm{\Sigma }f}{\to }Y$ 및 $Z\stackrel{h}{\to }\mathrm{\Sigma }X\stackrel{\mathrm{\Sigma }f}{\to }\mathrm{\Sigma }Y\stackrel{\mathrm{\Sigma }g}{\to }\mathrm{\Sigma }Z$ 역시 특별 삼각형이다.
• 정팔면체 공리(틀:Llang)가 성립한다. 이에 따르면, 사상 $f:X\to Y$ 및 $g:Y\to Z$가 주어졌을 때, $f$, $g$, $g\circ f$에 대한 세 개의 삼각뿔 $Z^{\prime }$, $X^{\prime }$, $Y^{\prime }$이 주어졌을 때 이들을 짜기워 특별 삼각형 $Z^{\prime }\to Y^{\prime }\to X^{\prime }\to \mathrm{\Sigma }{Z}^{\prime }$을 만들 수 있다. 즉, 다음과 같은 정팔면체 그림이 존재한다.

  $\begin{array}{ccccc}{X}^{\prime }& & \to & & Z\\ & \searrow & 𝖽& \nearrow \\ \downarrow & 𝖼& Y& 𝖼& \uparrow \\ & \swarrow & 𝖽& \nwarrow \\ Z^{\prime }& & \to & & X\end{array}\begin{array}{ccccc}{X}^{\prime }& & \to & & Z\\ & \nwarrow & 𝖼& \swarrow \\ \downarrow & 𝖽& Y^{\prime }& 𝖽& \uparrow \\ & \nearrow & 𝖼& \searrow \\ Z^{\prime }& & \to & & X\end{array}$

위 그림은 정팔면체의 북반구와 남반구를 분리하여 그린 것이다. 여기서

• $𝖼$는 가환 삼각형을 나타낸다.
• $𝖽$는 특별 삼각형을 나타낸다.
• $Z^{\prime }\to X$, $X^{\prime }\to Y$, $Y^{\prime }\to X$, $X^{\prime }\to Z^{\prime }$은 (특별 삼각형의 셋째 변이므로) 등급이 1이다. 즉, 사실 $Z^{\prime }\to \mathrm{\Sigma }X$와 같은 사상이다.

이 정팔면체 그림은 다음과 같이 나타낼 수도 있다.

$\begin{array}{ccccc}& & & & 𝖽\\ Z^{\prime }& & \stackrel{\mathrm{\exists }}{\to }& & Y^{\prime }& & \stackrel{\mathrm{\exists }}{\to }& & X^{\prime }\\ & 𝖼& & \swarrow & 𝖽& \nwarrow & & 𝖼\\ \Vert & & X& & \to & & Z& & \Vert \\ & \nearrow & 𝖽& \searrow & 𝖼& \nearrow & 𝖽& \searrow \\ Z^{\prime }& & \leftarrow & & Y& & \leftarrow & & X^{\prime }\end{array}$

여기서 맨 위의 $𝖽$는 이 그림의 둘레를 따르는 삼각형 $Z^{\prime }\to Y^{\prime }\to X^{\prime }\to \mathrm{\Sigma }{Z}^{\prime }$이 특별 삼각형임을 뜻한다. 이 그림에서 사각형

$\begin{array}{ccc}Y& \to & Z\\ \downarrow & & \downarrow \\ Z^{\prime }& \to & Y^{\prime }\end{array}$

및

$\begin{array}{ccc}{Y}^{\prime }& \to & X\\ \downarrow & & \downarrow \\ X^{\prime }& \to & Y\end{array}$

역시 가환 사각형을 이루어야 한다.

또한, 이 정팔각형 그림은 다음과 같이 나타낼 수도 있다.

$\begin{array}{c}X\\ \downarrow & \searrow \\ Y& \to & Z\\ \downarrow & & \downarrow & \searrow \\ Z^{\prime }& \stackrel{\mathrm{\exists }}{\to }& Y^{\prime }& \stackrel{\mathrm{\exists }}{\to }& X^{\prime }\\ & \searrow & \downarrow & & \downarrow & \searrow \\ & & \mathrm{\Sigma }X& \to & \mathrm{\Sigma }Y& \to & \mathrm{\Sigma }{Z}^{\prime }\end{array}$

이 그림에서는 모든 삼각형·사각형이 가환 다각형이다.

성질

삼각 분할 범주에서, 모든 단사 사상은 분할 단사 사상이며 모든 전사 사상은 분할 전사 사상이다.

삼각 분할 범주 위에서 코호몰로지의 개념을 정의할 수 있다.

삼각 분할 범주에서 두 특별 삼각형 $X\to Y\to Z\to \mathrm{\Sigma }X$ 및 $X^{\prime }\to Y^{\prime }\to Z^{\prime }\to \mathrm{\Sigma }{X}^{\prime }$ 및 처음 두 꼭짓점들 사이의 사상 $X\to X^{\prime }$, $Y\to Y^{\prime }$이 주어졌을 때, 다음 그림을 가환 그림으로 만드는 사상 $Z\to Z^{\prime }$이 존재한다.

$\begin{array}{ccccccc}X& \to & Y& \to & Z& \to & \mathrm{\Sigma }X\\ \downarrow & & \downarrow & & \mathrm{\exists }\downarrow & & \downarrow \mathrm{\Sigma }\\ X^{\prime }& \to & Y^{\prime }& \to & Z^{\prime }& \to & \mathrm{\Sigma }{X}^{\prime }\end{array}$

이 성질은 베르디에의 원래 논문에서 삼각 분할 범주의 4개의 공리 가운데 셋째(TR3)로 제시되었으나, 이후 존 피터 메이(틀:Llang)가 셋째 공리를 다른 공리들로부터 유도할 수 있음을 보였다.틀:Rp

예

벡터 공간

체 $K$ 위의 벡터 공간들의 범주 ${\mathrm{Vect}}_K$ 위에 다음과 같이 삼각 분할 범주의 구조를 줄 수 있다.

• 자기 동치는 항등 함자 $\mathrm{\Sigma }=\mathrm{Id}$이다.
• 특별 삼각형은 완전열 $U\to V\to W\to U\to V$이다.

아벨 범주의 유도 범주

아벨 범주 $𝒜$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 위의 호모토피 범주 $𝒦(𝒜)$ (즉, 대상은 사슬 복합체, 사상은 사슬 사상의 호모토피류)는 삼각 분할 범주를 이룬다. 이 경우 특별 삼각형은 호몰로지 대수학에서의 사상뿔과 동형인 삼각형이다.

아벨 범주 $𝒜$의 호모토피 범주 $𝒦(𝒜)$의 약한 동치를 국소화하면 유도 범주 $\mathrm{D}(𝒜)$를 얻는다. 이 역시 삼각 분할 범주를 이룬다. 이는 약한 동치의 국소화가 삼각 분할 구조와 호환되기 때문이다.

안정 호모토피 범주

스펙트럼들로 구성된 안정 호모토피 범주 역시 삼각 분할 범주를 이룬다. 자기 동치 $\mathrm{\Sigma }$는 스펙트럼의 현수이다.

역사

장루이 베르디에가 1963년 박사 학위 논문에서 유도 범주와 함께 정의하였다. 베르디에는 유도 범주에서 등장하는 특별 삼각형들의 성질들을 공리화하여 삼각 분할 범주의 개념을 추출하였다.

같이 보기

• D가군

참고 문헌

• 틀:서적 인용
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• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Nlab
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