D가군

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 D가군(틀:Llang)은 미분 연산자들의 환에 대한 가군층이다. 선형 편미분 방정식의 추상화이며, 또한 평탄한 코쥘 접속을 갖춘 벡터 다발의 일반화이다.

정의

$X$가 표수 0인 체 $k$에 대한 비특이 대수다양체라고 하고, $X$ 위의 정칙함수들의 층을 ${𝒪}_X$라고 하자. 또한, $X$ 위의 (대수적) 벡터장들로 생성되는 ${𝒪}_X$-가군층 ${𝒟}_X$를 생각하자. 이는 미분 연산자들로 간주할 수 있다.

$X$ 위의 D가군 $(ℳ,\mathrm{\nabla })$은 다음과 같은 데이터로 이루어져 있다.

• ${𝒪}_X$-가군층 $ℳ$
• $k$-선형사상 $\mathrm{\nabla }:{𝒟}_X\to \mathrm{End}(M)$, $v\mapsto {\mathrm{\nabla }}_v$

이는 다음과 같은 공리를 만족시켜야 한다. 모든 ${𝒪}_X$의 단면 $f$, $ℳ$의 단면 $m$, $X$ 위의 벡터장 $u,v$에 대하여,

• (${𝒪}_X$-선형성) ${\mathrm{\nabla }}_{fv}m=f({\mathrm{\nabla }}_{v}m)$
• (곱 규칙) ${\mathrm{\nabla }}_v(fm)=({\mathrm{\nabla }}_{v}f)m+f{\mathrm{\nabla }}_{v}m$
• (리 괄호에 대한 준동형) ${\mathrm{\nabla }}_{[u,v]}=[{\mathrm{\nabla }}_v,{\mathrm{\nabla }}_v]$

예

국소 자유 가군층은 벡터 다발로 여길 수 있으며, 국소 자유 가군층인 D가군은 단순히 평탄한 코쥘 접속이 주어진 벡터 다발이다.

${𝒟}_X$ 자체는 자명하게 D가군을 이룬다.

복소 아핀 공간 ${ℂ}^n$ 위의 함수 공간 $F$가 다음 성질들을 만족시킨다면, $F$는 D가군을 이룬다.

• $F$는 덧셈 및 곱셈에 대하여 닫혀 있다.
• $ℂ[x_1,\dots ,x_n]\subset F$. 즉, $F$는 모든 다항함수를 포함한다.
• $F$는 미분에 대하여 닫혀 있다.

선형 편미분 방정식에 대응하는 D가군

${ℂ}^n=\{(z_1,\dots ,z_n)\}$ 위의 선형 미분 연산자

$D=\sum _{\alpha ,\beta \in {\mathbb{N}}^n}{C}_{\alpha ,\beta }{z}^{\alpha }{\partial }_{\beta }$

로 정의되는 선형 편미분 방정식

$Df=0$

을 생각해 보자. 그렇다면, 이 편미분 방정식에 대응되는 D가군은 $D$로 생성되는 ${𝒟}_{{ℂ}^n}$의 아이디얼 $(D)$에 대한 몫환

${𝒟}_{{ℂ}^n}/(D)$

이다. 이 경우, D가군을 이루는 어떤 함수 공간 $F$ 속에서,

$Df=0(f\in F)$

의 해들의 공간은

${\mathrm{hom}}_{{𝒟}_{{ℂ}^n}}({𝒟}_{{ℂ}^n}/(D),F)$

과 같다.

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:웹 인용