부호함수

실수 부호 함수의 그래프

복소수 부호 함수는 0이 아닌 복소수를 단위원에 사영시킨다.

수학에서 부호 함수(틀:Llang)는 수의 부호를 판별하는 함수이다. 기호는 $\mathrm{sgn}$.

정의

sgn(x)는 x=0에서 불연속하다.

실수 부호 함수는 다음과 같이 정의된다.

$\mathrm{sgn}x=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1-2^{-nx}}{1+2^{-nx}}=2H(x)-1=1_{(0,\mathrm{\infty })}-1_{(-\mathrm{\infty },0)}=\{\begin{array}{cc}1& x>0\\ 0& x=0\\ -1& x<0\end{array}(x\in ℝ)$

여기서 $H$는 단위 계단 함수, $1_{(-)}$는 지시 함수이다. 즉, 실수 부호 함수는 양수는 1, 0은 0, 음수는 -1을 값으로 한다.

보다 일반적으로, 복소수 부호 함수는 다음과 같이 정의된다.

$\mathrm{sgn}z=\{\begin{array}{cc}z/|z|=e^{i\arg z}& z\ne 0\\ 0& z=0\end{array}(z\in ℂ)$

여기서 $|\cdot |$는 절댓값, $\arg$는 편각이다. 즉, 복소수의 부호 함숫값은 0의 경우 0, 0이 아닌 경우 복소평면의 단위원에 대한 사영이다.

성질

항등식

모든 복소수 $z$는 부호 함수와 절댓값의 곱으로 나타낼 수 있다.

$z=|z|\mathrm{sgn}z$

0이 아닌 실수 $z\ne 0$의 경우 이로부터 다음과 같은 항등식들을 얻을 수 있다.

$\mathrm{sgn}z=z/|z|=|z|/z(z\ne 0)$

$|z|=z\mathrm{sgn}z(z\ne 0)$

복소수 부호 함수는 곱셈 및 나눗셈 및 덧셈 역원 및 켤레 복소수를 보존한다. 즉, 복소수 $z,w$에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다.

$\mathrm{sgn}(zw)=\mathrm{sgn}z\mathrm{sgn}w$

$\mathrm{sgn}(z/w)=\mathrm{sgn}z/\mathrm{sgn}w$

$\mathrm{sgn}(-z)=-\mathrm{sgn}z$

$\overline{\mathrm{sgn}z}=\mathrm{sgn}\overline{z}$

복소수 부호 함수와 절댓값의 합성은 다음과 같다.

$\mathrm{sgn}|z|=|\mathrm{sgn}z|=1_{ℝ\setminus \{0\}}$

복소수 부호 함수는 멱등 함수이다. 즉, 복소수 $z$에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다.

$\mathrm{sgn}z=\mathrm{sgn}\mathrm{sgn}z=\mathrm{sgn}\mathrm{sgn}\mathrm{sgn}z=\cdots$

미분

실수 부호 함수는 0을 제외한 모든 점에서 미분 가능 함수이며, 그 도함수는 0이다. 0은 이 함수의 불연속점이다. 분포로서의 도함수는 어디서나 정의되며, 디랙 델타 함수의 2배이다.

$\frac{d}{dx}\mathrm{sgn}x=2\delta (x)$

적분

실수 부호 함수의 정적분은 다음과 같다.

$\underset{0}{\overset{x}{\int }}\mathrm{sgn}xdx=|x|$

푸리에 변환

실수 부호 함수의 푸리에 변환은 다음과 같다. (변환 결과는 코시 주요값을 통한 분포 (해석학)로 이해한다.)

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{sgn}x{e}^{-2\pi i\xi x}dx=\frac{1}{\pi i}\frac{1}{\xi }$

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{sgn}x{e}^{-i\omega x}dx=-\frac{2i}{\omega }$

같이 보기

• 절댓값
• 단위 계단 함수
• 음수
• 구형함수
• 시그모이드 함수
• 계단 함수
• 극분해

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:Nlab
• 틀:플래닛매스