코시 주요값

틀:위키데이터 속성 추적 코시 주요값(Cauchy主要-, 틀:Lang) 또는 코시 주치(Cauchy主値)는 일반적인 정적분으로 값을 구할 수 없는 일부 이상적분의 값을 구하는 방법 중 하나이다. 오귀스탱 루이 코시가 도입하였다.

정의

함수 $f:ℝ\to ℝ$가 $x_0$ 근처에서 발산한다고 하자. 그렇다면 $a<x_0<b$에서의 적분

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$

이 리만 적분 또는 르베그 적분으로서 존재하지 않을 수 있다. 그러나 가끔 다음과 같은 극한이 존재할 수 있다.

$𝒫\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x\stackrel{\text{def}}{=}\underset{ϵ\to 0+}{\lim }\underset{a}{\overset{x_0-ϵ}{\int }}f(x)\mathrm{d}x+\underset{x_0+ϵ}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$

이렇게 적분을 규칙화하여 얻는 값을 코시 주요값이라 한다. 실함수 뿐만 아니라, 복소 함수의 선적분의 경우에도 유사한 방법으로 코시 주요값을 정의할 수 있다.

예

예를 들어, $1/x$를 $a<0<b$에서 적분해 보자. 이는 르베그 적분으로서 존재하지 않지만,

$𝒫\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=\underset{ϵ\to 0}{\lim }[\log (b/ϵ)-\log (-a/ϵ)]=\log (-b/a)$

와 같이 코시 주요값으로 존재한다.

응용

힐베르트 변환의 정의에 사용된다.

같이 보기

• 힐베르트 변환

외부 링크

• 틀:매스월드