단위 계단 함수

단위 계단 함수

단위 계단 함수(unit step function) 또는 헤비사이드 계단 함수(Heaviside step function)은 0보다 작은 실수에 대해서 0, 0보다 큰 실수에 대해서 1, 0에 대해서 1/2의 값을 갖는 함수이다. 이 함수는 신호처리 분야에서 자주 사용된다. 그리고 부호 함수에다 1을 더한 뒤 2를 나눈 함수이다.

단위 계단 함수는 디랙 델타 함수의 부정적분이다. 즉,

$H(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}\delta (t)\mathrm{d}t$

이 성립한다.

이산 형태

단위 계단을 이산 변수 n에 대한 함수로 나타내면

$H[n]=\{\begin{array}{cc}0,& n<0,\\ 1,& n\ge 0,\end{array}$

과 같이 되며 이 때 n은 정수이다. 주어진 문제가 이산적이지 않은 상황에서는 H[0]의 정의가 중요하다.

이산-시간 단위 충격량은 이산-시간 단계에서 첫 번째 차이값을 의미하는

$\delta \left[n\right]=H[n]-H[n-1]$

으로 나타낼 수 있다. 이 함수는 크로네커 델타의 합

$H[n]=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^n\delta [k]$

으로 나타낼 수 있으며 여기서

$\delta [k]={\delta }_{k,0}$

이다..

적분 표현

때때로 복소 적분의 형태로도 나타낼 수 있다:

$H(x)=\underset{ϵ\to 0^{+}}{\lim }\frac{i}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\mathrm{e}}^{-ix\tau }}{\tau +iϵ}\mathrm{d}\tau =\underset{ϵ\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{2\pi i}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\mathrm{e}}^{ix\tau }}{\tau -iϵ}\mathrm{d}\tau .$

같이 보기

• 디랙 델타 함수
• 지시 함수
• 아이버슨 괄호
• 라플라스 변환
• 음수
• 구형함수
• 부호함수