계단 함수

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 계단 함수(階段函數, 틀:Llang) 또는 조각마다 상수 함수(-常數函數, 틀:Llang)는 정의역을 적절한 유한 개의 구간으로 분할하였을 때 각 구간에서 상수 함수가 되는 함수이다.

정의

실수 부분 집합 $A \subseteq ℝ$ 의 지시 함수는 다음과 같다.

1_{A} : ℝ \to ℝ

1_{A} : x \mapsto {\begin{matrix} 1 & x \in A \\ 0 & x \in ℝ ∖ A \end{matrix}

계단 함수는 다음과 같은 꼴의 함수를 뜻한다.

s : ℝ \to ℝ

s = \sum_{k = 1}^{n} c_{k} 1_{I_{k}} = c_{1} 1_{I_{1}} + \dots c_{n} 1_{I_{n}}

여기서 $c_{1}, \dots, c_{k} \in ℝ$ 는 실수들이며, $I_{1}, \dots, I_{k} \subseteq ℝ$ 는 실수 구간들이다.

두 계단 함수의 합과 곱은 여전히 계단 함수이다. 이에 따라 구간 $I$ 위의 계단 함수의 집합은 실수체 위의 대수를 이룬다.

계단 함수는 유한 개의 점을 제외하면 미분 가능하며, 모든 미분 가능점에서의 미분은 0이다.

계단 함수의 르베그 적분은 다음과 같다.

\int \sum_{k = 1}^{n} c_{k} 1_{I_{k}} d μ = \sum_{k = 1}^{n} c_{k} μ (I_{k})

여기서 $μ$ 는 르베그 측도이다.

함수

s : ℝ \to ℝ

s : x \mapsto {\begin{matrix} 0 & x \in (- \infty, 0) \\ 5 & x \in [0, 1) \\ - 1 & x = 1 \\ 2 & x \in (1, 2) \\ 9 & x \in [2, 3] \\ 0 & x \in (3, \infty) \end{matrix}

는 계단 함수이다.