미분 대수

틀:위키데이터 속성 추적 추상대수학에서 미분 대수(微分代數, 틀:Llang)는 곱 규칙을 만족하는 자기 선형 변환이 갖추어진 결합 대수이다. 해석학에서의 미분 연산을 공리화한 개념이다.

정의

미분

다음이 주어졌다고 하자.

• 가환환 $K$
• $K$ 위의 결합 대수 $(A,+,0_A,\cdot ,1_A)$
• $(A,A)$-쌍가군 ${}_A{M}_A$. 또한, 왼쪽과 오른쪽 $K$-작용이 서로 일치한다고 하자 ($km=mk\mathrm{\forall }m\in M,k\in K$). (다시 말해, $M$은 $A^{\mathrm{e}}=A{\otimes }_K{A}^{\mathrm{op}}$ 위의 왼쪽 가군이다.)

그렇다면, $M$ 값의, $A$ 위의 미분(微分, 틀:Llang)은 다음과 같은 $K$-선형 변환이다.

$\partial :A\to M$

이는 다음과 같은 곱 규칙을 만족시켜야 한다.

$\partial (ab)=(\partial a)b+a(\partial b)\mathrm{\forall }a,b\in A$

흔히, ${}_A{M}_A={}_A{A}_A$를 사용한다.

미분 대수

미분 대수 $(K,A,\partial )$는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 가환환 $K$
• $K$ 위의 결합 대수 $(A,+,0_A,\cdot ,1_A)$
• 미분을 이루는 자기 사상 $\partial :A\to A$. (이는 결합 대수 준동형이 될 필요가 없다.)

특히, 정수환 $\mathbb{Z}$ 위의 결합 대수는 환이므로, 만약 $K=\mathbb{Z}$ (정수환)인 경우, 그 위의 미분 대수를 미분환(微分環,틀:Llang)이라고 한다. 또한, $K=\mathbb{Z}$이며 $A$가 체를 이루는 경우, $(K,A,\partial )$를 미분체(微分體, 틀:Llang)라고 한다.

만약 미분 대수의 개념에, 등급을 주어 일반화하면 미분 등급 대수의 개념을 얻는다.

미분 대수 준동형

같은 가환환 $K$ 위의 두 미분 대수 $A$, $B$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 미분 대수 준동형(微分代數準同形, 틀:Llang)은 대수 구조로서의 준동형이다. 즉, $K$-결합 대수 준동형 $f:A\to B$가 다음 조건들을 만족시킨다면, 미분 대수 준동형을 이룬다.

$f(\partial a)=\partial f(a)\mathrm{\forall }a\in A$

미분체 확대(微分體擴大, 틀:Llang)는 두 미분체 사이의 미분 대수 준동형이다. 이는 체의 확대이므로 항상 단사 함수이다.

예

교환자

틀:본문 가환환 $K$ 위의 결합 대수 $A$의 원소 $a\in A$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 교환자

$[a,-]:b\mapsto [a,b]=ab-ba$

를 정의한다면 $(K,A,[a,-])$는 다음과 같이 미분 대수를 이룬다.

$[a,bc]=abc-bca=abc-bac+bac-bca=[a,b]c+b[a,c]$

다항식환

틀:본문 환 $R$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다항식환 $R[x]$ 위에 다음과 같은 선형 변환 $\partial :R[x]\to R[x]$을 정의할 수 있다.

$\partial :r{x}^n\mapsto \{\begin{array}{cc}nr{x}^{n-1}& n>0\\ 0& n=0\end{array}\mathrm{\forall }r\in R,n\in \mathbb{N}$

그렇다면 $(R,R[x],\partial )$는 미분 대수를 이룬다.

매끄러운 함수

틀:본문 다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 $M$
• 벡터장 $X$

그렇다면, $M$ 위의 실수 값 매끄러운 함수들의 집합 ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}(M;ℝ)$를 생각하자. 이는 실수 벡터 공간을 이루며, 또한 점별 합과 곱에 대하여 실수 결합 대수를 이룬다.

벡터장은 ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}(M;ℝ)$ 위에 미분 연산자로 작용한다. 국소 좌표계로 표현하면 다음과 같다.

$Xf=X^{\mu }{\partial }_{\mu }f$

그렇다면, $(ℝ,{𝒞}^{\mathrm{\infty }}(M;ℝ),X)$는 미분 대수를 이룬다.

리 대수

가환환 $K$ 위의 리 대수 $𝔤$가 주어졌다고 하자. $𝔤$ 위의 미분 $\partial :𝔤\to 𝔤$은 다음 조건을 만족시키는 $K$-선형 변환이다.

$\partial [a,b]=[\partial a,b]+[a,\partial b]$

이 경우, $\partial$은 $𝔤$의 보편 포락 대수 $\mathrm{U}(𝔤)$ 위에 자연스럽게 다음과 같이 확장된다.

$\partial a_1{a}_2\cdots a_k=\sum _{i=1}^k{a}_1\cdots a_{i-1}(\partial a_i)a_{i+1}\cdots a_k(k\in \mathbb{N},a_1,\dots ,a_k\in 𝔤)$

그렇다면, $(K,\mathrm{U}(𝔤),\partial )$는 미분 대수를 이룬다.

같이 보기

• 산술 도함수
• 켈러 미분

참고 문헌

• 틀:저널 인용
• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Eom
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• 틀:Eom
• 틀:Eom
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab