모듈러스 (수론)

틀:위키데이터 속성 추적 유체론에서 모듈러스(틀:Llang)는 아벨 확대에 대한 분기화 현상을 나타내는 대상이다. 효과적 베유 인자의 개념의 대수적 수체에 대한 일반화이다.

정의

대역체의 아라켈로프 인자

대역체 $K$의 아라켈로프 인자(Аракелов因子, 틀:Llang) 또는 충만 아이디얼(充滿ideal, 틀:Llang) $𝔄$은 다음과 같은 데이터로 구성된다.틀:Rp

• 각 아르키메데스 자리 $𝔭$에 대하여, 정수 ${\mathrm{ord}}_{𝔪}(𝔭)\in \mathbb{Z}$
• 각 비아르키메데스 자리 (즉, 대수적 수체의 실수 또는 복소수 자리) $𝔭$에 대하여, 실수 ${\mathrm{ord}}_{𝔪}(𝔭)\in ℝ$

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

• 중복수가 0이 아닌 자리의 수는 유한하다.

  $|\{𝔭\in \mathrm{Places}({𝒪}_K):{\mathrm{ord}}_{𝔪}(𝔭)>0\}|<{\mathrm{\aleph }}_0$

이를 자리의 중복수(틀:Llang)라고 한다. 아라켈로프 인자는 중복수의 성분별 합에 대하여 아벨 군을 이룬다. 아라켈로프 인자는 다음과 같은 형식적 곱으로 표기한다.

$𝔄=\prod _{𝔭\in \mathrm{Places}({𝒪}_K)}{𝔭}^{{\mathrm{ord}}_{𝔪}(𝔭)}$

이는 대수적 정수환의 분수 아이디얼의 일반화이다. 즉, 비아르키메데스 성분이 없는 아라켈로프 인자는 분수 아이디얼과 같다.

모듈러스

대역체 $K$의 모듈러스 $𝔪$은 다음 조건들을 모두 만족시키는 아라켈로프 인자이다.

• 모든 자리의 중복수는 음이 아니다.

  $\mathrm{\forall }𝔭\in \mathrm{Places}({𝒪}_K):{\mathrm{ord}}_{𝔪}(𝔭)\ge 0$

• 만약 $K$가 대수적 수체라면, 실수 자리의 중복수는 0 또는 1이며, 복소수 자리의 중복수는 0이다.

만약 $K$가 유한체 ${𝔽}_q$ 위의 고유 대수 곡선 $X/\mathrm{Spec}{𝔽}_q$의 유리 함수체라면, $K$ 위의 모듈러스는 $X$의 효과적 베유 인자 (즉, $X$ 위의 유한 개의 점들의 양의 정수 계수 선형 결합)와 같은 개념이다.

대역체의 모듈러스 $𝔪={𝔪}_0{𝔪}_{\mathrm{\infty }}$는 유한 부분 (유한 위치들의 부분 중복집합) ${𝔪}_0$와 무한 부분 (무한 위치들의 집합) ${𝔪}_{\mathrm{\infty }}$로 분해할 수 있다. 대수적 수체가 아닌 대역체의 모듈러스의 경우 무한 부분은 1이다. 대수적 수체 $K$의 모듈러스 $𝔪$의 유한 부분 ${𝔪}_0$는 소 아이디얼들의 중복집합의 곱이므로, 대수적 정수환 ${𝒪}_K$의 아이디얼과 같다.

합동

대역체 $K$의 0이 아닌 두 원소 $a,b\in K^{\times }$ 및 $K$의 모듈러스 $𝔪$에 대하여, 만약 ${\mathrm{ord}}_{𝔪}(𝔭)>0$인 모든 자리 $𝔭$에 대하여 다음 조건이 성립한다면, $a$와 $b$가 $m$에 대하여 합동(틀:Llang)이라고 하고, $a\equiv b(\mathrm{mod}m)$으로 적는다.

• $𝔭$가 유한 자리이라면, ${\mathrm{ord}}_{𝔭}(a/b-1)\ge {\mathrm{ord}}_{𝔪}(𝔭)$
• $𝔭$가 실수 매장 $\sigma :K\hookrightarrow ℝ$에 대한 실수 자리라면, $\sigma (a/b)>0$

여기서 ${\mathrm{ord}}_{𝔭}$는 $𝔭$에 대응되는 절댓값이

$|a{|}_{𝔭}=\exp (-\mathrm{ord}(a))$

와 동치가 되는 전사 함수 ${\mathrm{ord}}_{𝔭}:K\to \mathbb{Z}\bigsqcup \{\mathrm{\infty }\}$이다.

대수 곡면의 아라켈로프 인자

대수적 수체 위의 대수 곡면의 아라켈로프 인자는 수렌 아라켈로프가 최초로 정의하였으며, 다음과 같다.틀:Rp

대수적 수체 $K$가 주어졌다고 하자. ${𝒪}_K$-스킴 $p:X/\mathrm{Spec}({𝒪}_K)$이 2차원 정역 정칙 스킴이며, $p$가 고유 사상이자 평탄 사상이라고 하자. 또한, ${𝒪}_X$의 일반점이 $\eta$라고 하자.

$K$의 아르키메데스 자리 $\sigma \in {\mathrm{Places}}_{\mathrm{\infty }}(K)$에 대하여, $X$의 $\sigma$에서의 올 $X_{\sigma }$는 다음과 같다.

$X_{\sigma }=X{\times }_{{𝒪}_K}{\overline{K}}_{\sigma }$

이는 리만 곡면을 이룬다.

$X$ 위의 아라켈로프 인자의 아벨 군 $\widehat{\mathrm{Div}}(X)$은 다음과 같다.

$\widehat{\mathrm{Div}}(X)=\mathrm{Div}(X)\oplus \underset{\sigma \in {\mathrm{Places}}_{\mathrm{\infty }}(K)}{⨁}ℝ\sigma$

여기서 $\underset{\sigma \in {\mathrm{Places}}_{\mathrm{\infty }}(K)}{⨁}ℝ\sigma$는 $K$의 아르키메데스 위치들에 의하여 생성되는 실수 벡터 공간이다.

가역 유리 함수 $f\in \mathrm{\Gamma }(X;{𝒦}_X^{\times })={(\mathrm{Frac}\mathrm{\Gamma }(X;{𝒪}_X))}^{\times }$에 대응하는 주 아라켈로프 인자(틀:Llang) $(f)\in \widehat{\mathrm{Div}}(X)$는 다음과 같다.틀:Rp

$(f)=(f{)}_0+\sum _{\sigma \in {\mathrm{Places}}_{\mathrm{\infty }}(K)}(f{)}_{\sigma }\sigma$

$(f{)}_{\sigma }=-\underset{X_{\sigma }}{\int }\ln |f_{\sigma }|\mathrm{d}{\mu }_{\sigma }$

여기서

• $\mathrm{d}{\mu }_{\sigma }$는 콤팩트 리만 곡면 $X_{\sigma }$ 위의, $\underset{X_{\sigma }}{\int }\mathrm{d}{\mu }_{\sigma }=1$이 되는 표준적 부피 형식이다. 구체적으로, $X_{\sigma }$ 위의 (1,0)-복소수 미분 형식 $\alpha$에 대하여 $\alpha \wedge \overline{\alpha }$는 (1,0)-복소수 미분 형식의 가역층 위의 에르미트 계량을 정의하며, 이로부터 부피 형식을 정의할 수 있다.
• $(f{)}_0$은 베유 주인자를 뜻한다.

이는 군 준동형

$(-):\mathrm{\Gamma }(X;{𝒦}_X^{\times })\to \widehat{\mathrm{Div}}(X)$

을 이루며, 그 여핵을 아라켈로프 인자 유군(틀:Llang)이라고 한다.틀:Rp

예

유리수체 $\mathbb{Q}$의 아라켈로프 인자는

$(r){\mathrm{\infty }}^a(r\in {\mathbb{Q}}^{\times },a\in ℝ)$

의 꼴이다. 유리수체 $\mathbb{Q}$의 모듈러스는

$(n){\mathrm{\infty }}^a(n\in {\mathbb{Z}}^{+},a\in \{0,1\})$

의 꼴이다. 만약 $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$의 소인수 분해가

$n=\prod _i{p}^{n_i}$

라면, $a,b\in \mathbb{Q}$에 대하여

$a\equiv b(\mathrm{mod}(n))⟺\mathrm{\exists }m,k:m(a-b)\in n\mathbb{Z},m\nmid n$

이며,

$a\equiv b(\mathrm{mod}(n)\mathrm{\infty })⟺(a/b>1\wedge a\equiv b(\mathrm{mod}(n)))$

이다.

역사

아라켈로프 인자의 개념은 수렌 아라켈로프가 도입하였다.

$L/K$의 "정의 모듈러스"와 "인도자"

이 글의 본문은 아르틴 상호 법칙입니다.

$K$가 대수적 수체이며, $L/K$를 유한 아벨 확대로 가정하면,

$S$가 $L/K$에서 파생되는 모든 소 아이디얼들을 포함하는 유한 집합이라면, $S$에 대하여 서로소인 분수 아이디얼들의 아벨 군 $I_K^S$에서 갈루아 군 $\mathrm{Gal}(L/K)$으로 가는 다음과 같은 군 준동형이 존재하며, 이를 아르틴 사상(틀:Llang)이라고 한다.

$I_K^S\to \mathrm{Gal}(L/K)$

아르틴 상호 법칙에서 어떤 모듈러스 $c$ 에 대하여, 군 준동형의 핵은 다음과 같은 형태이다.

$i(K_{𝔪,1}){\mathrm{N}}_{L/K}(I_L^{𝔪})$

여기서 $K_{𝔪,1}$은 $𝔪$에 대한 반직선이며, ${\mathrm{N}}_{L/K}$는 체 노름이다. 이러한 조건을 만족시키는 모듈러스를 $L/K$의 정의 모듈러스(틀:Llang)라고 하며, 여기서, 최소한의 $L/K$정의모듈러스를 $L/K$의 인도자(引導者, 틀:Llang)라고 한다.

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Eom
• 틀:Nlab

같이 보기

• 반직선 유군