반직선 유군

틀:위키데이터 속성 추적 유체론에서 반직선 유군(半直線類群, 틀:Llang)은 임의의 모듈러스에 대한, 아이디얼 유군의 일반화이다. 대수적 수체의 아벨 확대에서의 분기화 현상을 나타낸다.

정의

대수적 수체 $K$ 위의 모듈러스 $𝔪$이 주어졌다고 하자. $K$의 $𝔪$에 대한 반직선(틀:Llang)은

$K_{𝔪,1}=\{a\in K^{\times }:a\equiv 1(\mathrm{mod}𝔪)\}$

이다. 이는 곱셈에 대하여 아벨 군을 이룬다.

$I^{𝔪}$이 $𝔪$과 서로소인 소 아이디얼들로 생성되는 분수 아이디얼들의 아벨 군이라고 하자. 즉,

$𝔞/𝔟(𝔭\mid 𝔪⟹𝔭\nmid 𝔞,𝔟)$

의 꼴의 분수 아이디얼들로 구성된 아벨 군이다. 주 아이디얼 사상 $i:a\mapsto (a)$은 군 준동형

$i:K_{𝔪,1}\to I^{𝔪}$

을 정의한다. $K$의 $M$에 대한 반직선 유군은 몫군

$\mathrm{Cl}{ℴ}_{𝔪}=I^{𝔪}/i(K_{𝔪})$

이며, 반직선류(半直線類, 틀:Llang)는 반직선 유군의 원소이다.

이델 유군과의 관계

대수적 수체 $K$ 및 그 모듈러스 $𝔪$에 대하여, 이델 군 ${𝔸}_K^{\times }$의 다음과 같은 부분군을 생각하자.

$U_{𝔪}=\prod _p{U}_p$

여기서

• $p$가 복소 자리라면, $U_p={ℂ}^{\times }$
• $p$가 실수 자리이며 $p\in {𝔪}_{\mathrm{\infty }}$라면, $U_p={ℝ}^{+}$
• $p$가 실수 자리이며 $p\in ̸{𝔪}_{\mathrm{\infty }}$라면, $U_p={ℝ}^{\times }$
• $p$가 유한 자리이며 $p\nmid {𝔪}_0$라면, $U_p={ℴ}_{K_p}^{\times }$ ($K_p$는 $K$의 $p$에서의 완비화)
• $p$가 유한 자리이며 $p^n\mid {𝔪}_0$이지만 $p^{n+1}\nmid {𝔪}_0$라면, $U_p=1+{𝔭}^n\subset {ℴ}_{K_p}^{\times }$ ($𝔭$는 이산 값매김환 ${ℴ}_{K_p}$의 유일한 극대 아이디얼)

이델 유군 $C_K$는 대각 사상 $i:K^{\times }\hookrightarrow {𝔸}_K^{\times }$의 상에 대한 몫군 $C_K={𝔸}_K^{\times }/i(K^{\times })$인데, $U_{{𝔪}^{\prime }}=i(U_{𝔪})$이라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 표준적인 군 동형이 존재한다.

${\mathrm{Cl}}_{𝔪}{ℴ}_K\cong C_K/U_{{𝔪}^{\prime }}$

예

대수적 수체 $K$에 대하여, 자명한 모듈러스 $𝔪=1$에 대한 반직선류군은 아이디얼 유군 $\mathrm{Cl}{ℴ}_K$이다.

유리수체 $\mathbb{Q}$ 및 양의 정수 $m$에 대하여, 유한 모듈러스 $(m)$에 대한 반직선류군은 가역원군의 몫군

${\mathrm{Cl}}_{(m)}\mathbb{Z}\cong (\mathbb{Z}/(m){)}^{\times }/\{\pm 1\}$

이며, 모듈러스 $(m)\mathrm{\infty }$에 대한 반직선류군은 가역원군

${\mathrm{Cl}}_{(m)\mathrm{\infty }}\mathbb{Z}\cong (\mathbb{Z}/(m){)}^{\times }$

이다.

참고 문헌

• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Eom

같이 보기

• 모듈러스 (수론)
• 아이디얼 유군
• 이델 유군