절댓값 (대수학)

틀:위키데이터 속성 추적 대수학 및 대수적 수론에서 절댓값(絶對값, 틀:Llang)은 정역의 원소의 크기를 측정하는 실수 함수이다. 초등 수학에서의 절댓값을 일반화한다.

정의

정역 $D$ 위의 절댓값은 다음 조건들을 만족시키는 함수 $|\cdot |:D\to {ℝ}_{\ge 0}$이다.틀:Rp

• 임의의 $x\in D$에 대하여, $|x|=0⟺x=0$
• 임의의 $x,y\in D$에 대하여, $|xy|=|x||y|$
• (삼각 부등식) 임의의 $x,y\in D$에 대하여, $|x+y|\le |x|+|y|$

정역 $D$ 위의 절댓값은 그 분수체 $K=\mathrm{Frac}D$ 위로 다음과 같이 확장할 수 있다.

$|x/y|=|x|/|y|\mathrm{\forall }x,y\in D$

절댓값을 갖춘 정역 $(D,|\cdot |)$ 위에는 다음과 같이 거리 함수를 정의하여, 거리 공간으로 만들 수 있다.

$d(x,y)=|x-y|$

절댓값의 공리에 따라, $|1|=|-1|=1$이다. 또한, 다음이 성립함을 보일 수 있다.

$|n|\le n\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$

비아르키메데스 절댓값

정역 $D$ 위의 절댓값 $|\cdot |$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 절댓값을 비아르키메데스 절댓값(틀:Llang)이라고 한다.

• (초거리 부등식) 임의의 $x,y\in D$에 대하여, $|x+y|\le \max \{|x|,|y|\}$
• $\{|\stackrel{n}{\overbrace{1+1+\cdots +1}}|:n\in \mathbb{N}\}$이 유계 집합이다.

비아르키메데스 절댓값이 아닌 절댓값을 아르키메데스 절댓값(틀:Llang)이라고 한다.

비아르키메데스 절댓값의 로그를 취하면, $a\mapsto -\log |a|$는 값매김을 이룬다. 반대로, 실수 덧셈군(의 부분군)을 값군으로 갖는 값매김 $v$가 주어졌다면, 그 지수 함수 $a\mapsto \exp (-v(a))$는 비아르키메데스 절댓값을 이룬다.

비아르키메데스 절댓값 $|\cdot |$을 갖춘 체 $K$에 대하여, 절댓값이 1 이하인 원소들은 값매김환을 이룬다. 이를 $K$의 $|\cdot |$에 대한 정수환(틀:Llang)이라고 한다.

자리

같은 정역 $D$ 위의 두 절댓값 $|\cdot |$, $|\cdot {|}^{\prime }$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건이 성립한다면 두 절댓값들이 서로 동치라고 한다.

• 임의의 $x\in D$에 대하여, 만약 $|x|<1$이면 $|x{|}^{\prime }<1$이다.
• 임의의 $x\in D$에 대하여, $|x|<1$과 $|x{|}^{\prime }<1$이 동치이다.
• $|\cdot |$과 $|\cdot {|}^{\prime }$은 $D$ 위에 같은 위상을 정의한다.
• $|\cdot |=|\cdot {|}^s$인 양의 실수 $s\in {ℝ}^{+}$가 존재한다.

절댓값의 동치는 동치 관계이며, 이에 대한 자명하지 않은 동치류를 자리(틀:Llang)라고 한다.

완비화

절댓값을 갖춘 정역 $D$는 거리 공간을 이루므로, 코시 열을 정의할 수 있으며, 이들은 각 성분의 덧셈과 곱셈에 대하여 가환환을 이룬다. 절댓값들이 0으로 수렴하는 코시 열 $(x_i{)}_{i\in \mathbb{N}}\subset D$들은 코시 열들의 환의 소 아이디얼을 이루며, 따라서 그 몫환은 정역을 이룬다. 이 정역을 $D$의 절댓값 $|\cdot |$에 대한 완비화(틀:Llang)라고 한다. 이는 거리 공간으로서의 완비화와 일치한다.

예

임의의 정역 $D$ 위의 자명 절댓값(틀:Llang)은 다음과 같다.

$|x{|}_0=\{\begin{array}{cc}0& x=0\\ 1& x\ne 0\end{array}$

유리수체와 실수체, 복소수체의 경우, 초등 수학의 절댓값은 대수적 절댓값을 이룬다.

$|\cdot {|}_{ℝ}:x\mapsto \{\begin{array}{cc}x& x\ge 0\\ -x& x<0\end{array}$

$|\cdot {|}_{ℂ}:x+iy\mapsto \sqrt{x^2+y^2}$

𝔭진 절댓값

데데킨트 정역 $D$가 주어졌을 때, $D$의 영 아이디얼이 아닌 소 아이디얼 $𝔭$에 대하여 $𝔭$진 절댓값(틀:Llang) $|\cdot {|}_{𝔭}$은 $D$ 위의 절댓값이며, 다음과 같다.

$|x{|}_{𝔭}=\{\begin{array}{cc}0& x=0\\ \exp (-n)& (x)={𝔭}^n𝔮,𝔭\nmid 𝔮,n\in \mathbb{N}\end{array}$

이는 물론 $\mathrm{Frac}D$ 위의 절댓값으로 확대할 수 있다.

대수적 수체

오스트롭스키 정리(Островский定理, 틀:Llang)에 따르면, 대수적 수체 $K$ 위의 자리들의 목록은 다음과 같다.

• 자명 절댓값 $|\cdot {|}_0$과 동치인 자리. 이를 자명 자리(틀:Llang)라고 한다.
• 대수적 정수환 ${𝒪}_K$의 소 아이디얼 $𝔭$에 대하여, $𝔭$진 절댓값의 자리. 이를 유한 자리(틀:Llang)라고 한다.
• 실수로의 매장 $\iota :K\hookrightarrow ℝ$에 대하여, $|\cdot {|}_{\iota }=|\cdot {|}_{ℝ}\circ \iota$. 여기서 $|\cdot {|}_{ℝ}$는 실수 위의 표준 절댓값이다. 이 절댓값과 동치인 자리를 실 무한 자리(틀:Llang)라고 한다.
• 복소수로의 매장 $\iota :K\hookrightarrow ℂ$에 대하여 ($\iota (K)\subset ̸ℝ$), $|\cdot {|}_{\iota }=|\cdot {|}_{ℂ}\circ \iota$. 여기서 $|\cdot {|}_{ℂ}$는 복소수 위의 표준 절댓값이다. 이 경우, $\iota$와 $\overline{\iota }$는 같은 절댓값을 정의한다. 이 절댓값과 동치인 자리를 복소 무한 자리(틀:Llang)라고 한다.

예를 들어, 유리수체의 자리의 목록은 다음과 같다.

• 자명 자리 $|\cdot {|}_0$
• 소수 $p$에 대하여, $p$진 자리 $|\cdot {|}_p$
• 하나의 실 무한 자리 $|\cdot {|}_{\mathrm{\infty }}$

겔판트-토른하임 정리(Гельфанд-Tornheim定理, 틀:Llang)에 따르면, 아르키메데스 절댓값을 갖는 임의의 체는 복소수체의 부분체이며, 아르키메데스 절댓값은 이 복소 매장에 의하여 유도되는 절댓값과 동치이다.

대수적 수체 $K$의 대수적 정수환은 모든 비아르키메데스 절댓값들에 대한 완비화들의 정수환들의 교집합이다.틀:Rp

역사

퀴르샤크 요제프가 1913년에 도입하였다.

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Eom
• 틀:매스월드