초콤팩트 기수

틀:위키데이터 속성 추적 집합론에서 초콤팩트 기수(超compact基數, 틀:Llang)는 가측 기수보다 더 강한 폐포 성질을 갖춘 큰 기수이다. 초콤팩트 기수는 반사 성질을 보인다. 즉, 초콤팩트 기수 이상에서 일어나는 현상은 반드시 초콤팩트 기수 미만에서도 일어난다.

정의

순서수 $\alpha$ 및 기수 $\kappa$에 대하여, 다음 성질들을 만족시키는 추이적 모형 $M$이 존재한다면 $\kappa$를 $\alpha$-초콤팩트 기수라고 한다.

• 기본 매장 $j:M\to V$가 존재한다. 여기서 $V$는 폰 노이만 전체이다.
• $j$의 임계점은 $\kappa$이다.
• $j(\kappa )>\alpha .$
• 임의의 함수 $f:\alpha \to M$에 대하여, $f\in M$이다.

초콤팩트 기수는 모든 순서수 $\alpha$에 대하여 $\alpha$-콤팩트한 기수이다.

성질

초콤팩트 기수는 큰 기수이다. 즉, 이러한 기수의 존재는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론으로 증명할 수 없다.

모든 초콤팩트 기수는 강콤팩트 기수이다.

초콤팩트 기수는 반사 성질(틀:Llang)을 보인다. 즉, 임의의 초콤팩트 기수 $\kappa$ 및 대부분의 기수 성질에 대하여, 이 성질을 만족시키는 $\kappa$ 이상의 기수가 존재한다면, 이 성질을 만족시키는 $\kappa$ 미만의 기수 역시 존재한다. 예를 들어, 만약 일반화 연속체 가설이 $\kappa$ 미만에서 성립한다면, 이는 모든 기수에 대하여 성립한다.

만약 적어도 하나의 초콤팩트 기수가 존재한다면, $L(ℝ)$에 국한된 결정 공리 ${𝖠𝖣}^{L(ℝ)}$가 성립한다. 하나의 초콤팩트 기수의 존재 대신, 무한히 많은 우딘 기수의 존재를 가정하여도 같은 결과가 성립한다.

같이 보기

• 강콤팩트 기수

각주

• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:웹 인용
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