정상 집합

틀:위키데이터 속성 추적 집합론에서 클럽 집합(club集合, 틀:Llang)은 주어진 순서수보다 작은 순서수들 가운데 "거의 대부분"을 포함하는 집합이며, 정상 집합(定常集合, 틀:Llang)은 주어진 순서수보다 작은 순서수들 가운데 "충분한 수"를 포함하여, 임의의 클럽 집합과 하나 이상의 원소를 공유하는 집합이다. 즉, 이 두 개념의 관계는 공집합이 아닌 열린집합과 조밀 집합의 관계와 같다.

정의

클럽 집합

극한 순서수 $\alpha$가 주어졌다고 하자. 부분 집합

$C\subseteq \alpha$

가 다음 두 조건을 만족시키면 $\alpha$-클럽 집합(틀:Llang)이라고 한다.

• 순서 위상에 대하여 닫힌집합이다. 즉, 임의의 순서수 $0<\beta <\alpha$에 대하여, $\sup (C\cap \beta )=\beta$라면, $\beta \in C$이다.
• $\underset{\mathrm{Ord}}{\sup }C=\alpha$이다. 즉, 임의의 순서수 $\beta <\alpha$에 대하여, $\beta <{\beta }^{\prime }\in C$가 존재한다.

정상 집합

임의의 기수 $\kappa$ 및 부분 집합 $S\subseteq \kappa$가 주어졌으며, $\kappa$의 공종도가 비가산이라고 하자.

만약 $S$와 임의의 $\kappa$-클럽 집합의 교집합이 공집합이 아니라면, $S$를 정상 집합이라고 한다.

성질

연산에 대한 닫힘

클럽 집합들은 유한 교집합에 대하여 닫혀 있다. 즉, 기수 $\kappa$ 및 두 $\kappa$-클럽 집합 $C,C^{\prime }\subseteq \kappa$가 주어졌을 때, $C\cap C^{\prime }$ 역시 $\kappa$-클럽 집합이다. 즉, 클럽 집합들은 필터 기저를 이루며, 클럽 집합을 포함하는 집합들은 필터를 이룬다. 이를 $\kappa$의 클럽 필터(틀:Llang)라고 한다.

클럽 집합과 정상 집합의 교집합은 정상 집합이다. 즉, 기수 $\kappa$ 및 $\kappa$-정상 집합 $S\subseteq \kappa$와 $\kappa$-클럽 집합 $C\subseteq \kappa$가 주어졌을 때, $S\cap C$ 역시 정상 집합이다.

솔로베이 분할

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 정칙 비가산 기수 $\kappa$
• 정상 집합 $S\subseteq \kappa$

그렇다면, 솔로베이 정상 집합 분할 정리(Solovay定常集合分割定理, 틀:Llang)에 따르면, $S$는 $\kappa$개의 정상 집합들로 분할될 수 있다.

포도르 정리

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 정칙 비가산 기수 $\kappa$
• 정상 집합 $S\subseteq \kappa$
• 함수 $f:S\to \kappa$

또한, 다음이 성립한다고 하자.

• 임의의 $0<\alpha \in S$에 대하여, $f(\alpha )<\alpha$

포도르 정리(틀:Llang)에 따르면, $f{|}_{S^{\prime }}={\alpha }^{\prime }$인 정상 부분 집합 $S^{\prime }\subseteq S$와 순서수 ${\alpha }^{\prime }<\kappa$가 존재한다.틀:Rp

말로 기수

$\kappa$-정상 집합들의 모임을 ${𝔖}_{\kappa }$로 표기하자.

기수의 모임 $\mathrm{Card}$의 부분 모임 $P\subseteq \mathrm{Card}$에 대하여, 다음과 같은 모임을 정의할 수 있다.

$\kappa \in \mathrm{Mahlo}(P)⟺(\kappa \in P)\wedge (\kappa \cap P\in {𝔖}_{\kappa })\wedge \mathrm{cf}(\kappa )>\omega$

이를 말로 연산(Mahlo演算, 틀:Llang)이라고 한다.틀:Rp

기수 $\kappa$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 기수를 말로 기수(Mahlo基數, 틀:Llang)라고 한다.

• 만약 $P$가 도달 불가능한 기수의 모임일 경우, $\kappa \in \mathrm{Mahlo}(P)$이다.틀:Rp
• 임의의 $R\subseteq V_{\kappa }$에 대하여, $⟨V_{\alpha },\in ,R\cap V_{\alpha }⟩\prec ⟨V_{\kappa },\in ,R⟩$가 되는 도달 불가능한 기수 $\alpha <\kappa$가 존재한다.틀:Rp

여기서 $V_{\alpha }$는 폰 노이만 전체의 단계이며, $⟨V_{\kappa },\in ,R⟩$는 이항 연산 $\in$과 상수 기호 $R$를 갖춘 구조이며, $\prec$는 기본 매장의 존재를 의미한다.

마찬가지로, 만약 $P$가 약하게 도달 불가능한 기수의 모임일 경우, $\mathrm{Mahlo}(P)$의 원소를 약한 말로 기수(弱-Mahlo基數, 틀:Llang)라고 한다.틀:Rp 일반화 연속체 가설을 가정한다면 약하게 도달 불가능한 기수의 개념은 도달 불가능한 기수의 개념과 일치하므로,틀:Rp 마찬가지로 약한 말로 기수의 개념은 말로 기수의 개념과 일치한다.

말로 연산은 다음과 같이 초한 귀납법으로 반복할 수 있다.

${\mathrm{Mahlo}}^{\alpha }(P)=\{\begin{array}{cc}\mathrm{Mahlo}({\mathrm{Mahlo}}^{\beta }(P))& \beta +1=\alpha \\ P\cap \bigcap _{\beta <\alpha }{\mathrm{Mahlo}}^{\beta }(P)& \nexists \beta \in \mathrm{Ord}:\beta +1=\alpha \end{array}$

이를 사용하여, $\alpha$-말로 기수의 개념을 정의할 수 있다. 즉, 0-말로 기수는 도달 불가능한 기수이며, 1-말로 기수는 말로 기수이다.

말로 기수는 큰 기수의 일종이다. 즉, 말로 기수의 존재 또는 부재는 체르멜로-프렝켈 집합론+선택 공리(ZFC)로부터 증명할 수 없다. (이는 물론 ZFC가 무모순적이라는 것을 전제로 한다.)

기수에 대하여, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다. (즉, 이는 무모순성 관계보다 더 강하다.)

도달 불가능한 기수 ⇐ 말로 기수 ⇐ 약콤팩트 기수 ⇐ 강콤팩트 기수

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.틀:Rp

$\mathrm{Inaccble}\supseteq \mathrm{Mahlo}(\mathrm{Inaccble})\supseteq \mathrm{Measble}\supseteq \mathrm{Mahlo}(\mathrm{Measble})\supseteq \mathrm{Supercomp}\supseteq \mathrm{Mahlo}(\mathrm{Supercomp})\supseteq \mathrm{Extble}\supseteq \mathrm{Mahlo}(\mathrm{Extble})\supseteq \mathrm{Superhuge}$

여기서

• $\mathrm{Inaccble}$: 도달 불가능한 기수의 모임
• $\mathrm{Measble}$: 가측 기수의 모임
• $\mathrm{Supercomp}$: 초콤팩트 기수의 모임
• $\mathrm{Extble}$: 확장 가능 기수(틀:Llang)의 모임
• $\mathrm{Superhuge}$: 초거대 기수(틀:Llang)의 모임

다이아몬드 원리

기수 $\kappa$ 및 $\kappa$-정상 집합 $S\subseteq \kappa$에 대하여, $(\kappa ,S)$-다이아몬드 집합렬(틀:Llang) $A:S\to 𝒫(\kappa )$은 다음 조건을 만족시키는 함수이다.

• 임의의 $\alpha \in S$에 대하여, $A_{\alpha }\subseteq \alpha$
• 임의의 $T\subseteq \kappa$에 대하여, $\{\alpha \in S:T\cap \alpha =A_{\alpha }\}$는 $\kappa$-정상 집합이다.

$(\kappa ,S)$-다이아몬드 원리($(\kappa ,S)$-diamond原理, 틀:Llang) ${\mathrm{♢}}_{\kappa }(S)$는 $(\kappa ,S)$-다이아몬드 집합렬이 존재한다는 명제이다.

${\mathrm{♢}}_{{\omega }_1}({\omega }_1)$은 흔히 다이아몬드 원리 $\mathrm{♢}$라고 표기한다.

구성 가능성 공리는 다이아몬드 원리를 함의하며, 다이아몬드 원리는 수슬린 가설의 부정 및 연속체 가설을 함의한다.

$V=L⟹\mathrm{♢}⟹(\mathrm{\neg }𝖲𝖧\wedge 𝖢𝖧)$

즉, 이는 체르멜로-프렝켈 집합론+선택 공리로 증명하거나 반증할 수 없다.

역사

1911년에 프리드리히 파울 말로(틀:Llang, 1883~1971)가 약한 말로 기수의 개념을 "ρ₀-수"(틀:Llang)라는 이름으로 1911년에 도입하였다.

정상 집합의 개념은 제라르 블로크(틀:Llang)가 1953년에 도입하였다.틀:Rp

포도르 정리는 포도르 게저(틀:Llang, 1927~1977)가 1956년에 증명하였다. 솔로베이 정상 집합 분할 정리는 로버트 솔로베이가 1971년에 증명하였다.

다이아몬드 원리는 로널드 비언 젠슨(틀:Llang, 1936~)이 1972년에 도입하였다.

"클럽 집합"(틀:Llang)이라는 이름은 영어로 "닫힌집합이자 비유계 집합"(틀:Llang)의 머리글자를 딴 것이다.틀:Rp

외부 링크

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