극점 (기하학)

하늘색으로 칠해진 콤팩트 볼록 집합의 극점들은 붉게 칠해진 점들이다. 크레인-밀만 정리에 따라, 이 극점들의 볼록 폐포는 원래 볼록 집합과 같다.

기하학에서 극점(極點, 틀:Llang)은 어떤 볼록 집합 속의 점 가운데, 다른 두 점의 볼록 선형 결합으로 나타낼 수 없는 것이다. 즉, 볼록 집합의 일종의 ‘귀퉁이’에 해당한다. 크레인-밀만 정리(Крейн-Мильман定理, 틀:Llang)에 따르면, 실수 국소 볼록 공간의 콤팩트 볼록 집합은 그 극점들의 볼록 폐포와 같다. 쇼케 정리(Choquet定理, 틀:Llang)에 따르면, 거리화 가능 콤팩트 볼록 집합 속의 임의의 점은 그 극점 집합 위에 정의된 확률 측도의 무게 중심으로 나타내어진다.

정의

실수 벡터 공간 $V$ 속의 볼록 집합 $S$의 부분 집합 $F\subseteq S$가 다음 두 조건을 만족시킨다면, 면(面, 틀:Llang)이라고 한다.틀:Rp

• 공집합이 아니다.
• 임의의 두 $x,y\in S$ 및 $0<t<1$에 대하여, 만약 $tx+(1-t)y\in F$라면, $x,y\in F$이다.

실수 벡터 공간 $V$ 속의 볼록 집합 $S$ 속의 점 $x\in S$에 대하여, 만약 $\{x\}$가 $S$의 면이라면, $x$를 $S$의 극점이라고 한다.틀:Rp틀:Rp틀:Rp

$S$의 극점의 집합을 $ℰ(S)$로 표기하자.

극점 계수

보다 일반적으로, 실수 벡터 공간 $V$ 속의 볼록 집합 $S$ 속의 점 $x\in S$의 극점 계수(틀:Llang)는 다음과 같은 자연수이다.

$\mathrm{ext}(x)=\min \{k:x=\sum _{i=0}^k{t}_i{y}_i,k\in {\mathbb{Z}}^{+},y_0,\dots ,y_k\in S,(t_0,\dots ,t_k)\in \mathrm{int}({\mathrm{\Delta }}^k)\}$

여기서, 임의의 양의 정수 $k\in {\mathbb{Z}}^{+}$에 대하여

$\mathrm{int}({\mathrm{\Delta }}^k)\subseteq ({ℝ}^{+}{)}^{k+1}$

$(t_0,\dots ,t_k)\in \mathrm{int}({\mathrm{\Delta }}^k)\stackrel{\text{def}}{⟺}{t}_0+\cdots +t_k=1$

는 $k$차원 단체의 내부이다. 특히, $\mathrm{int}({\mathrm{\Delta }}^0)=\{1\}$이며, 임의의 $x\in S$는 $x=1x$로 나타내어지므로 항상 $\mathrm{ext}(x)\ge 0$이다.

이 경우, 만약 $\mathrm{ext}(x)=n$이라면 $x$를 $n$-극점이라고 하자. 즉, 극점의 개념은 0-극점의 개념과 같다.

성질

임의의 실수 벡터 공간 $V$의 볼록 집합 $K\subseteq V$의 면들의 족 $(F_i{)}_{i\in I}$에 대하여, 그 교집합 $\bigcap _{i\in I}{F}_i$는 공집합이 아니라면 항상 면이다.

증명:

임의의 $x,y\in K$ 및 $t\in (0,1)$에 대하여,

$\mathrm{\forall }i\in I:tx+(1-t)y\in F_i$

라고 하자. 그렇다면, 면의 정의에 따라서 $\mathrm{\forall }i\in I:x,y\in F$이며, 따라서 $x,y\in \bigcap _{i\in I}{F}_i$이다.

존재

임의의 하우스도르프 실수 국소 볼록 공간 $V$ 속의, 공집합이 아닌 콤팩트 볼록 집합 $\varnothing \ne K\subseteq V$의 닫힌 면 $F\subseteq K$에 대하여, $F$에 속하는 $K$의 극점이 (적어도 하나 이상) 존재한다.틀:Rp

증명:

$K$의 닫힌 면들의 (부분 집합 관계의 반대 관계에 대한) 부분 순서 집합 $(ℱ,\supseteq )$을 생각하자. 초른 보조정리를 사용할 경우, 다음 두 명제를 보이면 족하다.

• $(ℱ,\subseteq )$는 닫힌 부분 순서 집합이다.
  • 증명: 닫힌 면들의 사슬 $(F_i{)}_{i\in I}$의 경우, $\bigcap _{i\in I}{F}_i$는 (칸토어의 교점 정리에 의하여) 공집합이 아니며, (면들의 교집합은 공집합 또는 면이므로) 면이며, (닫힌집합의 교집합은 닫힌집합이므로) 닫힌집합이다.
• $(ℱ,\supseteq )$의 최대 원소는 한원소 집합이다.
  • 증명: 임의의 닫힌 면 $F\subseteq K$가 서로 다른 두 점 $x,y\in F$, $x\ne y$을 갖는다고 하자. 한-바나흐 정리에 따라, $\varphi (x)\ne \varphi (y)$인 실수 값 선형 범함수 $\varphi :V\to ℝ$가 존재한다. $F$가 콤팩트 집합이므로 $\varphi (F)$는 최댓값을 갖는다. 따라서 $G={\varphi }^{-1}(\underset{x\in F}{\max }\varphi (x))$는 공집합이 아니며, 닫힌집합이며, 또한 면을 이룬다. 또한, $\varphi (x)\ne \varphi (y)$이므로, $G$는 $x$와 $y$를 둘 다 포함할 수 없다. 즉, $G⊊F$이다. 이에 따라, $F$는 $(ℱ,\supseteq F)$의 최대 원소가 될 수 없다.

극점의 볼록 폐포

임의의 실수 벡터 공간 $V$ 속의 볼록 집합 $S$ 속의 두 점 $x,y\in S$ 및 $t\in (0,1)$에 대하여, 다음이 성립한다.

${\mathrm{ext}}_S(tx+(1-t)y)<{\mathrm{ext}}_S(x)+{\mathrm{ext}}_S(y)$

크레인-밀만 정리에 따르면, 임의의 하우스도르프 실수 국소 볼록 공간 $V$ 속의 콤팩트 볼록 집합 $K\subseteq V$은 그 극점들의 볼록 폐포와 일치한다.

증명:틀:Rp틀:Rp

$K=\varnothing$은 자명하므로 $K\ne \varnothing$이라고 가정하자. $K$의 극점 집합 $ℰ(K)\subseteq K$를 생각하자. 자명하게 $\mathrm{co}(ℰ(K))\subseteq K$이다. (여기서 $\mathrm{co}(-)$는 볼록 폐포이다.) 따라서 $K\subseteq \mathrm{co}(ℰ(K))$를 보이면 족하다.

귀류법을 사용하여, $x\in K\setminus \mathrm{co}(ℰ(K))$라고 하자. 한-바나흐 정리에 의하여, $\{x\}$와 $\mathrm{co}(ℰ(K))$를 분리하는, 즉

$\underset{e\in \mathrm{co}(ℰ(K))}{\inf }\varphi (e)>\varphi (x)$

가 성립하는 실수 값 선형 범함수

$\varphi :{ℝ}^n\to ℝ$

가 존재한다. $K$가 콤팩트 볼록 집합이므로 그 상 $\varphi (K)$ 역시 콤팩트 볼록 집합, 즉 닫힌구간 $[s,t]\subseteq ℝ$이며, $s\le \varphi (e)c\le t$이다. 즉, $F={\varphi }^{-1}(t)$는 $K$의 닫힌 면이며, 정의에 따라 $F\cap \mathrm{co}(ℰ(K))=\varnothing$이다. 그런데 $F$에 속하는 $K$의 극점이 존재한다. 즉, $\varnothing \ne F\cap ℰ(K)\subseteq F\cap \mathrm{co}(ℰ(K))$이며, 이는 모순이다.

체르멜로-프렝켈 집합론과 불 대수 소 아이디얼 정리를 가정할 때, 하우스도르프 국소 볼록 공간에 대한 크레인-밀만 정리는 선택 공리와 동치이다.

또한, 에드거 정리(틀:Llang)에 따르면, 반사 바나흐 공간 $V$ 속의 임의의 유계 볼록 닫힌집합 $K$는 스스로의 극점의 볼록 폐포와 일치한다. (일반적으로, 유계 닫힌집합인 것은 콤팩트 집합인 것보다 더 약한 조건이다.)

밀만 정리(틀:Llang)에 따르면, 하우스도르프 실수 국소 볼록 공간 $V$ 속의 콤팩트 볼록 집합 $K\subseteq V$의 부분 집합 $T\subseteq K$에 대하여, 만약 $T$를 포함하는 최소의 볼록 닫힌집합이 $K$라면, $K$의 모든 극점은 $T$의 폐포에 속한다.틀:Rp

극점 위의 측도

임의의 실수 위상 벡터 공간 $V$ 속의 콤팩트 집합 $K\subseteq V$ 속의 베르 집합 $A\in \mathrm{Baire}(K)$ 및 측도 $\mu :\mathrm{Baire}(A)\to [0,\mathrm{\infty }]$ 및 $v\in V$가 주어졌을 때, 만약

$\mathrm{\forall }f\in V^{*}:f(x_0)=\underset{A}{\int }\varphi \mathrm{d}\mu$

가 성립한다면, $v$를 $\mu$의 무게 중심(-中心, 틀:Llang)이라고 하자. (여기서 $V^{*}$는 연속 쌍대 공간이다.)

다음이 주어졌다고 하자.

• 하우스도르프 실수 국소 볼록 공간 $V$
• $V$ 속의 거리화 가능 콤팩트 볼록 집합 $K\subseteq V$

그렇다면, 쇼케 정리(틀:Llang)에 따르면 다음이 성립한다.틀:Rp

• $K$의 극점의 집합 $ℰ(K)$는 $K$의 보렐 집합이다.
• 임의의 $x\in K$에 대하여, $x$를 무게 중심으로 갖는 확률 측도 $\mu :\mathrm{Baire}(ℰ(K))\to [0,1]$가 존재한다.

예

한원소 집합의 유일한 점은 0-극점이다.

유클리드 공간 ${ℝ}^n$ 속에서, 닫힌 공

$\mathrm{cl}({\mathrm{ball}}_{{ℝ}^n}(\overrightarrow{0},1))=\{\overrightarrow{v}\in {ℝ}^n:\Vert \overrightarrow{v}\Vert \le 1\}$

의 0-극점들은 초구

${𝕊}^{n-1}=\{\overrightarrow{v}\in {ℝ}^n:\Vert \overrightarrow{v}\Vert =1\}$

이며, 나머지 모든 점(열린 공)은 1-극점이다.

비(非)유계 집합에 대한 크레인-밀만 정리의 반례

실수선 $ℝ$ 속의 닫힌 반직선

${ℝ}_{\ge }=\{t\in ℝ:t\ge 0\}$

은 닫힌집합이며 볼록 집합이지만 유계 집합이 아니다. 그 속의 0-극점들은 $0\in {ℝ}_{\ge }$ 밖에 없으며, 나머지 점들은 모두 1-극점들이다. 이 경우 $\{0\}$의 볼록 폐포는 $\{0\}\ne {ℝ}_{\ge }$이므로, 크레인-밀만 정리가 실패한다.

보다 일반적으로, $n$차원 유클리드 공간 속의 닫힌 반공간

${ℝ}_{\ge }\times {ℝ}^{n-1}\subseteq {ℝ}^n$

은 $k\le n-2$일 경우 $k$-극점을 갖지 않는다. 구체적으로, 경계의 점

$x\in \partial ({ℝ}_{\ge }\times {ℝ}^{n-1})=\{0\}\times {ℝ}^{n-1}$

은 $n-1$-극점이며, 나머지 점들은 $n$-극점이다.

비(非) 국소 볼록 공간에 대한 크레인-밀만 정리의 반례

크레인-밀만 정리가 성립하지 않는 콤팩트 볼록 집합을 가지는, 완비 거리화 가능 실수 위상 벡터 공간이 존재한다.

역사

유클리드 공간에 대한 크레인-밀만 정리는 헤르만 민코프스키가 20세기 초에 증명하였다.

바나흐 공간에 대한 크레인-밀만 정리는 마르크 크레인과 다비트 핀후소비치 밀만(틀:Llang, 틀:Llang, 1912~1982)이 1940년에 증명하였다.틀:Rp

밀만 정리는 밀만이 1947년에 증명하였다.

쇼케 정리는 귀스타브 쇼케(틀:Llang, 1915~2006)가 증명하였다.

외부 링크

• 틀:매스월드
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• 틀:매스월드
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• 틀:서적 인용