균등 비압축성 오일러 방정식

틀:위키데이터 속성 추적 유체 동역학에서, 균등 비압축성 오일러 방정식(均等非壓縮性Euler方程式, 틀:Llang)은 비압축성 비점성 유체를 다루는 편미분 방정식이다. 보다 일반적인 오일러 방정식에서, 유체의 밀도가 상수 함수인 경우이다.

정의

리만 계량을 갖춘 경계다양체 $(M,g)$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 위의 균등 비압축성 오일러 방정식은 어떤 시간 의존 스칼라장

$p:ℝ\times M\to ℝ$

$p:(t,x)\mapsto p(t,x)$

과 시간 의존 벡터장

$u:ℝ\times M\to \mathrm{T}M$

$u:(t,x)\mapsto u(t,x)\in {\mathrm{T}}_{x}M$

에 대한, 다음과 같은 1차 편미분 방정식이다.틀:Rp틀:Rp

$(\frac{\partial u}{\partial t}+{\mathrm{\nabla }}_u)u=-(\mathrm{d}p{)}^{\mathrm{♯}}$

${ℒ}_u\mathrm{vol}=0$

$u\upharpoonright \partial M\in \mathrm{\Gamma }(\mathrm{T}{\partial }_M)$

여기서

• $(-{)}^{\mathrm{♯}}:{\mathrm{\Omega }}^1(M)\to 𝔙𝔢𝔠𝔱(M)$은 음악 동형의 하나이며, 1차 미분 형식을 벡터장으로 대응시킨다. 즉, $(\mathrm{d}p{)}^{\mathrm{♯}}$는 스칼라장 $p$의 기울기 벡터장이다. 이 연산을 정의하려면 리만 계량이 필요하다.
• $\mathrm{vol}$은 리만 계량 $g$로 정의된 부피 형식이다. (만약 $M$이 비가향 다양체라도 이는 국소적으로 정의되며, 방향은 중요하지 않다.)
• ${ℒ}_u$는 (국소적으로 정의된 미분 형식의) 리 미분이다.
• 방정식 $\partial L_u\mathrm{vol}=0$은 벡터장 $u$의 발산이 0임을 뜻한다.
• $\partial M$은 경계다양체 $M$의 경계이다.
• $\mathrm{T}\partial M$은 경계 $\partial M$의 접다발이다. $\mathrm{\Gamma }(\mathrm{T}\partial M)$은 그 단면의 집합이며, 이는 $M$의 경계에 평행한 접벡터들로 구성된다.
• $u\upharpoonright \partial M\in \mathrm{\Gamma }(\mathrm{T}\partial M)$은 경계다양체 $M$ 위에 정의된 벡터장 $u$가 $M$의 경계 $\partial M$에서 경계와 평행함을 뜻한다.

$p$는 보통 변수가 아니라 주어진 배경장으로 취급한다. 오일러 방정식에는 $p$의 도함수만이 등장하므로, 만약 어떤 상수 $p_0$에 대하여 $p(t,x)\mapsto p(t,x)+p_0$와 같이 치환하더라도 $v$의 해는 바뀌지 않는다. 또한, 만약 둘째 및 셋째 방정식을 만족시키는 (즉, 경계에 평행한 무발산 벡터장 $v$가 주어지면), $p$는 상수항을 무시하면 유일하게 결정된다.

물리학적 해석

이 방정식은 물리학적으로 다음과 같이 해석된다.

기호	물리학적 해석	단위
$M$	유체가 존재하는 공간	[길이]
$\partial M$	유체가 존재하는 공간의 벽	[길이]
$ℝ$	시간	[시간]
$u(t,x)$	시각 $t\in ℝ$에서, 위치 $x\in M$에서의 유체의 속도	[길이] [시간]−1
$p(t,x)$	압력 ÷ 밀도	[길이]2 [시간]−2
$\frac{\partial }{\partial t}+{\mathrm{\nabla }}_v$	물질 미분(틀:Llang) $\mathrm{D}$. 공간의 절대 좌표 대신, 공간 속을 움직이는 주어진 유체 입자에 대한 미분	[시간]−1
$(\frac{\partial }{\partial t}+{\mathrm{\nabla }}_v)=-(\mathrm{d}p{)}^{\mathrm{♯}}$	유체의 입자에 대한 뉴턴의 제2법칙. 즉, 단위 부피 속의 유체 입자의 가속도는 이에 가해진 힘 ÷ 질량에 비례함
${ℒ}_u\mathrm{vol}=0$	유체의 소용돌이도(와도, 渦度, 틀:Llang)가 0임. 즉, 소용돌이가 존재하지 않음
$u\upharpoonright \partial M\in \mathrm{\Gamma }(\mathrm{T}\partial M)$	유체가 벽에 힘을 가하지 않음

물리학에서는 보통 압력 $p(t,x)$를 중력 퍼텐셜 $\varphi$와 질량당 일 $w$로 구분한다.

$p(t,x)=\varphi (t,x)+w(t,x)$

즉,

$-(\mathrm{d}p{)}^{\mathrm{♯}}=-(\mathrm{d}w{)}^{\mathrm{♯}}+g$

이다. 여기서 $g=-(\mathrm{d}\varphi {)}^{\mathrm{♯}}$는 중력 퍼텐셜 $\varphi$에 대응하는 중력장이다.

측지선 방정식으로의 형태

오일러 방정식은 어떤 무한 차원 다양체 위의 측지선 방정식으로 표현될 수 있다.틀:Rp

구체적으로, $(M,g)$이 콤팩트 리만 경계다양체라고 하고, $M$의 자기 미분 동형

$f:M\to M$

$f(\partial M)\to (\partial M)$

들의 공간

$\mathrm{Diff}(M)={𝒞}^{\mathrm{\infty }}(M,M)$

을 생각하자. 이는 프레셰 다양체를 이루는 리 군이다. 그 실수 리 대수는 $M$ 위의 벡터장의 리 대수

$𝔙𝔢𝔠𝔱(M)$

이다. 이는 리만 계량으로부터 양의 정부호 이차 리 대수를 이룬다. 따라서, 이로부터 ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}(M,M)$ 위에 오른쪽 평행 이동 불변 리만 계량을 부여할 수 있다.

$\mathrm{Diff}(M)$ 가운데, 부피를 보존하는 미분 동형들로 구성된 부분군

$\mathrm{SDiff}(M)\subseteq \mathrm{Diff}(M)$

$\mathrm{SDiff}(M)=\{f\in \mathrm{Diff}(M):f^{*}\left|\mathrm{vol}\right|=\left|\mathrm{vol}\right|\}$

이다. 여기서 $\left|\mathrm{vol}\right|=\sqrt{\det g}{\mathrm{d}}^{\dim M}x$은 리만 계량 $g$로 주어지는 부피 밀도이다. 이에 대응되는 실수 리 대수는

$𝔖𝔙𝔢𝔠𝔱(M)=\{u\in 𝔙𝔢𝔠𝔱(M):{ℒ}_u\left|\mathrm{vol}\right|=\left|\mathrm{vol}\right|,u\upharpoonright \partial M\in 𝔙𝔢𝔠𝔱(\partial M)\}$

이며, 이는 발산이 0인 벡터장들의 부분 리 대수이다. 그 연속 쌍대 공간의 매끄러운 부분 공간은 다음 공간과 표준적으로 동형이다.

$𝔖𝔙𝔢𝔠𝔱(M{)}^{*}\cong {\mathrm{\Omega }}^1(M)/\mathrm{d}{\mathrm{\Omega }}^0(M)$

여기서 ${\mathrm{\Omega }}^i(M)$는 미분 형식의 공간이다. 사실, 리만 계량의 음악 동형을 사용하면, 동치류 공간 ${\mathrm{\Omega }}^1(M)/\mathrm{d}{\mathrm{\Omega }}^0(M)$의 각 동치류에서 표준적인 대표원을 고를 수 있다.

이제, $𝔖𝔙𝔢𝔠𝔱(M)$ 위에 다음과 같은 불변 양의 정부호 이차 형식을 부여할 수 있다.

$⟨v|v⟩=\frac{1}{2}\underset{M}{\int }g(v,v)\left|\mathrm{vol}\right|$

이는 유체의 (밀도당) 운동 에너지로 해석될 수 있다. 이는 프레셰 리 군 $\mathrm{SDiff}(M)$ 위의 리만 계량을 정의한다.

이 경우, 오일러 방정식은 $\mathrm{SDiff}(M)$ 위의 측지선 방정식과 같다. 구체적으로, 오일러 방정식의 해 $u$가 주어졌을 때,

$\varphi (0,x)=x$

$\frac{\partial }{\partial t}\varphi (t,x)=u(t,x)$

를 정의하자. (물리학적으로, 이는 초기 위치가 $x$였던 유체 입자의, 시각 $t$에서의 위치를 뜻한다.) 그렇다면,

$\varphi :ℝ\to \mathrm{Diff}(M)$

이며, 둘째 및 셋째 오일러 방정식에 따라서

$u\in 𝔖𝔙𝔢𝔠𝔱(M)$

이므로

$\varphi :ℝ\to \mathrm{SDiff}(M)$

이다. 첫째 오일러 방정식은

$\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\varphi (t,x)=-(\mathrm{d}p{|}_{t,\varphi (t,x)}{)}^{\mathrm{♯}}$

인데, 항상 부분 적분에 따라

$\underset{M}{\int }⟨\mathrm{d}p,v⟩=0\mathrm{\forall }v\in 𝔖𝔙𝔢𝔠𝔱(M)$

이다. 다시 말하여, 첫째 오일러 방정식은

${\mathrm{\nabla }}_{u}u=0$

을 함의한다. 여기서 ${\mathrm{\nabla }}_u$는 프레셰 다양체 $\mathrm{SDiff}(M)$ 위의, $u$ 방향의 공변 미분이다.

해밀턴 방정식으로의 형태

오일러 방정식은 또한 무한 차원 선형 푸아송 다양체 위의 해밀턴 방정식으로 간주할 수 있다.틀:Rp

$M$이 (경계가 없는) 콤팩트 매끄러운 다양체라고 하자. $𝔖𝔙𝔢𝔠𝔱(M)$의 연속 쌍대 공간(의 매끄러운 부분 공간)

$𝔖𝔙𝔢𝔠𝔱(M{)}^{*}\cong {\mathrm{\Omega }}^1(M)/\mathrm{d}{\mathrm{\Omega }}^0(M)$

이 주어졌다고 하자. 이는 리 대수의 연속 쌍대 공간(의 부분 공간)이므로, 자연스럽게 선형 푸아송 다양체를 이루며, 그 푸아송 괄호는 다음과 같다.틀:Rp

$\{{\alpha }_i(x),{\alpha }_j(y)\}=({\partial }_j{\alpha }_i-{\partial }_i{\alpha }_j)\delta (x-y)$

그렇다면, 여기에는 $𝔖𝔙𝔢𝔠𝔱(M)$ 위의 양의 정부호 쌍선형 형식

$⟨u,u^{\prime }⟩=\underset{M}{\int }g(u,u^{\prime })$

으로부터 자연스러운 이차 형식틀:Rp

$H:{\mathrm{\Omega }}^1(M)/\mathrm{d}{\mathrm{\Omega }}^0(M)\to ℝ$

$H([\alpha ])=\underset{M}{\int }{g}^{-1}(\alpha ,\alpha )$

을 정의할 수 있다. 이를 푸아송 다양체 위의 해밀토니언으로 삼아, 다음과 같은 해밀턴 방정식을 적을 수 있다.틀:Rp틀:Rp

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}[\alpha ]=-{ℒ}_{{\alpha }^{\mathrm{♯}}}[\alpha ]$

여기서

• $[\alpha ]\in {\mathrm{\Omega }}^1(M)/\mathrm{d}{\mathrm{\Omega }}^1(M)$은 $M$ 위의 1차 미분 형식의 동치류이다.
• $\alpha \in {\mathrm{\Omega }}^1(M)$은 (음악 동형에 대한) 벡터장 ${\alpha }^{\mathrm{♯}}$의 발산이 0인 (${ℒ}_{{\alpha }^{\mathrm{♯}}}\mathrm{vol}=0$) 유일한 대표원 $\alpha \in [\alpha ]$이다.
• ${ℒ}_{{\alpha }^{\mathrm{♯}}}$는 벡터장 ${\alpha }^{\mathrm{♯}}$에 대한 리 미분이다.

구체적으로, 이 방정식은 ${\mathrm{\Omega }}^1(M)/\mathrm{d}{\mathrm{\Omega }}^0(M)$에 정의된다. 이를 ${\mathrm{\Omega }}^1(M)$ 위에 제약(틀:Llang)을 가한 계로 생각할 수 있다. 이 경우, ${\alpha }^{\mathrm{♯}}\in 𝔖𝔇𝔦𝔣𝔣(M)$인 임의의 1차 미분 형식 $\alpha \in {\mathrm{\Omega }}^1(M)$에 대하여, 해밀턴 방정식은 다음과 같다.틀:Rp틀:Rp

$\frac{\partial }{\partial t}\alpha (t,x)=-{ℒ}_{{\alpha }^{\mathrm{♯}}}\alpha (t,x)-\mathrm{d}p(t,x)$

여기서 $p\in {𝒞}^{\mathrm{\infty }}(ℝ\times M,ℝ)$은 $u$의 제약을 위한 보정항이다.

이 방정식은 오일러 방정식과 동치이다.틀:Rp 즉, 속도장 $u\in 𝔖𝔙𝔢𝔠𝔱(M)$에 대하여 음악 동형으로

$\alpha =u^{\mathrm{♭}}$

로 놓으면,

$\frac{\partial }{\partial t}u=-{\mathrm{\nabla }}_{u}u-(\mathrm{d}p{)}^{\mathrm{♯}}$

가 되어, 오일러 방정식을 얻는다.

성질

$M$이 (경계가 없는) 콤팩트 유향 매끄러운 다양체라고 하자.

만약 $M$이 홀수 차원이라고 하자. 그렇다면, 임의의 원소 $u\in {\mathrm{\Omega }}^1(M)$에 대하여, 다음과 같은 값을 정의할 수 있다.

$I(u)=\underset{M}{\int }u\wedge (\mathrm{d}u{)}^{(\dim M-1)/2}$

그렇다면, 임의의 $\varphi \in {𝒞}^{\mathrm{\infty }}(M,ℝ)$에 대하여

$I(u)=I(u+\mathrm{d}\varphi )$

이므로, 이는 사실 ${\mathrm{\Omega }}^1(M)/\mathrm{d}{\mathrm{\Omega }}^0(M)$ 위의 실수 값 함수를 정의한다.

$I:\frac{{\mathrm{\Omega }}^1(M)}{\mathrm{d}{\mathrm{\Omega }}^0(M)}\to ℝ$

마찬가지로, 만약 $M$이 짝수 차원이라고 하고, 그 위에 부피 형식 $\omega \in {\mathrm{\Omega }}^{\dim M}(M)$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 원소 $u\in {\mathrm{\Omega }}^1(M)$ 및 임의의 다항식 $P\in ℝ[x]$에 대하여, 다음과 같은 값을 정의할 수 있다.

$\tilde{P}(u)=\underset{M}{\int }P\left(\frac{(\mathrm{d}u{)}^{(\dim M)/2}}{\omega }\right)\omega$

이 역시 마찬가지로 실수 값 함수

$\tilde{P}:\frac{{\mathrm{\Omega }}^1(M)}{\mathrm{d}{\mathrm{\Omega }}^0(M)}\to ℝ$

를 정의한다.

공간

${\mathrm{\Omega }}^1(M)/\mathrm{d}{\mathrm{\Omega }}^0(M)\cong 𝔖𝔙𝔢𝔠𝔱(M{)}^{*}$

은 리 대수의 쌍대 공간이므로, 이를 선형 푸아송 다양체로 여길 수 있으며, 특히 리 군 $\mathrm{SDiff}(M)$의 쌍대딸림표현을 갖는다. $I$와 $\tilde{P}$는 $\mathrm{SDiff}(M)$의 작용에 대하여 불변량이며, 따라서 이 위의 해밀턴 방정식인 오일러 방정식의 운동 상수이다.틀:Rp 특히, 홀수 차원의 경우, $I$는 $M$ 위의 리만 계량이나 부피 형식에 의존하지 않으므로, 이는 임의의 리만 계량에 대한 오일러 방정식의 운동 상수를 이룬다. 짝수 차원의 경우, $\tilde{P}$는 $M$의 부피 형식에만 의존하므로, 이는 같은 부피 형식을 정의하는 서로 다른 리만 계량에 대한 오일러 방정식의 무한히 많은 운동 상수들을 이룬다.

예

실수선 위의 1차원 균등 비압축성 오일러 방정식을 생각하자. 이 경우, 오일러 방정식은 버거스 방정식(틀:Llang)이라고 하며, 다음과 같다.

$0=\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{1}{2}\frac{\partial (u^2)}{\partial x}$

이는 특성곡선법으로 간단히 풀 수 있다. 특성 곡선의 방정식은

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}x(t)=u(t,x(t))$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}u(t,x(t))=0$

이다. 둘째 방정식에 의하여, 어떤 한 특성 곡선 위에서 속도 $u$는 상수이며, 첫째 방정식에 의하여 특성 곡선은 다음과 같은 꼴이다.

$x(t)=u_{0}t+x_0(u_0,x_0\in ℝ)$

즉, 일반해는 다음과 같이 주어진다.

$u(x,t)=f(x-u(t,x)t)$

여기서 $f$는 $u$의 초기 조건인 임의의 $ℝ\to ℝ$ 함수이다.

만약 $f(x)=ax+b$일 때, 그 해는 다음과 같다.

$u(x,t)=\frac{ax+b}{at+1}$

역사

오일러 방정식은 레온하르트 오일러가 1757년에 발표하였으며, 최초로 연구된 편미분 방정식 가운데 하나이다. 버거스 방정식은 얀 버거스(틀:Llang)의 이름을 땄다.