특성곡선법

틀:위키데이터 속성 추적 해석학에서 특성곡선법(特性曲線法, 틀:Llang)은 1차 편미분 방정식을 연립 1차 상미분 방정식으로 환원하여 푸는 방법이다.

정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• $n$차원 매끄러운 다양체 $M$
• $M$ 위의 두 매끄러운 벡터 다발 $E,F\twoheadrightarrow M$
• $M$ 위의 $k$차 미분 연산자 $D:{\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(M,E)\to {\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(M,F)$

$D$의 주표상이 국소 좌표계에서

${\sigma }_D(x,v)=P^{{\mu }_1\dots {\mu }_k}{v}_{{\mu }_1}\cdots v_{{\mu }_k}(x\in M,v\in {\mathrm{T}}_x^{*}M,P^{{\mu }_1\dots {\mu }_k}\in \mathrm{GL}(E_x,F_x;ℝ))$

라고 하자. 이는 벡터 다발 사상

${\sigma }_D:E\otimes {\mathrm{Sym}}^k({\mathrm{T}}^{*}M)\to F$

를 정의한다. (${\mathrm{Sym}}^k$는 올별 $k$차 대칭 대수 벡터 다발이다.) 이 벡터 다발 사상의 핵, 즉

$\ker {\sigma }_D=\{(x,u)\in {\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(E\otimes {\mathrm{Sym}}^k({\mathrm{T}}^{*}M):{\sigma }_D(x,u)=0\}\subseteq E\otimes {\mathrm{Sym}}^k({\mathrm{T}}^{*}M)$

을 $s$의 특성점의 집합이라고 한다.

임의의 실수 값 매끄러운 함수

$h:M\to ℝ$

가 주어졌다고 하자. 이 경우, 각 $t\in ℝ$에 대하여 $h^{-1}(t)$는 (적절한 조건 아래) $n-1$차원 초곡면을 이룬다. 만약

${\sigma }_D(x,\mathrm{d}h{|}_x)=0$

일 경우, 각 $h^{-1}(t)$를 $D$의 특성 초곡면(틀:Llang)이라고 한다. 만약 $n=2$일 경우 이는 $D$의 특성 곡선(틀:Llang)이라고 하며, $n=3$일 경우 특성 곡면(틀:Llang)이라고 한다.

예

매끄러운 다양체 $M$ 위의 벡터장

$X\in {\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{T}M)$

이 주어졌다고 하자. 이에 대한 미분 연산자

$D={\mathrm{\nabla }}_X:{𝒞}^{\mathrm{\infty }}(ℝ)\to {𝒞}^{\mathrm{\infty }}(ℝ)$

를 생각하자. $D$의 특성 초곡면을 정의하는 함수 $h:M\to ℝ$는

$⟨X,\mathrm{d}h⟩=0$

을 만족시킨다.

예를 들어, 편의상 준 리만 계량 $g$를 부여하였을 때, 임의의 곡선 $\gamma :ℝ\to M$에 대하여, 그 상이 특성 곡선을 이룰 조건은

$g(X,\dot{\gamma })=0$

인 것이다. 이는 1차 상미분 방정식이다.

매우 구체적으로, $M={ℝ}^2=\{(x,y):x,y\in ℝ\}$이며 $X=p{\partial }_x+q{\partial }_y$라고 하자. 그렇다면 특성 곡선들은

$h(x,y)=qx-py$

로 정의되는 직선족 $(h^{-1}(t){)}_{t\in ℝ}$이다.

참고 문헌

• 틀:저널 인용

외부 링크

• 틀:Eom
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