거듭제곱근

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서, 거듭제곱근은 거듭제곱의 역연산이다. 승근(乘根), 누승근(累乘根) 또는 멱근(冪根)이라고도 한다. 구체적으로, 만약 $x^n=a$이라면, $x$가 $a$의 $n$제곱근이라고 한다. $a^2,a^3,a^4,a^5,\dots ,a^n\dots$($=a$의 제곱, $a$의 세제곱, $a$의 네제곱, $a$의 다섯제곱, ..., $a$의 $n$제곱, ...)을 통틀어 $a$의 거듭제곱이라고 하는 것처럼, $a$의 제곱근, $a$의 세제곱근, $a$의 네제곱근, $a$의 다섯제곱근, ... $a$의 $n$제곱근, ...을 통틀어 $a$의 거듭제곱근이라고 한다.

정의

양의 정수 $n$이 주어졌다고 하자. 실수 또는 복소수 $a$의 $n$제곱근(틀:Llang)은

$x^n=a$

인 실수 또는 복소수 $x$를 일컫는다. 여기서

$x^n=\underset{n}{\underbrace{x\times x\times \cdots \times x}}$

은 $x$의 $n$제곱이다.

실수의 거듭제곱근

임의의 실수 또는 복소수의 $n$제곱근은 (중복도를 감안할 때) 복소수 범위에서 $n$개가 있으며, $a\ne 0$인 경우 이들은 서로 다르다. 실수 $a\in ℝ$의 경우, 그 가운데 하나

$\sqrt[n]{a}\in ℝ$

를 다음과 같이 고를 수 있다. 만약 $a=0$인 경우, 0의 $n$제곱근은 0으로 유일하다.

$\sqrt[n]{0}=0$

만약 $a\ne 0$이며, $n$이 홀수라면, $a$의 $n$제곱근 가운데 실수인 하나 $\sqrt[n]{a}\in ℝ$가 유일하게 존재한다. 구체적으로, 실수의 완비성을 사용하여, 특정 부분 집합의 상한 또는 하한으로 정의할 수 있다.

$\begin{array}{cc}\sqrt[n]{a}& =\sup \{x\in ℝ:x^n<a\}\\ & =\inf \{x\in ℝ:x^n>a\}\end{array}$

만약 $a>0$이며, $n$이 짝수라면, $a$의 $n$제곱근 가운데 실수인 것은 둘이 존재하며, 서로 덧셈 역원이다. 이 가운데 양의 실수인 하나를 $\sqrt[n]{a}$로 정의하자. 그렇다면 나머지 하나는 $-\sqrt[n]{a}$이다. $\sqrt[n]{a}$의 구체적인 표현은 다음과 같다.

$\begin{array}{cc}\sqrt[n]{a}& =\sup \{x\in {ℝ}^{+}:x^n<a\}\\ & =\inf \{x\in {ℝ}^{+}:x^n>a\}\end{array}$

만약 $a<0$이며, $n$이 짝수라면, $a$의 $n$개의 $n$제곱근은 모두 실수가 아니다. $a$는 실수이므로, 복소수이다. 따라서, 복소수의 특별한 $n$제곱근을 고르는 방법을 사용한다.

복소수의 거듭제곱근

복소수 $a\in ℂ$의 $n$제곱근은 (중복도를 감안할 때) 복소수 범위에서 총 $n$개가 있으며, $a\ne 0$인 경우 이들은 서로 다르다. 이 가운데 하나가

$\sqrt[n]{a}\in ℂ$

라면, $n$개의 거듭제곱근들은 다음과 같다.

$\sqrt[n]{a}{\mathrm{e}}^{2k\pi \mathrm{i}/n}(k=0,1,\dots ,n-1)$

특별한 거듭제곱근 $\sqrt[n]{a}$를 고르는 방법은 유일하지 않다. 0이 아닌 복소수 $a\in ℂ\setminus \{0\}$를 그 절댓값 $|a|$과 편각 $\arg a$를 사용하여

$a=|a|{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\arg a}$

로 나타내자. 절댓값 $|a|$은 음이 아닌 실수이므로, 그 표준적인 실수 거듭제곱근 $\sqrt[n]{|a|}$를 고를 수 있다. 이 경우, $a$의 모든 $n$제곱근은 다음과 같다.

$\sqrt[n]{|a|}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(\arg a+2k\pi )/n}(k=0,1,\dots ,n-1)$

또한, $a$의 표준적인 거듭제곱근을 다음과 같이 고를 수 있다.

$\sqrt[n]{a}=\sqrt[n]{|a|}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\arg a/n}$

얼핏 $\sqrt[n]{a}$를 고르는 방법을 유일하게 결정한 것처럼 보이지만, 편각의 선택은 유일하지 않으므로 $\sqrt[n]{a}$를 고르는 방법은 유일하지 않다. 예를 들어, 편각

$\arg a\in (-\pi ,\pi ]$

에 대한 거듭제곱근과

$\arg a\in [0,2\pi )$

에 대한 거듭제곱근은 일반적으로 다르다.

용어와 표기법

작은 $n$에 대한 거듭제곱근은 다음과 같다.

• 만약 $n=2$인 경우, $a$의 $n$제곱근을 $a$의 제곱근이라고 하며, $\sqrt[2]{a}$ 대신 $\sqrt{a}$라고 쓴다.
• 만약 $n=3$인 경우, $a$의 $n$제곱근을 $a$의 세제곱근 $\sqrt[3]{a}$이라고 한다.
• 만약 $n=4$인 경우, $a$의 $n$제곱근을 $a$의 네제곱근(틀:Llang) $\sqrt[3]{a}$이라고 한다.
• 만약 $n=5$인 경우, $a$의 $n$제곱근을 $a$의 다섯제곱근(틀:Llang) $\sqrt[3]{a}$이라고 한다.

거듭제곱근 $\sqrt[n]{a}$은 거듭제곱을 사용하여

$a^{1/n}$

이라고 쓸 수 있다.

성질

음이 아닌 실수의 거듭제곱근의 경우, 다음과 같은 항등식들이 성립한다.

$\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}$

$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}(b\ne 0)$

그러나, 이는 음의 실수나 복소수의 거듭제곱근에서 성립하지 않는다. 예를 들어,

$\sqrt{(-1)\cdot (-1)}=\sqrt{1}=1$

이지만,

$\sqrt{-1}\cdot \sqrt{-1}=-1$

이다.

갈루아 군

체 $K$가 주어졌다고 하자. 양의 홀수 $n$이 주어졌고, $\mathrm{char}K\nmid n$이며, ${\zeta }_n$이 1의 원시 $n$제곱근이라고 하자. 또한, 체의 원소 $a\in K$가 주어졌으며, 임의의 소수 $p\mid n$에 대하여 $K$가 $a$의 $p$제곱근을 포함하지 않는다고 하자. 그렇다면, $a$의 $n$제곱근들을 근으로 하는 다항식 $x^n-a\in K[x]$의 분해체 $K(\sqrt[n]{a},{\zeta }_n)$의 갈루아 군은 다음과 같다.틀:Rp

$\mathrm{Gal}(K(\sqrt[n]{a},{\zeta }_n)/K)\cong \mathbb{Z}/n⋊(\mathbb{Z}/n{)}^{\times }$

구체적으로, $c\in \mathbb{Z}/n$ 및 $d\in (\mathbb{Z}/n{)}^{\times }$의 순서쌍에 대응하는 자기 동형 사상은 다음과 같다.

$\sqrt[n]{a}\mapsto a{\zeta }_n^c$

${\zeta }_n\mapsto {\zeta }_n^d$

예

$2^3=8$이다. 따라서,

$\sqrt[3]{8}=2$

이다. 이는 8의 유일한 실수 세제곱근이다. 8의 세제곱근은 3개가 있으며, 이는 다음과 같다.

$2,2{\mathrm{e}}^{2\pi /3},2{\mathrm{e}}^{4\pi /3}$

$3^4=81$이다. 따라서,

$\sqrt[4]{81}=3$

이다. 81의 실수 네제곱근은 3과 −3 둘이다. 81의 네제곱근은 4개가 있으며, 다음과 같다.

$3,3\mathrm{i},-3,-3\mathrm{i}$

외부 링크

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