가측 기수

틀:위키데이터 속성 추적 집합론에서 가측 기수(可測基數, 틀:Llang)는 기본 매장으로 정의될 수 있는 기수이다. 큰 기수의 하나이다.

정의

필터와 측도

음이 아닌 확장된 실수의 집합 $S\subseteq [0,\mathrm{\infty }]$에 대하여, 다음을 정의하자.틀:Rp

$\sum S=\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{S^{\prime }\subseteq S}{|S^{\prime }|<{\mathrm{\aleph }}_0}}{\sup }\sum S^{\prime }\in [0,\mathrm{\infty }]$

임의의 기수 $\kappa$와 $\kappa$-완비 불 대수 $B$ 및 $S\subseteq [0,\mathrm{\infty }]$에 대하여, 함수 $\mu :B\to S$가 다음 조건들을 모두 만족시키면, $\mu$가 $𝖬𝖾𝖺𝗌(\kappa ;B,S)$ 조건을 만족시킨다고 하자.

• $\mu (\mathrm{\perp })=0$이다.
• (단조성) $a\le b$라면 $\mu (a)\le \mu (b)$이다.
• ($\kappa$-가법성) 임의의 $S\subseteq B$에 대하여, 만약 $|S|<\kappa$이며 임의의 $s,t\in S$에 대하여 $s\wedge t={\mathrm{\perp }}_B$라면, $\mu (\bigvee S)=\sum \mu [S]$이다.

이 조건을 만족시키는 함수 $\mu$를 $B$ 위의, $S$ 값의 $\kappa$-가법 측도(틀:Llang)라고 하자.

이 개념은 다음 개념들을 일반화한다.

• 측도: 시그마 대수 $\mathrm{\Sigma }$ 위의 측도 $\mu :\mathrm{\Sigma }\to [0,\mathrm{\infty }]$는 $𝖬𝖾𝖺𝗌({\mathrm{\aleph }}_1;\mathrm{\Sigma },[0,\mathrm{\infty }])$를 만족시키는 함수이다.
• 극대 필터: $B$ 위의 극대 필터 $U\subseteq B$에 대하여, 함수 $\mu :B\to \{0,1\}$, $\mu :b\mapsto \{\begin{array}{cc}1& b\in U\\ 0& b\in ̸U\end{array}$를 정의하면, $\mu$는 $𝖬𝖾𝖺𝗌({\mathrm{\aleph }}_0;B,\{0,1\})$를 만족시킨다.

가측 기수

기수 $\kappa$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 기수를 가측 기수라고 한다.

• 크기가 $\kappa$인 집합 위에, 주 필터가 아닌 $\kappa$-완비 극대 필터가 존재한다.틀:Rp틀:Rp
• 멱집합 $\mathrm{Pow}(\kappa )$ 위에, $𝖬𝖾𝖺𝗌(\kappa ;\mathrm{Pow}(\kappa ),\{0,1\})$를 만족시키는 함수 $\mu :\mathrm{Pow}(\kappa )\to \{0,1\}$가 존재하며, 또한 임의의 $\alpha \in \kappa$에 대하여 $\mu (\{\alpha \})=0$이다. (이는 위 조건과 자명하게 동치이다.)
• $\kappa$는 폰 노이만 전체 $V$로부터 ZFC의 표준 추이적 모형 $M$으로 가는 기본 매장의 임계점이다.

임의의 기수 $\kappa$에 대하여, 만약 $𝖬𝖾𝖺𝗌(\kappa ;\mathrm{Pow}(\kappa ),[0,1])$를 만족시키는 확률 측도 $\mu :\mathrm{Pow}(\kappa )\to [0,1]$가 존재하며, 또한 다음 두 조건이 추가로 성립한다고 하자.

• 만약 $\mu$가 한원소 집합을 0으로 대응시킨다. (즉, 임의의 $a\in \kappa$에 대하여 $\mu (\{a\})=0$이다.)

그렇다면 $\kappa$를 실가 가측 기수(實價可測基數, 틀:Llang)라고 한다.틀:Rp틀:Rp

성질

함의 관계

선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에서, 모든 가측 기수는 도달 불가능한 기수이며 또한 약콤팩트 기수이다.틀:Rp (그러나 선택 공리를 가정하지 않으면, 가측 기수가 따름기수일 수 있다.) 모든 강콤팩트 기수는 가측 기수이다.틀:Rp 즉, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.

초콤팩트 기수 ⇒ 강콤팩트 기수 ⇒ 가측 기수 ⇒ 약콤팩트 기수 ⇒ 말로 기수 ⇒ 도달 불가능한 기수 ⇒ 정칙 기수 ⇒ 기수 ⇒ 순서수

모든 가측 기수는 실가 가측 기수이다. 가측 기수가 아닌 임의의 실가 가측 기수는 $2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$ 이하이다.틀:Rp

논리적 성질

가측 기수 $\kappa$에 대하여, $V_{\kappa }$ (크기가 $\kappa$ 미만인 집합들로 구성된 폰 노이만 전체의 부분 집합)는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)의 모형이다. 따라서, ZFC가 무모순적이라면 ZFC에서는 가측 기수의 존재를 증명할 수 없다. 또한, $V_{\kappa }$에서는 가측 기수가 존재하지 않으므로, 적어도 하나의 가측 기수가 존재한다면 ZFC + "가측 기수의 부재"는 무모순적이다.

만약 적어도 하나 이상의 비가산 가측 기수가 존재한다면, 구성 가능성 공리 $V=L$은 거짓이다.

울람 행렬

임의의 두 기수 $\kappa ,\lambda$가 주어졌다고 하자.

$(\lambda ,\kappa )$-울람 행렬은 다음 두 성질을 만족시키는 함수

$A:\lambda \times \kappa \to \mathrm{Pow}(\lambda )$

$A:(\alpha ,\beta )\mapsto A_{\alpha ,\beta }$

이다.틀:Rp

• 각 열의 성분들은 서로소이다. 즉, 만약 $\alpha \ne {\alpha }^{\prime }$라면, 임의의 $\beta <\lambda$에 대하여 $A_{\alpha ,\beta }\cap A_{{\alpha }^{\prime },\beta }=\varnothing$
• 각 행의 성분들의 합집합의 여집합의 크기는 $\kappa$ 이하이다. 즉, 임의의 $\alpha <\lambda$에 대하여, $|\lambda \setminus \bigcup _{\beta <\lambda }{A}_{\alpha ,\beta }|<\kappa$이다.

만약 $(\kappa ,\lambda )$가 주어지지 않았다면, $(\kappa ,\lambda )=({\mathrm{\aleph }}_1,{\mathrm{\aleph }}_0)$을 뜻한다.

존재

임의의 기수 $\kappa$에 대하여, $({\kappa }^{+},\kappa )$-울람 행렬이 존재한다.

증명:

각 $\xi \in {\kappa }^{+}$에 대하여, 전사 함수

$f_{\xi }:\kappa \to \xi$

를 고르자. 그렇다면, 행렬 $A_{\alpha ,\beta }$를 다음과 같이 정의하자.

$\xi \in A_{\alpha ,\beta }⟺f_{\xi }(\beta )=\alpha$

그렇다면, $A$는 $({\kappa }^{+},\kappa )$-울람 행렬을 이룬다.

• 임의의 $\xi \in {\kappa }^{+}$ 및 $\beta \in \kappa$에 대하여, $\xi \in A_{\alpha ,\beta }$가 되는 유일한 $\alpha$는 $\alpha =f_{\xi }(\beta )$이다.
• 각 $\alpha \in {\kappa }^{+}$에 대하여, $\kappa \setminus \bigcup _{\beta <\kappa }{A}_{\alpha ,\beta }=\kappa \setminus \{\xi \in {\kappa }^{+}:\alpha <\xi \}=\min \{\alpha ,\kappa \}$이다.

측도와의 관계

측도 $\mu :\mathrm{\Sigma }\to [0,\mathrm{\infty }]$의 원자(틀:Llang)는 $\mu (S)>0$이지만 임의의 $S^{\prime }<S$에 대하여 $\mu (S^{\prime })=0$이 되는 원소 $S\in \mathrm{\Sigma }$이다.

임의의 기수 $\lambda >\kappa \ge {\mathrm{\aleph }}_0$가 주어졌다고 하자.

$(\lambda ,\kappa )$-울람 행렬이 존재한다면, $\mathrm{Pow}(\lambda )$ 위의 임의의 ${\kappa }^{+}$-가법 확률 측도 $\mathrm{Pr}$는 항상 공집합이 아닌 원자를 갖는다. 즉,

$\mathrm{Pr}(\{\alpha \})>0$

인 $\alpha \in \lambda$가 존재한다.

증명:

$A$가 울람 행렬이라고 하고, $\mathrm{Pr}$가 $\mathrm{Pow}(\lambda )$ 위의 ${\kappa }^{+}$-가법 확률 측도라고 하자. 귀류법을 사용하여, 임의의 $\alpha \in \lambda$에 대하여 $\mathrm{Pr}(\{\alpha \})=0$라고 하자.

그렇다면, 울람 행렬의 정의에 따라, 각 $\alpha <\lambda$에 대하여,

$\mathrm{Pr}(\lambda \setminus \bigcup _{\beta <\kappa }{A}_{\alpha ,\beta })=0$

$\mathrm{Pr}\left(\bigcup _{\beta <\kappa }{A}_{\alpha ,\beta }\right)=1$

이다. 따라서, $\mathrm{Pr}(A_{\alpha ,f(\alpha )})>0$인 $f(\alpha )<\kappa$가 존재한다. 이제, 각 $\beta \in \kappa$에 대하여

$f^{-1}(\beta )=\{\alpha \in \lambda :f(\alpha )=\beta \}$

를 생각하자. $\lambda >\kappa \ge {\mathrm{\aleph }}_0$이므로, $f^{-1}({\beta }_0)=\lambda$인 ${\beta }_0\in \kappa$가 존재한다.

이제,

$𝒰=(A_{\alpha ,{\beta }_0}{)}_{\alpha \in f^{-1}({\beta }_0)}$

는 $\lambda$ 개의, 양의 측도의 서로소 집합들의 족이다. 이제, 다음 부분 집합들을 정의하자.

$\mathrm{\forall }m<\omega :{𝒰}_m=\{U\in 𝒰:\mathrm{Pr}(U)>1/(m+1)\}$

그렇다면,

$\bigcup _{m<\omega }{𝒰}_m=𝒰$

이므로, 이 가운데 $|{𝒰}_{m_0}|=\lambda$인 $m_0\in \omega$가 존재한다. 따라서,

$\mathrm{Pr}(\bigcup {𝒰}_m)=\mathrm{\infty }$

인데, 이는 확률 측도 조건과 모순이다.

특히, $\mathrm{Pow}({\omega }_1)$ 위의 임의의 ($\sigma$-가법) 확률 측도는 원자를 갖는다. 따라서, 만약 연속체 가설이 성립한다면, 실수선 $ℝ$ 위에, 모든 집합이 가측 집합이며, 원자가 존재하지 않는 확률 공간 구조는 존재하지 않는다.틀:Rp

역사

가측 기수는 스타니스와프 울람이 1930년에 도입하였고, 가장 작은 가측 기수가 (만약 존재한다면) 도달 불가능한 기수임을 증명하였다.

실가 가측 기수는 스테판 바나흐가 1930년에 도입하였다.틀:Rp

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Nlab
• 틀:웹 인용
• 틀:웹 인용
• 틀:웹 인용
• 틀:저널 인용