임계점 (집합론)

틀:위키데이터 속성 추적 집합론에서 임계점(臨界點, 틀:Llang)은 주어진 기본 매장이 보존하지 못하는 최소의 순서수이다.

정의

집합론의 언어 ${ℒ}_{\in }$를 생각하자. 추이적 집합 $X$, $Y$ 사이의, ${ℒ}_{\in }$ 언어의 기본 매장 $j:X\to Y$를 생각하자. 또한, $j$가 $N$에 속한 집합만을 사용한 ${ℒ}_{\in }$ 공식으로 정의된다고 하자.

그렇다면, $j$는 순서수를 순서수로 대응시킨다. 즉,

$j(X\cap \mathrm{Ord})\subseteq Y\cap \mathrm{Ord}$

이다. 또한, $j$는 순증가 함수이며, $\omega$는 그 고정점이다.

$\mathrm{\forall }\alpha ,\beta \in X:\alpha <\beta ⟹j(\alpha )<j(\beta )$

$j(\omega )=\omega$

이 경우, $j$의 임계점은 $j$의 고정점인 최소의 순서수이다.

$\mathrm{crit}(j)=\min \{\alpha \in X\cap \mathrm{Ord}:j(\alpha )=\alpha \}$

$X$가 폰 노이만 전체 $V$라고 한다면, 기본 매장 $j:V\to Y$의 임계점은 항상 가측 기수이다. 즉, 가측 기수에 정의하는 극대 필터를 다음과 같이 정의할 수 있다.

$\{A:A\subseteq \mathrm{crit}(j)\in j(A)\}$

성질

기본 매장의 임계점의 개념을 사용하여, 다음과 같은 큰 기수들을 정의할 수 있다. 아래 표에서

• $\alpha$는 임의의 순서수를 뜻한다.
• $n$은 임의의 유한 순서수를 뜻한다.
• $j^n=\stackrel{n}{\overbrace{j\circ j\circ \cdots \circ j}}$이다.

큰 기수 개념	기본 매장 $j:V\to M$의 성질
가측 기수	(임의)
$n$-초강기수(틀:Llang)	$V_{j^n(\kappa )}\subseteq M$
$n$-거대 기수(틀:Llang)	${j^n(\mathrm{crit}(j))}^{}M\subseteq M$

0-거대 기수의 개념은 가측 기수의 개념과 동치이다.

이보다 약간 복잡한 예로, 다음과 같은 꼴의 큰 기수들을 정의할 수 있다.

$\kappa$가 ~기수라는 것은, 임의의 $x\in X_{\kappa }$에 대하여, 성질 $P_x$를 만족시키는 추이적 모형 $M$ 및 기본 매장 $j:V\to M$이 존재함을 뜻한다.

큰 기수 개념	$X_{\kappa }$	기본 매장 $j:V\to M$의 성질
초콤팩트 기수	순서수 $\alpha \in \mathrm{Ord}$	$j(\kappa )>\alpha$, ${\alpha }^{}M\subseteq M$
강기수(틀:Llang)	순서수 $\alpha \in \mathrm{Ord}$	$V_{\alpha }\subseteq M$
우딘 기수(틀:Llang)	함수 $f:\kappa \to \kappa$	$\mathrm{crit}j<\kappa$, $V_{j(f)(\kappa )}\subseteq M$, $\{f(\alpha ):\alpha <\kappa \}\subseteq \kappa$

외부 링크

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