약콤팩트 기수

틀:위키데이터 속성 추적 집합론에서 약콤팩트 기수(弱compact基數, 틀:Llang)는 그 만큼 무한한 수의 항들의 논리합 및 제한 기호 $\mathrm{\forall }$를 사용하는 무한 논리에서, 약한 형태의 콤팩트성 정리가 성립하는 기수이다. 큰 기수의 하나이다.

정의

비가산 기수에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 기수를 약콤팩트 기수라고 한다.

• $[\kappa {]}^2=\{S\subset \kappa :|S|=2\}$라고 하자. 그렇다면 임의의 함수 $f:[\kappa {]}^2\to \{0,1\}$에 대하여, $[S{]}^2\subset f^{-1}(0)$ 또는 $[S{]}^2\subset f^{-1}(1)$인 $S\subset \kappa$가 존재한다.
• 크기가 $\kappa$인 임의의 전순서 집합은 순서형이 $\kappa$인 정렬 부분 집합을 갖는다.
• (확장성 틀:Llang) 임의의 $U\subset V_{\kappa }$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 추이적 집합 $X$ 및 그 부분집합 $S\subset X$가 존재한다.
  • $(V_{\kappa },\in ,U)$는 $(X,\in ,S)$의 기본적 부분 구조이다. 여기서 $U$와 $S$는 (같은) 1항 관계로 여긴다.
• 무한 논리 $L_{\kappa ,\kappa }$는 약한 콤팩트성 정리를 만족시킨다. 즉, 다음이 성립한다. 임의의 이론 $𝒯\subset L_{\kappa ,\kappa }$에 대하여, 만약 $|𝒯|\le \kappa$라면 다음 두 조건이 서로 동치이다.
  • 만약 모든 $𝒮\subset 𝒯$에 대하여, $|𝒮|<\kappa$라면 ${ℳ}_{𝒮}\models 𝒮$인 구조 ${ℳ}_{𝒮}$가 존재한다.
  • $ℳ\models 𝒯$인 구조 $𝒯$가 존재한다.
• 무한 논리 $L_{\kappa ,\omega }$는 약한 콤팩트성 정리를 만족시킨다.

성질

모든 말로 기수(틀:Llang)는 약콤팩트 기수이다. (따라서 모든 도달 불가능한 기수는 약콤팩트 기수이다.) 모든 강콤팩트 기수는 약콤팩트 기수이다.

역사

에르되시 팔과 알프레트 타르스키가 도입하였다.

각주

• 틀:서적 인용
• 틀:저널 인용

외부 링크

• 틀:웹 인용

같이 보기

• 강콤팩트 기수
• 무한 논리
• 콤팩트성 정리