4차원 회전군

틀:위키데이터 속성 추적 리 군론에서 4차원 회전군(四次元回轉群, 틀:Llang)은 4차원 유클리드 공간의, 원점을 보존하는 등거리 변환의 군 O(4) 또는 이와 관련된 군들을 말한다.

정의

4차원 특수 직교군 $\mathrm{SO}(4;ℝ)$ 및 이를 2겹 몫군으로 갖는 스핀 군 $\mathrm{Spin}(4)$이 있다. 이 밖에도, 부정 계량 부호수를 준

$\mathrm{SO}(1,3)$ (4차원 로런츠 군)

$\mathrm{SO}(2,2)$

및 이에 대응하는 스핀 군들이 존재한다.

이 군에 대응하는 딘킨 도표는

$\bullet \bullet$

이다. 딘킨 도표가 연결 그래프가 아닌 것은 이 군이 반단순 리 군이지만 단순 리 군이 아니기 때문이다.

이들은 다음과 같이 대응된다.

킬링 형식의 부호수	실수 기반 기호	복소수 · 사원수 기반 기호	군의 중심	기본군	비고
(0,4)	Spin(4)	$\mathrm{SU}(2)\times \mathrm{SU}(2)=\mathrm{USp}(2)\times \mathrm{USp}(2)=\mathrm{SL}(1;ℍ)\times \mathrm{SL}(1;ℍ)$	$\mathrm{Cyc}(2)\oplus \mathrm{Cyc}(2)$	0	단일 연결 콤팩트 형태
	SO(4)	$(\mathrm{SU}(2)\times \mathrm{SU}(2))/\{(\pm 1,\pm 1)\}$	$\mathrm{Cyc}(2)$	$\mathrm{Cyc}(2)$
	PSO(4)	$\mathrm{PSU}(2)\times \mathrm{PSU}(2)$	0	0	무중심 콤팩트 형태
(4,2)	Spin(2,2)	$\mathrm{SL}(2;ℝ)\times \mathrm{SL}(2;ℝ)$	$\mathrm{Cyc}(2)\oplus \mathrm{Cyc}(2)$	0	단일 연결 분할 형태
	SO⁺(2,2)	$(\mathrm{SL}(2;ℝ)\times \mathrm{SL}(2;ℝ))/\{(+1,+1),(-1,-1)\}$	$\mathrm{Cyc}(2)$	$\mathrm{Cyc}(2)$
	PSO⁺(2,2)	$\mathrm{PSL}(2;ℝ)\times \mathrm{PSL}(2;ℝ)$	0	$\mathrm{Cyc}(2)\oplus \mathrm{Cyc}(2)$ 무중심 분할 형태
(3,3)	Spin(1,3)	$\mathrm{SL}(2;ℂ)$	$\mathrm{Cyc}(2)$	0	단일 연결 로런츠 군
	SO⁺(1,3)	$\mathrm{PSL}(2;ℂ)$	0	$\mathrm{Cyc}(2)$	무중심 로런츠 군
(2,4)	SO*(4)	—	$\mathbb{Z}/2$	$\mathbb{Z}$

성질

콤팩트 형태

Spin(4)의 최소 스피너는 복소수 2차원 왼쪽·오른쪽 바일 스피너이다. 이는 $\mathrm{SU}(2)\times \mathrm{SU}(2)$의 왼쪽·오른쪽 정의(定義) 표현

$\mathrm{𝟐}\otimes \mathrm{𝟏}$

$\mathrm{𝟏}\otimes \mathrm{𝟐}$

에 해당한다.

마찬가지로, $\mathrm{SO}(4)$의 4차원 실수 정의(定義) 표현은 $\mathrm{SU}(2)\times \mathrm{SU}(2)$의 쌍벡터 표현

$\mathrm{𝟐}\otimes \mathrm{𝟐}$

에 해당한다.

부호수 (4,0)에서, 2차 미분 형식의 호지 쌍대는 대합을 이루며, 따라서 2차원 반대칭 텐서(2차 미분 형식)에 대하여 호지 쌍대에 대한 자기 (반)쌍대 조건을 가할 수 있다. 이들은 $\mathrm{SU}(2)\times \mathrm{SU}(2)$의 왼쪽·오른쪽 딸림표현에 대응한다.

차원	SO(4) 묘사	SU(2)² 묘사 (스핀)
2 (복소수)	오른쪽 스피너	(0,½)
2 (복소수)	왼쪽 스피너	(½,0)
4 (실수)	벡터	(½,½)
3 (실수)	자기 쌍대 반대칭 2-텐서	(0,1)
3 (실수)	자기 반쌍대 반대칭 2-텐서	(1,0)
6 (복소수)	오른쪽 라리타-슈윙거 장	(½,1)
6 (복소수)	왼쪽 라리타-슈윙거 장	(1,½)
9 (실수)	무대각합 대칭 2-텐서	(1,1)

4차원 유클리드 공간을 사원수의 공간

$ℍ$

으로 생각하자. 그 위에는 양의 정부호 쌍선형 형식

$⟨x,y⟩=\frac{1}{2}\mathrm{tr}(x{y}^{*})$

가 주어져 있다. 여기서 우변의 $y^{*}$는 사원수의 켤레이다.

사원수 공간 위에는 사원수 대수가 양쪽에서 다음과 같이 작용한다.

$v\mapsto av{b}^{*}(a,b\in ℍ)$

즉, 이는 $ℍ$ 위의, 가역 사원수의 리 군 $\mathrm{Unit}(ℍ)=ℍ\setminus \{0\}$의 2차 직접곱

$\mathrm{Unit}(ℍ)\times \mathrm{Unit}(ℍ)$

의 표현을 정의한다. 이는 일반적으로 쌍선형 형식 $⟨-,-⟩$을 보존하지 않지만, 노름 1의 순허수 사원수로 구성된 부분군

$\mathrm{SU}(2;ℂ)\times \mathrm{SU}(2;ℂ)\cong \mathrm{SL}(1;ℍ)\times \mathrm{SL}(1;ℍ)\le \mathrm{Unit}(ℍ)\times \mathrm{Unit}(ℍ)$

은 이 쌍선형 형식을 보존한다. 즉, 이는 군 준동형

$\mathrm{SU}(2;ℂ)\times \mathrm{SU}(2;ℂ)\to \mathrm{SO}(4;ℝ)$

를 정의하며, 그 핵은 다음과 같은 2차 순환군이다.

$\{(+1,+1),(-1,-1)\}⊊ℍ\times ℍ$

분할 형태

Spin(2,2)은 (1,1)차원 민코프스키 공간의 (대역적) 등각군이다. (국소적 등각군은 비트 대수로 주어진다.) $\mathrm{Spin}(2,2)$의 최소 스피너는 실수 2차원의 왼쪽·오른쪽 마요라나-바일 스피너이다. 이는 $\mathrm{SL}(2;ℝ)\times \mathrm{SL}(2;ℝ)$의 왼쪽·오른쪽 정의(定義) 표현

$\mathrm{𝟐}\otimes \mathrm{𝟏}$

$\mathrm{𝟏}\otimes \mathrm{𝟐}$

에 해당한다.

부호수 (2,2)에서도, 2차 미분 형식의 호지 쌍대가 대합을 이루어, 자기 (반)쌍대 조건을 정의할 수 있다. 이들은 마찬가지로 $\mathrm{SL}(2;ℝ{)}^2$의 왼쪽·오른쪽 딸림표현에 대응한다.

차원	SO(2,2) 묘사	SL(2)² 묘사 (스핀)
2 (실수)	오른쪽 마요라나-바일 스피너	(0,½)
2 (실수)	왼쪽 마요라나-바일 스피너	(½,0)
4 (실수)	벡터	(½,½)
3 (실수)	자기 쌍대 반대칭 2-텐서	(0,1)
3 (실수)	자기 반쌍대 반대칭 2-텐서	(1,0)
6 (실수)	오른쪽 라리타-슈윙거 장	(½,1)
6 (실수)	왼쪽 라리타-슈윙거 장	(1,½)
9 (실수)	무대각합 대칭 2-텐서	(1,1)

이 군의 중심은 크기 4의 아벨 군

$\mathrm{Z}(\mathrm{SL}(2;ℝ)\times \mathrm{SL}(2;ℝ))=\mathrm{Z}(\mathrm{SL}(2;ℝ))\times \mathrm{Z}(\mathrm{SL}(2;ℝ))\cong \mathrm{Cyc}(2)\times \mathrm{Cyc}(2)$

이다. 이는 $\mathrm{SL}(2;ℝ{)}^2$에서

$\{(\sigma 1_{2\times 2},{\sigma }^{\prime }{1}_{2\times 2}):\sigma ,{\sigma }^{\prime }\in \{\pm 1\}\}$

에 해당하며, $\mathrm{SO}(2,2)$에서 이 중심 부분군은 몫군

$\mathrm{Z}(\mathrm{SO}(2,2))=\{\pm 1_{4\times 4}\}$

에 해당한다. 중심에 대한 몫군은

$\mathrm{PSO}(2,2)\cong \mathrm{PSL}(2;ℝ)\times \mathrm{PSL}(2;ℝ)$

이다.

구체적으로, 실수 2×2 행렬의 공간 $\mathrm{Mat}(2,2;ℝ)$ 위에, 행렬식

$\det \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=ad-bc$

은 실수 이차 형식을 이루며, 이에 대응하는 실수 쌍선형 형식

$⟨\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}{a}^{\prime }& b^{\prime }\\ c^{\prime }& d^{\prime }\end{array}\right)⟩=\frac{1}{2}(a{d}^{\prime }-b{c}^{\prime }+d{a}^{\prime }-c{b}^{\prime })$

을 계산할 수 있다. 이는 부호수 (2,2)를 가지며, 그 정규 직교 기저는 다음과 같다.

기저 벡터	$1_{2\times 2}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$	${\sigma }_1=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$	$\mathrm{i}{\sigma }_2=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$	${\sigma }_3=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$
노름	+1	−1	+1	−1

$\mathrm{Mat}(2,2;ℝ)$ 위에는 $\mathrm{GL}(2;ℝ)\times \mathrm{GL}(2;ℝ)$가 다음과 같이 작용한다.

$(g,h)\cdot v=gv{h}^{-1}$

이는 일반적으로 쌍선형 형식 $⟨,⟩$을 보존하지 않으나, 그 $\mathrm{SL}(2;ℝ)\times \mathrm{SL}(2;ℝ)$ 부분군은 이를 보존한다. 즉, 이는 군 준동형

$\mathrm{SL}(2;ℝ)\times \mathrm{SL}(2;ℝ)\to \mathrm{SO}(2,2)$

을 정의한다. 이는 전사 함수이며, 그 핵은 2차 순환군

$\{(+1_{2\times 2},+1_{2\times 2}),(-1_{2\times 2},-1_{2\times 2})\}$

이다.

로런츠 형태

틀:본문 $\mathrm{Spin}(1,3)$은 2차원 유클리드 공간의 (대역적) 등각군이다. 즉, 이는 사실 리만 구의 자기 동형군(뫼비우스 변환들의 군)

$\mathrm{Spin}(1,3)\cong \mathrm{SL}(2;ℂ)\cong \mathrm{Aut}({ℂ\mathbb{P}}^1)$

이다.

$\mathrm{Spin}(1,3)$의 최소 스피너는 복소수 2차원의 왼쪽·오른쪽 바일 스피너이다. 이는 $\mathrm{SL}(2;ℂ)$의 정의 표현 $\mathrm{𝟚}$ 및 그 복소수 켤레 $\overline{\mathrm{𝟐}}$에 대응한다. $\mathrm{SO}(1,3)$의 4차원 실수 정의 표현 $\mathrm{𝟒}$는 $\mathrm{SL}(2;ℂ)$의 표현

$\mathrm{𝟐}\otimes \overline{\mathrm{𝟐}}$

에 대응한다.

이 부호수에서, 호지 쌍대는 2차 미분 형식의 대합이 되지 못한다. 즉, 2차 미분 형식 $F$에 대하여

$**F=-F$

이다. 이에 따라 2차 미분 형식의 자기 (반)쌍대 조건을 가할 수 없다. 이는 $\mathrm{Spin}(1,3)$이 두 군의 직접곱으로 분해되지 못하여, 그 딸림표현이 기약 표현이기 때문이다.

구체적으로, 다음과 같은 꼴의 2×2 행렬들의 4차원 실수 벡터 공간을 생각하자.

$V=\{\left(\begin{array}{cc}z& \mathrm{i}x\\ \mathrm{i}y& \overline{z}\end{array}\right):z\in ℂ,x,y\in ℝ\}$

$V$ 위에는 다음과 같은 실수 쌍선형 형식이 존재한다.

$⟨u,v⟩=\frac{1}{2}\mathrm{Re}(\mathrm{tr}(u\overline{v}))$

이 쌍선형 형식의 부호수는 (3,1)이며, 이에 대한 정규 직교 기저는 다음과 같다.

기저 벡터	$1_{2\times 2}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$	$\mathrm{i}{\sigma }_3=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{i}& 0\\ 0& -\mathrm{i}\end{array}\right)$	$\mathrm{i}{\sigma }_1=\left(\begin{array}{cc}0& \mathrm{i}\\ \mathrm{i}& 0\end{array}\right)$	${\sigma }_2=\left(\begin{array}{cc}0& -\mathrm{i}\\ \mathrm{i}& 0\end{array}\right)$
노름	+1	+1	+1	−1

즉, $V$를 민코프스키 공간 ${ℝ}^{1,3}$으로 여길 수 있다.

이 위에는 다음과 같은 꼴의 $\mathrm{SL}(2;ℂ)$의 작용이 존재한다.

$v\mapsto Gv{\overline{G}}^{-1}(G\in \mathrm{SL}(2;ℂ),v\in V)$

이 작용은 위의 쌍선형 형식을 보존하며, 따라서 군 준동형

$\mathrm{SL}(2;ℂ)\to \mathrm{SO}(1,3)$

을 정의한다. 그 핵은 물론

$\{\pm 1_{2\times 2}\}=\mathrm{Z}(\mathrm{SL}(2;ℂ))$

이다.

SO*(4)

SO(4)는 SO*(4)라는 또다른 실수 형식을 갖는다. 구체적으로, 다음과 같은 군 준동형들을 생각하자.

$\mathrm{SO}(4;ℂ)\hookrightarrow \mathrm{SL}(4;ℂ)\stackrel{\varphi }{\twoheadrightarrow }\mathrm{SO}(6;ℂ)$

여기서 첫째 화살표는 자명한 부분군 관계이며, 둘째 화살표 $\varphi$는 2겹 몫군 관계이다. 여기에 다음과 같은 실수 조건을 가할 수 있다.

$\mathrm{SO}(4;ℝ)\hookrightarrow \mathrm{SU}(4)\cong \mathrm{Spin}(6)\twoheadrightarrow \mathrm{SO}(6;ℝ)$

$\mathrm{SO}(2,2)\hookrightarrow \mathrm{SU}(2,2)\cong \mathrm{Spin}(4,2)\twoheadrightarrow \mathrm{SO}(4,2)$

$\mathrm{SO}(3,1)\hookrightarrow \mathrm{SU}(3,1)\twoheadrightarrow {\mathrm{SO}}^{*}(6)$

$\mathrm{SO}(4;ℝ)\hookrightarrow \mathrm{SL}(4;ℝ)\cong \mathrm{Spin}(3,3)\twoheadrightarrow \mathrm{SO}(3,3)$

${\mathrm{SO}}^{*}(4)\hookrightarrow {\mathrm{SU}}^{*}(4)\cong \mathrm{Spin}(5,1)\twoheadrightarrow \mathrm{SO}(5,1)$

즉, SO*(4)는 이에 따라 다음과 같이 표현될 수 있다.

${\mathrm{SO}}^{*}(4)={\mathrm{SU}}^{*}(4)\cap \mathrm{SL}(4;ℝ)={\varphi }^{-1}(\mathrm{SO}(5,1))\cap \mathrm{SL}(4;ℝ)$

다시 말해, 이는 (5,1)차원 민코프스키 공간의 4차원 (왼쪽 또는 오른쪽) 바일 스피너의 실수 선형 변환 가운데, (5,1)차원 로런츠 변환에 속하는 것들이다.

같이 보기

• 라플라스-룽게-렌츠 벡터
• 로런츠 군
• 직교군
• 직교행렬
• 푸앵카레 군
• 사원수와 회전

참고 문헌

• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:웹 인용