군 대상

틀:위키데이터 속성 추적 범주론에서 군 대상(群對象, 틀:Llang)은 곱을 갖는 범주에서 정의되는, 군의 역할을 하는 대상이다. 모노이드 대상의 특수한 경우이다.

정의

$𝒞$ 가 끝 대상 및 유한 곱을 갖는 범주라고 하자. (임의의 모노이드 범주에서 정의되는 모노이드 대상과 달리, 군 대상은 데카르트 모노이드 범주에서만 정의된다. 이는 일반적 모노이드 범주에서 대각 사상 $X \to X \otimes X$ 이나 쌍대항등원 $X \to I$ 이 주어지지 않기 때문이다.) $𝒞$ 의 군 대상 $(G, m, e, i)$ 는 다음 데이터로 이루어진다.

$(G, m, e)$ 는 데카르트 모노이드 범주 $(𝒞, \times)$ 의 모노이드 대상이다.
$i : G \to G$ 는 $𝒞$ 속의 사상이다. 이는 군의 역원에 해당한다.

이는 다음과 같은 성질을 만족하여야 한다.

(역원의 존재) 끝 대상의 정의에 따라 유일한 사상 $ϵ_{G} : G \to 1$ 이 존재한다. 또한, ${diag}_{G} : G \to G \times G$ 가 대각 사상이라고 하자. 그렇다면 $m \circ ({id}_{G} \times i) \circ {diag}_{G} = m \circ (i \times {id}_{G}) \circ {diag}_{G} = e \circ ϵ_{G}$ 이다. 즉, 다음 그림이 가환한다.

\begin{matrix} G & \overset{diag}{\to} & G \times G & \overset{id \times i}{\to} & G \times G & \overset{i \times id}{\leftarrow} & G \times G & \overset{diag}{\leftarrow} & G \\ ↘ & ↓ m & ↙ \\ 1 & \to_{e}^{} & G & \leftarrow_{e}^{} & 1 \end{matrix}

위와 같은 정의 대신, 군 대상을 다음과 같이 정의할 수 있다. 군 대상 $G \in ob (𝒞)$ 는 임의의 대상 $X \in ob (𝒞)$ 에 대하여 $hom (X, G)$ 가 군을 이뤄, $X \mapsto hom (X, G)$ 가 $𝒞 \to {Grp}^{op}$ 함자를 이루는 대상이다. 여기서 $Grp$ 은 군과 군 준동형의 범주이다.

예

대표적인 범주들 속의 군 대상은 다음과 같은 특별한 이름을 갖는다.

범주	군 대상	비고
집합과 함수의 범주	군
위상 공간과 연속 함수의 범주	위상군
매끄러운 다양체와 매끄러운 함수의 범주	리 군
대수다양체와 대수다양체 사상의 범주	대수군
스킴과 스킴 사상의 범주	군 스킴(틀:Lang)
군과 군 준동형의 범주	아벨 군	역원 사상 $g \mapsto g^{- 1}$ 이 준동형을 이루는 군은 아벨 군이기 때문
모노이드와 모노이드 준동형의 범주	아벨 군
아벨 군과 군 준동형의 범주	아벨 군
작은 범주의 범주 $Cat$	교차 가군(틀:Llang)^[1]틀:Rp	군과 군 준동형의 범주 $Grp$ 속의 내적 범주와 같다.^[1]틀:Rp