내적 범주

틀:위키데이터 속성 추적 범주론에서 내적 범주(內的範疇, 틀:Llang)는 작은 범주의 정의에서 사용되는 집합의 범주를 대체하여, 임의의 범주 속에서 범주처럼 작동하는 구조이다. 작은 범주의 개념의 일반화이다.

정의

범주 $𝒞$가 유한 곱 및 당김을 갖는다고 하자. 그렇다면, $𝒞$ 속의 내적 범주(틀:Llang) $(O,M,i,s,t,c)$은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• $O\in 𝒞$는 $𝒞$의 대상이다. 이는 범주 대상의 대상들의 "모임"이다.
• $M\in 𝒞$는 $𝒞$의 대상이다. 이는 범주 대상의 사상들의 "모임"이다.
• $e:O\to M$은 $𝒞$의 사상이다. 이는 항등 사상을 나타낸다.
• $s:M\to O$는 $𝒞$의 사상이다. 이는 사상의 정의역을 나타낸다.
• $t:M\to O$는 $𝒞$의 사상이다. 이는 사상의 공역을 나타낸다.
• $M_s{\times }_{t}M$이 $M\stackrel{s}{\to }O\stackrel{t}{\leftarrow }M$의 당김이라면, $c:M_s{\times }_{t}M\to M$은 $𝒞$의 사상이다. 이는 사상의 합성을 나타낸다.

이 데이터는 다음과 같은 조건들을 만족시켜야 한다.

• (항등 사상의 정의역과 공역) $s\circ e=t\circ e={\mathrm{id}}_O$. 즉, 다음 그림이 가환한다.

$\begin{array}{ccccc}M& \stackrel{e}{\leftarrow }& O& \stackrel{e}{\to }& M\\ & s\searrow & \downarrow {\mathrm{id}}_O& \swarrow t\\ & & O\end{array}$

• (합성 사상의 정의역과 공역) 다음 그림이 가환한다.

$\begin{array}{ccccc}M& \stackrel{{\pi }_1}{\leftarrow }& M_s{\times }_{t}M& \stackrel{{\pi }_2}{\to }& M\\ t\downarrow & & c\downarrow & & \downarrow s\\ O& \underset{t}{\overset{}{\leftarrow }}& M& \underset{s}{\overset{}{\to }}& O\end{array}$

• (합성의 결합 법칙) 다음 그림이 가환한다.

$\begin{array}{ccc}{M}_s{\times }_t{M}_s{\times }_{t}M& \stackrel{{\mathrm{id}}_M\times c}{\to }& M_s{\times }_{t}M\\ c\times {\mathrm{id}}_M\downarrow & & \downarrow c\\ M_s{\times }_{t}M& \underset{c}{\overset{}{\to }}& M\end{array}$

• (항등원의 흡수 법칙) 다음 그림이 가환한다.

$\begin{array}{ccccc}O{\times }_{t}M& \stackrel{e{\times }_t{\mathrm{id}}_M}{\to }& M_s{\times }_{t}M& \stackrel{{\mathrm{id}}_M{}_s\times e}{\leftarrow }& M{\times }_{s}O\\ & {\pi }_2\searrow & \downarrow c& \swarrow {\pi }_1\\ & & M\end{array}$

내적 준군

유한 곱과 당김을 갖는 범주 $𝒞$ 속의 내적 준군(틀:Llang) $(O,M,s,t,e,i)$은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• $(O,M,s,t,e)$는 내적 범주를 이룬다.
• $i:M\to M$은 사상이다. 이는 사상의 역원을 나타낸다.

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

• (역원의 정의역과 공역) 다음 그림이 가환한다.

$\begin{array}{ccc}M& \genfrac{}{}{0ex}{}{\stackrel{e}{\to }}{\underset{e}{\overset{}{\leftarrow }}}& M\\ & s\searrow & \downarrow t\\ & & O\end{array}$

• (역원의 존재) 다음 그림이 가환한다.

$\begin{array}{ccc}{M}_t{\times }_{t}M& \stackrel{{\mathrm{diag}}_M}{\leftarrow }& M\\ i\times \mathrm{id}\downarrow & & & \searrow s& \\ M_s{\times }_{t}M& \underset{c}{\overset{}{\to }}& M& \underset{e}{\overset{}{\leftarrow }}& O\\ \mathrm{id}\times i\uparrow & & & \nearrow t& \\ M_s{\times }_{s}M& \underset{{\mathrm{diag}}_M}{\overset{}{\leftarrow }}& M\end{array}$

예

집합과 함수의 범주 $\mathrm{Set}$ 속의 내적 범주는 작은 범주이다.

군과 군 준동형의 범주 $\mathrm{Grp}$ 속의 내적 범주는 작은 범주의 범주 $\mathrm{Cat}$ 속의 군 대상과 사실상 같으며,틀:Rp 교차 가군(틀:Llang)이라고 불린다.틀:Rp

외부 링크

• 틀:웹 인용

같이 보기

• 군 대상